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1、自动控制原理 (2),1,自动控制原理,第二章,自动控制原理 (2),2,自动控制原理,第二章,# 21 控制系统的数学模型,# 22 建立微分方程的一般方法,# 23 微分方程的解法,自动控制原理 (2),3,# 21 控制系统的数学模型,1.数学模型的概念 2.数学模型,自动控制原理 (2),4,控制系统的数学模型,自动控制系统的任务是将系统的输入信号（包括控制输入与扰动输入）的变化，及时地、准确地、稳定可靠地传送到系统的输出端，驱动执行机构动作，使被控量按照输入信号的要求而变化或保持恒定；,自动控制原理 (2),5,控制系统的数学模型,控制系统一般来说都是相当复杂的物理系统，它们的组成可
2、以是各种不同的物质运动形式：电、机械、液压、气动等。但若它们的运动过程的数学模型相同，则它们的分析和设计也就完全一样。,自动控制原理 (2),6,控制系统的数学模型,数学模型 定义：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。一般应根据系统的实际结构参数及计算所要求的精度忽略去一些次要因素，使模型既能反映系统的动态特性，又能简化分析、计算。 表示方法：微分方程、传递函数、动态结构图、信号流图。,自动控制原理 (2),7,# 21 微分方程（时域数学模型）,一、微分方程的建立 1、确定系统和各元件的输入和输出量； 2、根据物理或化学定律，从输入端开始按信号的传递顺序，列写每个元件的
3、运动方程； 3、消除中间变量，写出输入、输出微分方程式； 4、标准化，即将与输入有关的放在“=”的右侧，输出有关的放在“=”的左侧，并按降幂排列。 2.举例 （1）（2）（3）（4）（5） （6）,自动控制原理 (2),8,建立微分方程的一般方法,例一、如图为一机械转动系统，系统的转动惯量为J，粘性阻尼系数为f，输出量为惯性负载的角速度 ，T（t）为作用到系统上的转矩。,f,T（t）,J,1、输入T（t） 输出 ,2、应用牛顿第二定律,自动控制原理 (2),9,建立微分方程的一般方法,例二、列写如图所示电路的动态方程。,R,C,i,Ur,Uc,解：列写电路方程组,Ur=R*i+（1/C）* i
4、dt Uc=（1/C）* i dt,整理得：,令 RC=T 则：,自动控制原理 (2),10,建立微分方程的一般方法,例三、如图所示，设支撑点a的位移为 yi（t），质量m的位移为yo（t），设k为弹簧的弹性系数，f为质量m运动时的摩擦系数，求动态方程。,m,yi（t）,yo（t）,k,a,f,解：列写方程，得：,整理得：,自动控制原理 (2),11,建立微分方程的一般方法,例四、根据如图所示电路，列写动态方程。,R1,R2,C1,C2,i1,i2,Ur,Uc,U c1,解：根据电路图，列 写出相应的方程；,自动控制原理 (2),12,消去变量i1、i2,令T1=R1C1 ，T2=R2C2 ，
5、 T3=R1C2 得：,自动控制原理 (2),13,建立微分方程的一般方法,例五、试列写电枢控制的它激直流电动机的微分方程。以电枢电压为输入量，以电机转角为输出量。,La,Ra,ia,Eb,if=常值 （激励电流）,f,Ua,+,-,Qm,ML,J为转动惯量,解：电动机的工 作原理如上图所 示，Ra表示电枢 电阻，La表示电 枢电感，ia为电枢 电流，Ua为电枢输 入电压，if为固定的激励电流，Eb为电枢反电动势，Qm为电机转角，f为电机轴上的粘性阻尼系数，ML为负载力矩，并设电机重量G 及直径D均为已知，J为电枢转动惯量J=GD/4g,2,Mm,自动控制原理 (2),14,建立微分方程的一般
6、方法,当电枢两端加上电压Ua后，产生电枢电流ia，随即获得电磁转矩Mm，驱动电枢克服阻力矩带动负载旋转，同时在电枢两端产生反电动势Eb，削弱外电压的作用，减小电枢电流，保持电枢作恒速转动。 根据物理学基本定律得： 式中Kb为电机反电动势系数，Cm为电动机力矩系数,自动控制原理 (2),15,建立微分方程的一般方法,消去中间变量ia、Eb、Mm即可得：,若不计La 则,自动控制原理 (2),16,建立微分方程的一般方法,例六、列写位置随动系统的微分方程，该系统是用来控制有转动惯量JL和粘性摩擦fL的机械负载，使其位置与输入手柄的位置同步。,解：该系统有两个电位计组成角位移误差检测器，它的滑动臂分
