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1、第6章 非线性振动,振 动 理 论 及 其 应 用,6.1 非线性振动概述,6.2 非线性振动的定性分析方法,6.3 非线性振动的近似解析方法,6.4 非线性振动的数值分析方法,6.5 分叉与混沌的概念,6.1 非线性振动概述,第6章 非线性振动,非线性特性,非线性系统 当真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或阻尼元件的力与运动速度之间的关系不满足作线性关系时，系统的运动微分方程不能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。,第6章 非线性振动 6.1 非线性振动概述,非线性振动的研究方法 非线性振动研究的方法
2、有：定性分析、定量分析和数值分析方法。,非线性振动研究的内容 非线性振动研究的基本内容之一就是建立对真实振动系统的计算方法，改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。,定性法 研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时间历程。通常采用几何方法描述系统的运动特征。,定量法 通过一些渐近的解析方法研究系统运动的时间历程。,数值法 通过数值计算方法研究系统非线性振动的规律和现象。,第6章单 非线性振动 6.1 非线性振动概述,线性振动,非线性振动与线性振动的区别,非线性振动,自由振动频率与初始条件无关,自由振动频率与振幅有关,强迫振动频率与激励力频率相等,强迫振动频率成分复杂，有时与激励频率
3、不相等的频率成分突出,稳定平衡位置附近的运动是稳定的,稳定平衡位置附近具有多种稳定和不稳定运动,强迫振动中每个激励频率有一个对应的振幅,强迫振动中幅频与相频曲线发生弯曲，产生多值性,叠加原理成立,叠加原理不成立,6. 2 非线性振动的定性分析方法,第6章 非线性振动,设n自由度系统的运动微分方程为,位形空间,相空间,其中， qi是广义坐标，fi是广义坐标和广义速度的非线性函数。,由变量qi规定的n维笛卡儿空间称为位形空间。方程的解qi(t)可用位形空间的n维矢量表示。,由变量qi和 规定的2n维空间称为状态空间或相空间。,设 ， 和 ，,则矢量x可唯一表示系统在任一时刻t的状态。,方程可写为
4、或,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,自治系统和非自治系统,Xi中没有一个显含时间t 时，系统称为自治系统， Xi中至少有一个显含时间t 时，系统称为非自治系统。,普通点和奇异点,凡是 的点称为普通点、相点或正则点；而X 0 的点称为奇异点或平衡点。,从状态方程可以看出平衡点的速度与加速度为零。,未扰解和被扰解,xi= fi (t )为方程的一个已知解，称为未扰解。研究系统在fi (t )领域中的运动xi (t )称为被扰运动。 特别有意义的两类未扰解是对应于平衡点的常数解和对应于封闭轨线的周期解。,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,Lyapunov
5、稳定性定义,稳定性的几何解释,设由 xi 规定的相空间的原点与平衡点重合，则系统的运动幅度定义为原点到扰动解积分曲线上任何一点的距离：,若给定任意小的正数e，存在正数d，对于一切受扰运动，只要其初始扰动满足 ，对于所有的 均满足 ，则称平凡解是稳定的。,若这个平凡解是Lyapunov稳定的，而且 ，则解是渐近稳定的。,不稳定,渐近稳定,稳定,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,相平面,讨论一单自由度自治系统的自由振动，其动力学方程的一般形式为：,对于单自由度系统，相空间缩减为以x1和x2为直角坐标系的（x1，x2 ）平面，称为系统的相平面。,设 ， 和 ， ，上式可以写为状
6、态变量的一阶微分方程组：,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,与系统的运动状态一一对应的相平面上的点称为系统的相点。,相轨迹,不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族。,系统的运动过程可用相点在相平面上的移动过程来描述。相点移动的轨迹称为相轨迹，或相迹。,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,奇点,相平面内能使状态方程右端等于零的特殊点称为相轨迹的奇点。表明系统的速度和加速度均等于零，奇点的物理意义即系统的平衡状态，因此也可将奇点称为平衡点。,对单自由度自治系统的自由振动，状态方程为：,相平面上个别的平衡点就是以下方程的解：,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振
7、动的定性分析方法,记系数矩阵,不失一般性，将坐标原点移至奇点处，并将函数在奇点（0，0）附近展开为泰勒级数，得到：,其中,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,引入向量,设e1和e2是在原点的领域中小到可以忽略，则可以用下列线性化方程讨论非线性方程在原点附近的稳定性：,作非奇异线性变换,则方程可以写为,其中,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,选择合适的B，可使变换后的矩阵J 为若当标准型，可以证明，矩阵J与矩阵A有相同的特征值。,下面讨论矩阵J 的特征值与奇点特性的关系。,J 有不相等的实特征值l1和l2，则有,线性变换后的方程,上式的解为,解的两边分别
