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1、多边形及其内角和中考要求内容基本要求了解多边形与正多边形的概念；略高要求会用多边形的内角和和外角和公式解决计算问较高要求多边形了解多边形的内角和及外角和公式；知道用任意一个三角形、四边形或正六边形可以进行镶嵌；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系题；能用正三角形、正方形、正六边形进行镶嵌设计；依据图形条件分解与拼接简单图形例题精讲多边形及其内角和基本概念多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形
2、的对角线多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形基本性质稳定性内角和与外角和定理如下图，n边形的内角和为(n-2)180(n3)，多边形的外角和都是360分割成(n-2)个三角形求内角和n个平角-内角和n边形的对角线：一个顶点有(n-3)条对角线，共有(n-3)n条对角线2不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180模块一多边形的对角线【例1】如果一个多边形共有27条对角线
3、，则这个多边形的边数是【解析】略【答案】9【巩固】已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边之长6789【解析】提示：根据对角线条数先判断边数，在设未知数列方程求解【答案】5，10，11(x-3)x【解析】设多边形有n条边，则根据题意可列：(n-3)n=n，解得n1=5，n2=0（舍去），【巩固】已知一个多边形的对角线的条数为边数的2倍，求该多边形的边数【解析】提示：设边数为x，则=2x2【答案】7【例2】一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形是（）边形2故多边形的边数为5【答案】C【巩固】一个n边形的边数增加一条，那么它的对
4、角线增加条【解析】略【答案】1；【例3】从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（）【解析】从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n-2）【答案】C【巩固】一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数（）【解析】通过分析可知，n-2=12，则n=14【答案】A模块二多边形的内角和与外角和内角和【例4】已知一个多边形的内角和是540，则这个多边形是()A四边形B五边形C六边形D七边形【解析】略【答案】【巩固】一个多边形共有14条对角线，则它的内角和为_.【解析】一个n边形，从一个顶点出发，有(n-3)条对角
5、线，故共有1n(n-3)条对角线，2于是有1n(n-3)=14，从而n=7，2这个三角形的内角和为(7-2)180=900【答案】900【例5】在四边形ABCD中，D=60，B比A大20，C是A的2倍，求A，B，C的大小【解析】设A=x(度)，则B=x+20，C=2x根据四边形内角和定理得，x+(x+20)+2x+60=360解得，x=70，A=70，B=90，C=140【答案】A=70，B=90，C=140【巩固】如图，已知在一次科技活动中，需要将一张面积为10cm2的四边形四角都剪去一个扇形的区域，扇形的半径均为1cm，求剩余纸张的面积ADBC【解析】四边形ABCD的内角和为360，故四个
6、扇形的面积和等于，剩余纸张的面积为10-【答案】10-【例6】一个凸多边形的内角中，最多有个锐角【解析】略【答案】3【巩固】如果一个多边形的边数增加1倍后，它的内角和是2160，那么原来多边形的边数是【解析】略【答案】7【巩固】如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n个多边形中，所有扇形面积之和是(结果保留)第1个第2个第3个【解析】略【答案】n2外角和【例7】若一个正多边形的一个外角是40，则这个正多边形的边数是()A10B9C8D6【解析】略【答案】A220【答案】已知一个五边形的外角度数之比为1:2:3:4:5，求它的内角大小【
7、解析】略【答案】60，84，108，132，156；【例8】如右图，小明从点A出发，向前走2米，左拐20，再向前走2米，再左拐20，如此下去，小明能否回到出发点A？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？2202202【解析】略【答案】能，36mB【例1】如图，讲六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A，落在六边形CDEFGH内部，则下列结论正确的是（）FED1AB2ABCA1+2=900-2(C+D+E+F)B1+2=1080-2(C+D+E+F)C1+2=720-(C+D+E+F)D1+2=360-1(C+D+E+F)2【解析】如图，设FA的延长线与CB的延长线交于点P，GA的延长线与HB
8、的延长线交于点P，连接PP，由对称性知，1=2APP，2=2BPP，1+2=2APB，又APB=540-(C+D+E+F)，1+2=1080-2(C+D+E+F)FEDP1AB2ABPC【答案】B模块三正多边形与镶嵌知识点播：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角【例9】下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案不能铺满地面的是正五边形【答案】C【巩固】若限于用同一种正多边形磁砖镶嵌（要求镶嵌的正多边形的边必须与另一正