7、别与输入手柄及负载轴相连。 当输入轴与负载轴的角位移Qr与Qc不等时，产生误差角Qe=Qr-Qc，误差角Qe与误差检测器的灵敏度ks的乘积，即为加至放大器的电压Us， 经放大器放大ka倍，再加至电机电枢，驱动电动机并带动负载转动。ks是加至电位计两端的电压与电位计滑臂最大转角之比（伏/弧度）。电机一般经减速器带动负载，本例设减速器只有一对齿轮，分别为Z1和Z2。,自动控制原理 (2),17,建立微分方程的一般方法,下面从输入端Qr开始，依次列写各元件的微分方程。,误差检测器：Qe=QrQc Us=ks*Qe ks加至电位计两端的电压与电位计滑臂最大 转角比（伏/弧度）；,放大器：Ua=ka*U
8、s ka放大器电压放大系数；,电动机 ：由于电机带动减速器和负载一起转动， 因此，列写电机方程时，应考虑减速器及负载的转动 惯量以及粘性摩擦的影响。一般把它们算到电机轴上， 假设电机轴的总等效转动惯量为J及总等效粘性摩擦系 数为f，齿轮传动比i=Z1/Z2,自动控制原理 (2),18,建立微分方程的一般方法,应用上例，并注意本例中ML=0，可写出电机的微分方程，,减速器：Qm除以减速器比i，即为Qc， Qc=Qm/i,自动控制原理 (2),19,建立微分方程的一般方法,从上述各式消去中间变量Qe、Us、Ua、Qm，得：,若忽略La，并令k=ks*ka*Cm/Ra* i F=f+Cm*kb/Ra
9、 得：,即位置随动系统的数学模型是一、二阶线性常系数 微分方程，故又称此系统为二阶系统。,自动控制原理 (2),20,二、微分方程的求解,1.概念 2.几种典型函数的拉氏变换 3.拉氏变换的性质 4.拉氏反变换 5.用拉氏变换求解微分方程 6.例 （1）（2）（3）,自动控制原理 (2),21,微分方程的解法,线性 控制系统可以用常系数线性微分方程来描述，求解这个微分方程，就得到表示系统动态特性的过渡过程，因此，方便地求解微分方程是至关重要的。,拉氏变换就是一种用来简化求解微分方程的运算方法。（P597）,一、拉氏变换的定义： 设f（t）是定义在（0，）区间上的时间函数， 又s为复数（s= +
10、jw），用e 乘以f（t）后，再将它 对t从0 进行积分，如果这个积分收敛，则这 个积分便确定了一个以s为参量的复变函数F（s）； F（s）=L f（t） = f（t）e dt,-st,-st,0,自动控制原理 (2),22,微分方程的解法,这种通过积分的运算，将一个已知的实变函数f（t）变换成另一个复变函数F（s）的方法 拉普拉斯变换。反之，由F（s） f（t） 的运算称为拉氏反变换。 f（t）=L-1 F(s)=(1/2 j） F（s）est dt F(s)-象函数 f(t)-原函数,+j , -j ,自动控制原理 (2),23,微分方程的解法,二、几种典型函数的拉氏变换 加于控制系统中的
11、外作用（指给定值和干扰）一般事先是不完全知道的，而且常常随时间任意变化。为了便于对系统进行理论分析，工程实践中允许采用几种简单的时间函数作为系统的典型输入，即：单位阶跃函数、单位斜坡函数、等加速函数、指数函数、正弦函数以及单位脉冲函数等。（P14）,自动控制原理 (2),24,微分方程的解法,1、单位阶跃函数1（t） f（t）=1（t）=,1 t 0,0 t 0,f(t),1,0,t,2、单位斜坡函数 f (t)=t * 1(t)= F(s)=Lt *1(t)= t *e dt =-(t/s )(e ) + (1/s)(e )dt =1/s,L1(t)=F(s)= 1*e dt=-(1/s)*
12、e = 1/s,0,-st,-st,0,t t 0,0 t 0,f(t),t,0,0,-st,-st,0,0,-st,2,自动控制原理 (2),25,微分方程的解法,3、等加速函数 f(t)= F(s)=L (1/2)*t2 =1/s3,(1/2)*t t 0 0 t 0,2,4、指数函数 f(t)= F(s)=Le = 1/(sa),e t 0 0 t 0,at,at,5、正弦函数 f(t)= F(s)=Lsinwt=w/(s +w ) F(s)=Lcoswt=s/(s +w ),Sinwt t 0 0 t 0,2,2,2,2,自动控制原理 (2),26,微分方程的解法,三、拉氏变换的性质