8、对时间求导，并消去时间t，可以得到,其中,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,则有,或,设a = l 2 / l 1 ，则有,或把解 改写成 和,或,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,相轨迹为指数曲线族。 当 l10l2 ，即两个本征值异号时，a0，除了u1=0的相迹趋向于原点外，其余相迹都远离原点，根据稳定性的定义，平衡点为不稳定奇点，称为鞍点。对应于负刚度的情况。,鞍点,从式 可得到相轨迹方程,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,当 a 0，即两个特征值同号时，奇点为结点。当 两个特征值都为负时，当 t 时，所有的轨线趋向于原点
9、，因此，奇点是稳定结点，系统的运动是渐近稳定的。而当特征值同为正时，奇点是不稳定结点。,稳定结点,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,J 有相同的特征值l1 = l2,一种情况为,方程可以写为：,方程的解为,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,相轨迹方程为,相轨迹为直线族。 当 两个特征值小于零时相迹的方向指向原点，奇点为稳定节点；当 两个特征值大于零时相迹的方向远离原点，奇点为不稳定节点 。,稳定结点,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,J 有相同的本征值l1 = l2,此时方程可以写为：,此方程的解为,另一种情况为,第6章 非线性
10、振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,上述两式相除，并消去时间 t可得,（x 0）,当特征值l1 0 时，,u2与u1相比是无穷大量。相迹在原点与u2轴相切，所有相迹的方向都指向原点，因此，奇点是稳定结点。,稳定结点,（x 0）,当l1 0 时，奇点是不稳定结点。,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,若J 有共轭复根,则有,将直角坐标变换成极坐标,方程可写为,因而,两边对时间求导,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,此方程的通解为,此时的相轨迹为围绕奇点的螺旋线，奇点为焦点。,当a 0 时是不稳定焦点。,稳定焦点,第6章 非线性振动 6. 2 非线性
11、振动的定性分析方法,当a 0 时，相轨迹转化为圆，奇点为中心。,中心,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,奇点的分类准则,线性变换后的变量u与变换前的变量x是线性同构的，它们的奇点类型也完全相同。根据以上分析结果，奇点的类型取决于矩阵A的特征值。将A的特征方程展开，得到：,其中,特征值为,其中,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,奇点类型和这两个参数的关系可以归纳如下：,由上面的分析可以看出，奇点的不同类型由参数p和D完全确定，只要这两个参数确定了，则系统奇点的类型就确定。,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,参数平面上的奇点类型,第
12、6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,例题61,判断单摆的奇点类型,设单摆相对垂直轴的偏角j为广义坐标，其动力学方程为,或,设：,方程式可以写为状态变量的一阶微分方程组：,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,得到单摆的奇点为,其中，,令：,把原点移至单摆的奇点，则在原点附近线性化的方程为：,所以有：,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,根据前面的分析，由p、q和D来判断系统的奇点类型:,(0, 0),第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,单摆的相轨迹图,从单摆相轨图上可以清楚看到系统奇点的性质。,单摆的相轨迹图,状态方程
13、,改写成,消去 d t：,整理：,积分：,或：,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,极限环,相平面内的封闭轨线是对系统周期运动的定性描述。稳定的中心周围密集的封闭轨线对应于单自由度保守系统的自由振动，振幅取决于初始条件。 孤立的封闭轨线称作极限环，振幅取决于系统参数。,极限环稳定性的几何解释,第6章 非线性振动 6. 2 非线性振动的定性分析方法,极限环存在的充分性条件由PoincareBendixon(庞卡莱本狄克生)定理给出：,设D域是由两条无切点环线C1和C2包围的环域，D域内无奇点。当时间 t 增加时，从C1和C2出发的相迹都进入（或离开）D域，则D域内至少存在一个极限环。,第6章 非线性振动 习题,61 分析单摆在有阻尼和无阻尼两种情况下奇点的性质。,无阻尼,有阻尼,62 求出下列方程的奇点，并指出其类型,