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1、精品文档用心整理认识三角形（基础）知识讲解【学习目标】1.理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2.理解并能够证明三角形内角和定理；3.掌握并会把三角形按角分类；4.掌握并会应用三角形三边之间的关系；5.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握它们的画法；并能正确应用概念解题【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形要点诠释：（1）三角形的基本元素：三角形的边：即组成三角形的线段；三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；三角形的顶点：即相邻两边的公
2、共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（）三角形的表示：三角形用符号“”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的没有意义；ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；求一个三角形中各角之间的关系要点三、三角
3、形的分类【：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：直角三角形要点诠释：锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形（3）证明线段之间的不等关系要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研
4、究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言图形语言从三角形的一个顶点向它的三角形中，连接一个顶对边所在的直线作垂线，顶点和它对边中点的线点和垂足之间的线段段三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段作图过点A作ADBC于点D语言标示图形取BC边的中点D，连接AD作BAC的平分线AD，交BC于点D12121符号语言推理语言1AD是ABC的高2AD是ABC中BC边上的高3ADBC于点D4ADC90，ADB90(或ADCADB90)因为AD是ABC的高，所以ADBC(或ADB
5、ADC90)1AD是ABC的中线2AD是ABC中BC边1AD是ABC的角平分线上的中线2AD平分BAC，交BC1于点D3BDDCBC2312BAC4点D是BC边的中点2因为AD是ABC的中线，因为AD平分BAC，所以1所以BDDCBCBAC2用途1线段垂直举例2角度相等注意1与边的垂线不同事项2不一定在三角形内重要三角形的三条高(或它们的特征延长线)交于一点1线段相等2面积相等一个三角形有三条中线，它们交于三角形内角度相等与角的平分线不同一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理一点【典型例题】类型一、三角形的内角和1证明：三角形的内角和为180
6、.【答案与解析】解：已知：如图，已知ABC，求证：A+B+C180.点证法1：如图1所示，延长BC到E，作CDAB因为ABCD（已作），所以1=A（两直线平行，内错角相等），B=2（两直线平行，同位角相等）又ACB+1+2=180（平角定义），所以ACB+A+B=180（等量代换）证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DEAB，交AC于E，DFAC，交AB于点F因为DFAC（已作），所以1=C（两直线平行，同位角相等），2=DEC（两直线平行，内错角相等）因为DEAB（已作）所以3=B，DEC=A（两直线平行，同位角相等）所以A=2（等量代换）又1+2+3=180（平角定义），所以A+B
7、+C=180（等量代换）【总结升华】理解并掌握三角形内角和的证明方法，有助于帮助我们更深刻的去记忆三角形资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理的内角和是180.2.在ABC中，已知A+B80，C2B，试求A，B和C的度数【思路点拨】题中给出两个条件：A+B80，C2B，再根据三角形的内角和等于180，即A+B+C180就可以求出A，B和C的度数【答案与解析】解：由A+B80及A+B+C180，知C100又C2B，B50A80-B80-5030】【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件A+B+C180本题可以设Bx，则A80-x，C2x建立方程求解【：与三角形有关的角例1、举一反三：【变
8、式】已知，如图，在ABC中，C=ABC=2A，BD是AC边上的高，求DBC的度数.【答案】解：已知ABC中，C=ABC=2A设A=x则C=ABC=2xx+2x+2x=180解得：x=36C=2x=72在BDC中，BD是AC边上的高，BDC=90DBC=18090-72=18类型二、三角形的分类3.一个三角形的三个内角分别是95、30、45，这个三角形是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形【答案与解析】解：因为这个三角形的其中一个内角是95，95是钝角，所以这个三角形是钝角三角形，故选：B.【总结升华】主要考察了三角形的分类方法.举一反三资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【变式】
9、一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A锐角B直角C钝角D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的三边关系4.（2015春滕州市期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）7cm，5cm，11cm4cm，3cm，7cm5cm，10cm，4cm2cm，3cm，1cmA.B.C.D.【思路点拨】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可【答案】A.【解析】解：7+511，能围成三角形，3+4=7，不能围成三角形，4+510，不能围成三角
10、形，1+2=3，不能围成三角形能围成三角形的是，故选A【总结升华】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形【：与三角形有关的线段例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1)3，4，5；(2)3，5，9；(3)5，5，8.（【答案】1）能；（2）不能；（3）能.类型四、三角形中重要线段5.（2016春普宁市期末）下面四个图形中，线段BE是ABC的高的图是（）ABCD【思路点拨】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段B
11、E是ABC的高【答案】D；【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部举一反三：【变式】如图所示，已知ABC，试画出ABC各边上的高资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【答案】解：所画三角形的高如图所示6.如图所示，CD为ABC的AB边上的中线，BCD的周长比ACD的周长大3cm，BC8cm，求边A
12、C的长【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：AD，BCD的周长比ACD的周长大3【答案与解析】解：依题意：BCD的周长比ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)3又CD为ABC的AB边上的中线，ADBD，即BC-AC3又BC8，AC5答：AC的长为5cm【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段ADBD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法举一反三：【变式】（2014秋西昌市期末）下列说法中错误的是（）A.三角形三条角平分线都在三角形的内部B.三角形三条中线都在三角形的内部C.三角形三条高都在三角形的内部D.三角形三条高至少有一条在三角形的内部【答案】C.资料来源于网络仅供免费交流使用