13、1、线性性质： L a f(t) =a F(s) L f1(t)+f2(t)+f3(t)+.fn(t) = F1(s)+F2(s)+F3(s)+.Fn(s),2、微分定理：,自动控制原理 (2),27,微分方程的解法,L d f(t)/ dt =s F(s) s f(0) f (0) L d f(t)/ dt = s F(s) f(0),2,2,2,3、积分定理： L . f(t) dt =(1/s ) F(s) + (1/s ) f (0) + .(1/s) f (0) f (0) , f (0) , , f (0)为 f(t) 的各重积分在 t= 0时的值，若初值为 0 则， L f (t
14、) dt =(1/s) F(s) L f (t) dt =(1/s ) F(s) L . f (t) dt =(1/s ) F(s),n,n,n,(-1),(-n),(-1),(-2),(-n),2,2,n,n,n,n,自动控制原理 (2),28,微分方程的解法,4、终值定理： lim f(t) = lim s F(s),t,S 0,5、位移定理： L f (t) =F(s) L f ( t t 0 ) = e F(s) L e f (t) =F(sa ),-s t0,at,自动控制原理 (2),29,微分方程的解法,例： 1、 f(t) = t + 3t + 2,2,f(t) = 2*(1/
15、2) t + 3* t + 2* 1(t),2,F(s) = 2/s + 3/s + 2/s,3,2,2、f(t) = e sin wt,-at,F(s) = L f(t) = w/(s+a) + w ,2,2,自动控制原理 (2),30,微分方程的解法,四、拉氏反变换 查表法和部分分式展开法,F（s）通常是复变量s 的有理分式函数，即分母多项 式阶次高于分子多项式， a0,.,an ; bo,.,bm 为实数， m n , m ,n 为正数；,自动控制原理 (2),31,当 A（s）中的变量s取值各为 s1、s2sn时， A（s）= 0，所以称为F（s）的极点。,将函数的分母写成下面因式分解
16、的形式： A(s) = (ss1) (ss2) (ss3) .(ssn),根据F（s）的极点形式不同，分别按下述办法进行部分分式展开；,自动控制原理 (2),32,微分方程的解法,1、F（s）包含一系列不同的极点，则,例、F(s) = (s + 5 s + 9 s +7) /(s + 1) (s +2 ),3,2,解： F(s) = (s + 2) + (s + 3)/( s + 1)( s + 2) 令 F1(s) = (s + 3 )/ (s + 1)( s+ 2) = c1/( s +1 ) + c2/(s + 2 ),C1 = ( s +1)*F1(s) s = -1 C2 = ( s
17、 +2) * F1(s) s= -2 = 2 = -1,所以 F(s) = (s +2) + 2/ ( s +1) 1/ ( s+ 2),f(t) = d (t)/ dt + 2 (t) + 2 e-t -e-2t,自动控制原理 (2),33,微分方程的解法,2、若F（s）有多重极点，设s1为m阶重根， Sm+1、Sm+2、.、sn为单根，即： A(s)=(s s1) ( s sm+1)(s sm+2).( s sn ),m,F(s)= B(s)/A(s) = Cm /(s-s1) + Cm-1 /(ss1) + C1/(ss1) +Cm+1/(ssm+1)+Cm+2/(ssm+2) + Cn
18、/(ssn),m,m-1,上式中，Cm+1，Cn为单根部分分式的待定系数，可 按前述方法确定系数，而重根项待定系数C1.Cm的计算公式如下：,自动控制原理 (2),34,微分方程的解法,自动控制原理 (2),35,微分方程的解法,例：F(s)=(2s + 3s + 3)/(s + 10s + 36s + 54s +2),2,4,3,2,解： m n , 对A(s)进行因式分解，得： A(s)= ( s +1 )( s +3 ),3,F(s) = B(s)/A(s)= C1/(s+1) + a1/(s+3) + a2/(s+3) +a3/(s+3),3,2,C1= B(s)/A(s)*(s+1)
