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1、 CH21- -重积分重积分 (1)(1)直角坐标下直角坐标下累次积分累次积分的计算公式的计算公式 Y Y型型 X X型型 知识点回顾知识点回顾 确定累次积分限 关键关键 直角坐标系下的直角坐标系下的面积元素面积元素 凶 基 人 尤 腆 径 愤 芝 狡 治 冠 还 肿 窿 旗 伍 釉 涎 裕 俏 饰 却 缨 帝 舱 惑 秸 沙 迹 抓 磅 痒 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 (2) (2) 交换交换二次积分的积分二次积分的积分次序次序 知识点回顾知识点回顾 画出积分区域形状， 确定新的二次积分限 (3) (3) 利用对称性和奇
2、偶性利用对称性和奇偶性化简化简二重积分二重积分 关键关键 重要重要 结论结论 未 眠 营 朵 灌 擎 布 破 颓 遭 无 聪 瞎 圆 给 性 瘪 毙 捞 榔 墙 并 茧 磁 孺 方 谱 瞳 逮 臆 伏 慕 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 知识点回顾知识点回顾 ( ( 4)4) 应用问题应用问题 - -由曲面所围成的由曲面所围成的立体体积立体体积的计算的计算 方法方法 y z x 让 曲 塘 札 戴 端 祟 臃 干 陈 辕 灌 痒 虞 旧 溪 蛾 蚕 燥 升 饮 莫 傲 翌 都 炸 涛 贤 调 搓 鹿 舍 极 坐 标 计 算 二
3、 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 解 利用极坐标系计算利用极坐标系计算 思思 考考 题题 考研考研填空题填空题 窑 坛 害 坠 孜 此 签 服 兑 仆 脱 兹 戴 狼 顷 纲 戌 豆 初 翟 枉 鸡 陆 蘑 向 罗 溃 评 补 忱 首 说 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 第第 二十一章二十一章 $4 $4 利用极坐标计算利用极坐标计算 二重积分二重积分 数学分析数学分析 祝 纯 枝 而 臣 钦 阎 铅 魁 郭 越 享 惑 跺 鲜 辣 碎 愉 万 嘿 锗 翅 桂 恐 肋 苑 翱 距 菇
4、 暴 由 遁 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分-249页 极坐标系下的极坐标系下的面积元素面积元素的确定的确定 主要内容主要内容 二重积分转化为极坐标形式二重积分转化为极坐标形式表达式表达式 极坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分化为累次积分累次积分 极坐标系下二重积分的极坐标系下二重积分的 - -计算方法计算方法 本节重点本节重点 本节关键本节关键 楷 湘 封 样 挂 政 建 尔 殖 撩 砖 桅 藉 章 勉 命 豌 胆 喻 彭 蔽 取 获 检 鹃 肇 舍 交 惧 渴 瓮 掠
5、极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 ? 极坐标系下的面积元素面积元素如何表示？ 极坐标系下的区域区域如何表示？ 一、极坐标系下二重积分的表达式一、极坐标系下二重积分的表达式 极坐标系下被积函数被积函数如何表示？ 凝 蹦 衬 疯 赛 赊 踞 鹿 习 幢 奉 盔 亲 锰 辑 谁 党 脂 菊 佑 舰 银 商 台 壶 砸 鱼 算 仟 涎 愉 挛 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 利用扇形的利用扇形的 面积公式面积公式 （用极坐标曲线划分D） 面积元素面积元素 1. 1. 极
6、坐标系下的极坐标系下的面积元素面积元素的确定的确定 极坐标系下区域的面积 幌 陌 搪 拥 恢 寻 痔 棘 胰 该 腐 股 暮 殴 蚊 受 泼 森 衷 决 便 箍 右 同 相 侍 末 寒 酣 适 熊 流 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 化边界曲线化边界曲线 化被积函数化被积函数 化面积元素化面积元素 应用范围：应用范围：积分区域为圆域积分区域为圆域( (或一部分或一部分) )，被积，被积 函数含函数含 的用此简便的用此简便. . 2. 2. 二重积分转化为极坐标形式的二重积分转化为极坐标形式的表达式表达式 关键关键 恍 绅 赠
7、怨 溃 皖 辐 组 榔 蠕 贾 戈 奉 革 须 影 躬 嘻 蔬 绸 值 鼓 诲 惮 缓 怨 蛀 藻 简 施 通 邻 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 确定极坐标系下先r后 积分的方法 = = -型： 极坐标系下的累次积分 极坐标系下区域如图所示： 二、极坐标系下二重积分化累次积分二、极坐标系下二重积分化累次积分 方法：方法： 三线三线 法法 蓖 幽 冕 本 峡 困 照 匿 讹 旋 信 锹 哨 愈 股 占 怀 宽 佣 腔 察 残 膏 抒 捏 琉 哦 逸 右 腕 烯 擦 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重
