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1、1,三、绘制根轨迹图示例,七条绘制规则： 1 起点与终点：起始于开环极点，终止于开环零点； 2 分支数、连续性、对称性：分支数等于系统特征方程的阶数，根轨迹连续且对称于实轴。 3 实轴上的根轨迹：实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹；,2,4 渐近线 5 在实轴上的分离点,3,6 起始角和终止角 7 与虚轴的交点 将 代入闭环特征方程，令方程两边实部和虚部分别相等，求出 。,4,以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。 根轨迹的起点（开环极点 )用符号“ ”标示；根轨迹的终点(开环零点 )用符号“ o ”标示。 根轨迹
2、由起点到终点是随系统开环根轨迹增益 值 的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。,要标出一些特殊点的 值，如起点（ )，终点（ )；根轨迹在实轴上的分离点d ( )；与虚轴的交点 （ ）。还有一些要求标出的闭环极点 及其对应的开环根轨迹增益 ，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。,5,例4-7 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图。,解:(1)根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即P1=0,P2=-1,P3=-2,由于没有开环零点（m=0）,三条根轨迹的终点均在无穷远处。 (2)该系统的特征方程为 这是一个三阶系统，该系统有三条根轨迹在s平面上。三条根轨迹连
3、续且对称于实轴。 (3)由规则三知，实轴上的根轨迹为实轴上P1 到P2的线段和由P3至实轴上负无穷远线段。,6,当k=0时 当k=1时 当k=2时,由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。,7,(5)由规则5知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程 解的合理值， 解得 不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为 。 (6)无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。,8,解虚部方程得,其中 是开环极点 对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为 ，绘制出该系统的根轨迹图如图4-11所示。,(7)由规则七，可求出根轨迹与虚轴的交点 ,用 代入特征方程并令方程两
4、边实部和虚部分别相等：,9,图4-11 例4-7系统根轨迹图,10,解(1)由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点 和一对开环共轭复数极点 ,根轨迹的起点为 和 ，其终点为 和无穷远点 。 (2)是一个二阶系统，在S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。 (3)由规则三知，实轴上由-2至-的线段为实轴上的根轨迹。 由规则五，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是,例4-8 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。,11,即 解方程可得 不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为 。,由规则六，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的起始角。,12,证明 已知系统的开环零点和
5、极点分别为 ， ，令s=u+jv为根轨迹的任一点，由相角条件可得 将s、 、 和 代入得 即,应用三角公式,为准确地画出S平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明本系统在S平面上的根轨迹是一个半径为 ，圆心位于点 的圆弧。,13,将上式等号左边合并可得到 将上式等号两边取正切，则有,方程表示在S平面上的根轨迹是一个圆心位于点 、半径为 的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-12所示。,14,图4-12 例4-8系统的根轨迹图,w,j,s,s,0,-1,-2,-3,),0,(,1,=,K,P,1,p,q,),0,(,2,=,K,P,2,p,q,414,.,3,1,=,d,1,d,-4,*,K
6、,1,-1,),(,1,=,K,Z,*,*,*,15,由本例不难发现，由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。,将上例与图例比较,16,例4-9 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。,解 由规则一知，根轨迹的起点分别是系统的4个开环极点,即 ， 。由于系统无有限开环零点（m=0），根轨迹的终点均
7、在S平面的无穷远处（无穷零点）。,由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为 由规则二知，该系统的根轨迹共有4条分支（n=4），4条根轨迹连续且对称于实轴。 由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上由0到-2的线段。,17,渐近线与实轴正方向的交角为 当k = 0时， 当k = 1时， 当k = 2时， 当k = 3时，,(4)由规则四可求出4条根轨迹渐近线与实轴的交点为,18,由规则五可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是 即 解方程得到,由规则六可求出复数极点 和 的起始角,19, 该系统为4阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的交点 和对应的开环根轨迹增益的临界值 比较困难。下面采用劳斯判据求出 和 的值。 根据系统的特征方程列出劳斯表如下： 1 6 4 4 0 5 0 0,令劳斯表中 行的首项系数为零，求得 ， 由 行系数写出辅助方程为 令 ，并将 代入辅助方程可求出 。系统的根轨迹如图4-13所示。,20,0,图4-13 例4-9系统的根轨迹图,21,观察(3)和(4)，满足(3)的s值必满足(4)，所以 分离点也可以由（4）得到。,设开环传函,则特征方程,求导,两式相除,由特征方程得,求导,