19、 s= -1 = 1/4,a1 = B(s)/A(s)*(s+3) s= -3 = -6,3,a2 = d B(s)/A(s)*(s+3) /ds s= -3 = 3/2,3,自动控制原理 (2),36,微分方程的解法,a3 = (1/2!)*d B(s)/A(s)*(s+3) 3 / ds s= -3 = 1,2,2,F(S) = 1/ 4(S+1) - 6/(S+3)3 + 3/2(S+3)2 +1/(S+3),f(t) = (1/4)e - 3t e + (3/2) t e + e,-t,2,-3t,-3t,-3t,自动控制原理 (2),37,微分方程的解法,五 用拉氏变换求解微分方程,
20、微分方程,以s为参量的象函数 的代数方程,象函数,原函数 (微分方程解),拉氏,变换,求解代数方程,拉氏,反变换,自动控制原理 (2),38,微分方程的解法,例1:求 Tdy/dt + y =X 的时间解 Y(t) , X(t) = 1(t) 且初始条件为0,解：1、对微分方程的两端求拉氏变换，得：,TsY(s) +Y(s) = X(s),(Ts +1)Y(s) = X(s),X(t) = 1(t) X(s) = 1/s,(Ts +1)Y(s) =1/s,Y(s) =1/ s (Ts +1),自动控制原理 (2),39,微分方程的解法,Y(s) = (1/T) / s(s + 1/T) =C1
21、/s + C2/(s +1/T),C1 =Y(s) *ss=0 =1,C2 = Y(s) *(s + 1/T) s=-1/T = -1,Y(s) = 1/s 1/(s +1/T),y(t) = 1(t) e,-t /T,自动控制原理 (2),40,微分方程的解法,例二：设RC网络如图所示，在开关K闭合之前，电容C上有初始电压Uc (0)。试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压 Uc（t）。,K,R,C,Uc,解：开关K瞬时闭 合，相当于网络有 阶跃电压Uo*1（t） 输入，故网络的微 分方程为：,自动控制原理 (2),41,微分方程的解法,RC * dUc/dt + Uc = Uo* 1(t) 拉
22、氏变换得：,RCsUc(s) RCU(0) + Uc(s) =(1/s) Uo,Uc(s) = Uo / s ( RCs +1) +RCUc(0)/(RCs + 1) 拉氏反变换得：,Uc(s) = ( 1/s)Uo RCUo/(RCs+1) + RCUc(0)/(s + 1/RC) = Uo/s Uo/( s + 1/RC) + Uc(0)/( s +1/RC),uc(t)= uo uo e + uc(0) e,-t/RC,-t/RC,自动控制原理 (2),42,微分方程的解法,上例中，若将电源改为正弦电压，即输入为Umsinwt，且设Uc（0）=0，试求开关K闭合后电容端电压Uc 的响应。
23、,解：在正弦电压作用下，网络的微分方程为,两端求拉氏变换得：,令 RC = T ，则：,自动控制原理 (2),43,微分方程的解法,部分分式展开，得：,自动控制原理 (2),44,C1 = Uc(s)*(s+1/T)s=-1/T = TUmw/(Tw) +1,C2 = Uc(s)*(s+jw)s=-jw = Umw/ (-2jw)(-jwT+1),C3 = Uc(s)*(sjw)s=jw = Umw/(2jw)(jwT+1),自动控制原理 (2),45,微分方程的解法,所以：,自动控制原理 (2),46,微分方程的解法,拉反变：,自动控制原理 (2),47,微分方程的解法,例：2x+7x+3x
24、 =5*1(t) x(0)=0, x(0) =0,解：求拉氏变换得：,2s X(s) +7sX(s) +3X(s)= 5/s,2,X(s) = 5/(2s +7s +3s) = 5/2(s +7/2s +3/2s) =5/2s(s+1/2)(s+3),3,2,3,2,部分分式展开: X(s) = c1/s +c2/(s+1/2)+c3/(s+3),自动控制原理 (2),48,微分方程的解法,C1 = X(s)*ss=0 = 5/3,C2 = X(s)*(s+1/2)s=-1/2 = -2,C3 = X(s)*(s+3)s=-3 = 1/3,X(s) = 5/3s 2/(s+1/2) +1/3(s+3),X(t) = 5/3 2e +(1/3)e,-t/2,-3t,