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1、,第十一章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,1.引例: 曲线形构件的质量 (平面or空间内),设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的任意分割,2.定义,“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，
2、, 称为积分弧段 .,和对局部的任意取点, 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 如果 L 是闭曲线 , 则记为,则定义对弧长的曲,线积分为,3. 性质,（k 为常数),( 由 组成),( l 为曲线弧 的长度),二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,说明:,因此积分限必须满足,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,空间曲线弧的参数方程为,则,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,上点 O (0,0),例2. 计算,其中 L 为封闭路径 OABO,例5
3、. 计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,例3. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,线,例4. 计算,其中为球面,内容小结,1. 定义,2. 性质,( l 曲线弧 的长度),3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,作业 P190 3 (1) , (3) , (6) , (7),备用题,设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,提示: 分段积分,15,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念 与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,16,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,(其中 为 n 个小弧段的最大长度),17,2. 定义.,设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,在 L 上定义了一个向量函数,极限,18,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .,称为被积函数 ,其中,