9、多边形的边重合），则不能镶嵌成一个平面的正多边形磁砖的形状是（）A、正三角形B、正方形C、正六边形D、正八边形【解析】A、正三角形的每个内角是60，能整除360，能密铺；B、正方形的每个内角是90，4个能密铺；C、正六边形的每个内角是120，能整除360，能密铺；D、正八边形的每个内角为：180-3608=135，不能整除360，不能密铺【答案】D【例10】有下列五种正多边形地砖：正三角形；正方形；正五边形；正六边形；正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（）A.4种B.3种C.2种D.1种【解析】正三角形的每个内角是60
10、，能整除360，能够铺满地面；正方形的每个内角是90，能整除360，能够铺满地面；正五边形每个内角是180-3605=108，不能整除360，不能够铺满地面；正六边形的每个内角是120，能整除360，能够铺满地面；正八边形的每个内角为：180-3608=135，不能整除360，不能够铺满地面【答案】B【巩固】下列平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（）A.任意一种三角形B.任意一种正方形C.任意一种正五边形D.任意一种正六边形【解析】用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案，A、B能镶嵌平面的图形；C、任意一个正五边形的内角为108，不能镶嵌平面的图形；用一种正多边形镶
11、嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图D能镶嵌平面的图形【答案】C【例11】下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（）A、B、C、D、【解析】A、从一个顶点处看，由正六边形和正三角形镶嵌而成的；B、从一个顶点处看，由正方形和正三角形镶嵌而成的；C、从一个顶点处看，由正六边形和正方形镶嵌而成的；D、从一个顶点处看，由正三角形、正方形、正六边形三种镶嵌而成的【答案】D【巩固】张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（）A、B、C、D、【解析】能够铺满地面的图形是内角能凑成360，正三角形一个内角6
12、0，正方形一个内角90，正五边形一个内角108，正六边形一个内角120，只有正五边形无法凑成360【答案】C【巩固】小莹家的地面是由一个小正方形和四个等腰梯形这样的正方形地板砖镶嵌而成的，小莹发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少（）A.8B.9C.11D.12【解析】由于正方形的一个内角为90，同一顶点处等腰梯形的一个内角为：（360-90）2=135，而八边形的内角为：180-3608=135，那么小正方形的边长即为八边形的边长，画图如下【答案】A【例12】黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的
13、正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满按第1，2，3个图案（如图）所示规律依次下去，则第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A、n2+n+2，2n+1B、2n+2，2n+1C、4n，n2-n+3D、4n，2n+1【解析】第1个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4，21+1=3；第2个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是24=8，22+1=5；第3个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是34=12，23+1=7；第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4n，3+（n-1）2=2n+1【答案】D课后作业1.请
14、你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把10边形分成（）个三角形【解析】四边形可分割成4-2=2个三角形；五边形可分割成5-2=3个三角形；六边形可分割成6-2=4个三角形；七边形可分割成7-2=5个三角形，同理，10边形可分割成10-2=8个三角形【答案】8，2.一凸n边形最小的内角为95，其它内角依次增加10，则n=_【解析】这个凸n边形的内角由小到大依次为95105115125，它的外角依次为85，75，65，55，45，35而这六个外角之和为85+75+65+55+45+35=360n=6【答案】63.已知小娟家的地板全由同一形状且大小相同的地砖紧密地铺成若此地砖的形状是一正多边形，则下列何者不可能是此地砖的形状（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】A、正三角形的每个内角是60，能整除360，能密铺；B、正方形的每个内角是90，4个能密铺；C、正五边形每个内角是180-3605=108，不能整除360，不能密铺；D、正六边形的每个内角是120，能整除360，能密铺【答案】C