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1、新北师大版九年级数学上册正方形的性质与判定(第1课时)练习一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图,菱形ABCD中,B=60,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()A.14B.15C.16D.17【解析】选C.四边形ABCD是菱形,AB=BC,B=60,ABC是等边三角形,AC=AB=4,正方形ACEF的周长为4AC=44=16.【变式训练】如图,AC为正方形ABCD的对角线,E是DC延长线上一点,F是AB延长线上一点,且四边形ACEF是菱形,则CAE=.【解析】AC为正方形ABCD的对角线,CAB=45,四边形ACEF是菱形,AE是它的对角线,CAE=22.5.答案:22.5
2、2.如图,在一个由44个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是()A.58B.34C.916D.12【解析】选A.设小正方形的边长为1,阴影部分正方形的边长是=,阴影部分正方形的面积是=10,正方形ABCD的面积是16,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是1016=58.【一题多解】利用割补法可看出阴影部分的面积是10个小正方形组成的,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是1016=58.3.如图,边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连接BD并延长交EG于点T,交FG于点P,则GT=()A.B.2C.2D.1【解析】选B.四边形ABCD和四
3、边形CEFG均为正方形,BDC=CGE=45,又BDC=GDT=45,GDT=DGT=45,DTG是等腰直角三角形,GD=8-4=4,由勾股定理得,GT=2.【互动探究】BP与EG相等吗?为什么?【解析】BP=EG,由题意可知BET=EBT=45,BTE是等腰直角三角形,BT=ET,同理GTP是等腰直角三角形,TP=TG,BT+TP=ET+TG,BP=EG.二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点D,B作DEa于点E,BFa于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为.【解析】四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAD=90,BAF+ABF=B
4、AF+DAE,ABF=DAE,在AFB和AED中,ABF=DAE,AFB=AED,AB=AD,AFBDEA,AF=DE=4,BF=AE=3,EF=AF+AE=4+3=7.答案:7【互动探究】正方形ABCD的面积是多少?【解析】AF=4,BF=3,AB=5.正方形ABCD的面积=55=25.5.如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE,BE,CE,将ABE绕点B顺时针旋转到CBE的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则BEC=度.【解析】连接EE,将ABE绕点B顺时针旋转到CBE的位置,AE=1,BE=2,CE=3,EBE=90,BE=BE=2,AE=EC=1,EE=2,BEE=45,EE
5、2+EC2=8+1=9,EC2=9,EE2+EC2=EC2,EEC是直角三角形,EEC=90,BEC=135.答案:135点【变式训练】P是正方形ABCD边AB上一点(不与A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90得线段PE,连接BE,则CBE等于()A.75B.60C.45D.30【解析】选C.过点E作EFAB,交AB的延长线于点F,则F=90,线段PE是线段PD绕点P顺时针旋转90得到,PD=PE,DPE=90,APD+EPF=90,在正方形ABCD中,AD=AB,A=ABC=90,APD+ADP=90,ADP=EPF,在APD和FEP中,ADP=FPE,A=F=90,PD=E
6、P,APDFEP,AP=FE,AD=FP,又AD=AB,AB=PF,即AP+PB=PB+BF,AP=BF,BF=EF,又F=90,BEF为等腰直角三角形,EBF=45,又CBF=ABC=90,CBE=90-45=45.6.如图,正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在边AB,BC上,AE=BF=1,小球P从点E出发沿直线向点F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球P第一次碰到点E时,小球P所经过的路程为.【解析】依题意,得到下图.易发现小球是沿着EFGHMNE的轨迹来运动的,故需分别求出线段EF,FG,GH,HM,MN,NE的长度,同时通过观察图形,易得到EF=HM=,
7、GH=EN=,FG=MN=,当小球P第一次碰到点E时,小球P所经过的路程为6.答案:6三、解答题(共26分)7.(8分)如图,过正方形ABCD的顶点D作DEAC交BC的延长线于点E.(1)判断四边形ACED的形状,并说明理由.(2)若BD=8cm,求线段BE的长.【解析】(1)四边形ACED是平行四边形.理由如下:四边形ABCD是正方形,ADBC,即ADCE,DEAC,四边形ACED是平行四边形.(2)由(1)知,BC=AD=CE=CD,在RtBCD中,令BC=CD=x,则x2+x2=82.解得x=4,BE=2x=8(cm).8.(8分)在折纸这种传统手工艺术中,蕴含许多数学思想,我们可以通过
8、折纸得到一些特殊图形.把一张正方形纸片按照图的过程折叠后展开.(1)猜想四边形ABCD是什么四边形.(2)请证明你所得到的数学猜想.【解析】(1)四边形ABCD是菱形.(2)AMG沿AG折叠,使AM落在AC上,MAD=DAC=MAC,同理可得CAB=NAB=CAN,DCA=MCD=ACM,ACB=NCB=ACN,四边形AMCN是正方形,MAC=MCA=NAC=NCA,DAC=BAC=BCA=DCA.ADBC,ABDC,四边形ABCD为平行四边形,DAC=DCA,AD=CD,四边形ABCD为菱形.【培优训练】9.(10分)如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.(1)求证BCPDCP.(2)求证:DPE=ABC.(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图),若ABC=58,则DPE=度.【解析】(1)在正方形ABCD中,BC=DC,BCP=DCP=45,在BCP和DCP中,BCPDCP(SAS).(2)由(1)知,BCPDCP,CBP=CDP,PE=PB,CBP=E,CDP=E,1=2(对顶角相等),180-1-CDP=180-2-E,即DPE=DCE,ABCD,DCE=ABC,DPE=ABC.(3)与(2)同理可得:DPE=ABC=58.