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1、2014年高考真题理科数学(全国大纲卷)精校版 Word版含答案 2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设z=10i，则z的共轭复数为 3+i（ ）A-1+3i B-1-3i C1+3i D1-3i【答案】D2.设集合M=x|x2-3x-4bc Bbca Ccba Dcab【答案】C4.若向量a,b满足：a=1,a+ba,2a+bb,则b= （ ）A2 BC1 D【答案】B5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A6
2、0种 B70种 C75种 D150种【答案】C N= ()() 2 x2y26.已知椭圆C：2+2=1(ab0)的左、右焦点为F、，离心率为，过F2的F12ab3直线l交C于A、B两点，若DAF1B的周长为C的方程为 （ ）x2y2x2x2y2x2y22+=1 B+y=1 C+=1 D+=1 A332128124【答案】A7.曲线y=xex-1在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ）A2e Be C2 D1【答案】C8正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A81p27p B16p C9p D 44【答案】A9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、
3、F2，点A在C上，若F1A=2F2A，则cosAF2F1=（ ）A11 B C D 4343【答案】A10.等比数列an中，a4=2,a5=5，则数列lgan的前8项和等于 （ ）A6 B5 C4 D3【答案】C11.已知二面角a-l-b为60，ABa，ABl，A为垂足，CDb，Cl，ACD=135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 （ ） A11 B C D 4244【答案】B.12.函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称，则y=f(x)的反函数是（ ）Ay=g(x) By=g(-x) Cy=-g(x) Dy=-g(-x)【答案】D. 第卷（共90分）二、填
4、空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中x2y2的系数为.（用数字作答） 【答案】70. 8x-y014.设x,y满足约束条件x+2y3，则z=x+4y的最大值为 .x-2y1【答案】5.15直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于 . 【答案】4 316.若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(【答案】(-,2 pp,)是减函数，则a的取值范围是 . 62三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）DABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC
5、=2ccosA，tanA=求B.解：由题设和正弦定理得1，3 3sinAcosC=2sinCcosA,3tanAcosC=2sinC.tanA=1,cosC=2sinC, 3tanC=0?1tanA+tanC,tanB=tan轾180?A+C=-tanA+C=-1,又()()臌2tanAtanC-1135 B<180癨,?B18. （本小题满分12分）等差数列an的前n项和为Sn，已知a1=10，a2为整数，且SnS4. （I）求an的通项公式；（II）设bn=1，求数列bn的前n项和Tn. anan+1解：（I）由a1=10，a2为整数知，等差数列an的公差d为整数又SnS4，故a40
6、,a50,于是10+3d0,10+4d0，解得-数列an的通项公式为an=13-3n（II）10d3-5，因此d=-3，故2bn=111=-，于是13-3n10-3n310-3n13-3n11111+bn=-+-+3710471111n1+-=-=10-3n13-3n310-3n101010-3n1Tn=b1+b2+19. （本小题满分12分）的DF=平面角由AD=1得D为AC的中点，1ACBC?2ABtan?A1FDA1D=DF二面角A1-AB-C的大小为1 解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz由题设知A1D与z轴平行，z轴
7、在平面AA1C1C内 （I）设A1(,a0),12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备，i=0,1,2；B表示事件：甲需使用设备；C表示事件：丁需使用设备；D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备 （I）D=A1BC+A2B+A2C，又iP(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C20.52,i=0,1,2.P(D)=P(A1BC+A2B+A2C)=P
8、(A1BC)+P(A2B)+P(A2C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.（II）X的可能取值为0，1，2，3，4P(X=0)=PBA0C=PBP(A0)PC=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06，P(X=1)=PBA0C+BA0C+BA1C=P(B)P(A0)PC+PBP(A0)P(C)+PBP(A1)PC=0.60.52()()()()()()()(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2BC)= P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.0
9、6,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38.数学期望EX=0?P(X0)+1?P(X1)+2?P(X2)+3?P(X3)+4?P(X4)=0.25+2?0.383?0.254?0.062.21. （本小题满分12分）已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=5|PQ|. 4（I）求C的方程；（II）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上
10、，求l的方程.解：（I）设Q(x0,4)，代入y2=2px，得x0=设得88pp8,PQ=,QF=+x0=+.由题pp22pp858+= ，解得p=-2（舍去）或p=2，C的方程为y2=4x；（II）由题设知l2p4p与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x=my+1(m 0)，代入y2=4x得y2-4my-4=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4故AB的中点为D(2m2+1,2m),AB=1-y2=4(m2+1)又l的斜率为-m,l的方程为x=-y2+1y+2m2+3将上式代入y2=4x，并整理得m44设M(x3y,3Bx,yy-4(2m2+3)=0)(,4m
11、桫mm故MN,)则y3+y4=-4,y3y4=-4(2m2+3)m4(m2+1222的中点为E骣 +2m+3,-2,MN=3-y4=2m由于MN垂直平分线AB，故A,M,B,N四点在同一圆上等价于AE=BE=1MN，从而2224(m2+1)(2m2+1)骣骣222即4(m+1)+珑，化简得2m+鼢+2=鼢+珑珑桫m鼢桫m2m42211222AB+DE=MN,44m2-1=0，解得m=1或m=-1所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=022. （本小题满分12分） 函数f(x)=ln(x+1)-ax(a1). x+a（I）讨论f(x)的单调性；（II）设a1=1,an+1=ln(an+1
12、)，证明：23an. n+2n+22xx-a-2a)(解：（I）f(x)的定义域为(-1,+),f(x)=(x+1)(x+a)222（i）当1a0,f(x)在-1,a-2a上是增函2,f(x)0,f(x)在(0,+)上是增函数 )则（ii）当a=2时,f(x)?0,f(x)0成立当且仅当x=0,f(x)在(-1,+ )上是增函数 （iii）当a>2时，若x?(1,0)，则f(x)0,f(x)在是(-1,0)上是增函数；若22x(0,a2-2a)，则f(x)0,f(x)在(a2-2a,+)上是增函数（II）由（I）知，当a=2时，f(x)在(-1,+ )是增函数当x?(0,即ln(x+1)
13、>2x(x>0)又由（I）知，当a=3时，fx+2 )时，f(x)>f(0)=0，(x)在0,3)上是减函数；当x(0,3)时，f(x)<f(0)=0，即ln<(x+)123 <an n+2n+23x3下面用数学归纳法证明(<0x<)x+32（i）当n=1时，由已知<a1=1，故结论成立； 3（ii）假设当n=k时结论成立，即23当n=k+1时，<ak k+2k+22323骣2k+2=2,a=lna+1?ln骣3k+2=3鼢ak+1=ln(ak+1)>ln+1>1<()鼢k+1k桫桫k+2鼢+2k+3k+2+3k+3k+2k+2，即当n=k+1时有成立 23，结论成立根据（i）、（ii）知对任何nN*结论都<ak k+3k+3