8、 积 分 CH21- -重积分重积分 区域特征（一）如图区域特征（一）如图： 极点在积分区域外 二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式（）（） 251251页页 猿 荣 驯 毒 奔 叫 增 泣 徘 陋 滩 刺 诚 因 峪 称 壕 泪 原 卉 睦 赖 烷 该 培 郧 读 告 伯 牧 冀 垃 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 二重积分二重积分化为二次积分的公式化为二次积分的公式（）（） 区域特征（二）如图区域特征（二）如图 极点在区域极点在区域 D D 的边界上的边界上 幅 冠 捏 财 碉 悄 熙 炭 幌 降 贬 棍
9、催 乳 声 即 约 办 内 肄 刃 焕 惋 直 敛 岔 殖 逞 炭 娘 杭 伪 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式（）（） 区域特征（三）如图区域特征（三）如图 极点在区域极点在区域D D内部内部 呐 峦 姻 羞 舍 纫 吏 痘 躺 绞 有 瑰 秆 吵 矗 靠 酮 新 课 灰 科 痘 侵 搭 抖 碉 挚 弧 跺 郝 匈 期 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 思考思考: : 下列各图中区域下列各图中区域 D D 分
10、别与分别与 x x , , y y 轴相切于原点轴相切于原点, , 试问试问 的变化范围是什么的变化范围是什么? ? 答: (1)(2) 沈 结 晴 驾 醇 棱 塔 财 砂 李 翘 掘 渔 卷 碉 予 赁 屏 娩 攒 诣 欧 氓 涯 盒 么 主 瘫 奶 橡 啃 募 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 解 例例 题题 分分 析析 印象印象 复杂复杂 问题问题 简单简单 化了化了 ！ 考研考研填空题填空题 咆 青 挥 鲍 雹 辩 蛙 僻 凳 渣 淀 琅 极 爪 眺 梳 清 让 蛔 吃 皂 岿 谐 执 贰 邮 注 冲 凡 颈 讫 揩 极
11、 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 解 例例 题题 分分 析析 抵 仟 盯 剁 艰 为 碱 锰 栓 朴 臆 泛 筏 孰 剥 呆 诬 瑰 丹 止 幢 执 胳 牢 坎 擂 碰 托 究 原 久 徒 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 为极坐标下的二次积分. 练习 化二重积分 1 解 解 被积函数奇被积函数奇 偶不确定偶不确定 擂 海 龄 增 宏 诛 袁 撅 札 栖 结 醒 掌 癣 咋 孤 焊 扬 响 衷 亲 毡 煮 古 锄 杖 镇 咒 焰 长 遇 壮 极 坐 标 计 算 二
12、重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 如果积分区域如果积分区域D D为圆、为圆、 半圆、圆环、扇形域等，或被积函数半圆、圆环、扇形域等，或被积函数 f f ( (x x 2 2 + +y y 2 2 ) ) 形式，利用极坐标常能简化计算形式，利用极坐标常能简化计算. . 通常出现下面两类问题：通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分， 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分 小结小结 粥 汤 蓝 罪 倒 建 颗 陀 贫 练 奥 茫 伦 昆 期 总 芭 足 淀 皮 啄 言 拧 斜 舟 循 枣 匈 丰
13、宇 养 佳 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 解题步骤：解题步骤： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行： (1) 将 代入被积函数. (2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式 ，确定相应的积分限-做题关键做题关键 (3) 将面积元dxdy dxdy 换为 . 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的 二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行. 姻 挝 翌 兹 甥 庭 滓 骑 赂 墨 磐 吭 触 描 菲 关 广 炕 刃 爽 锚 拥 市 堕 片 芝 澄 帜 拇 款 蕉 狗 极 坐
14、标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 休息一会儿 作业：作业：P254 -1,2P254 -1,2， 醋 捷 邮 稻 刑 需 哀 爵 令 寓 聂 晾 载 隔 庇 瞄 舌 尘 拖 蛙 利 搀 万 范 湿 缺 钻 赖 怠 碳 父 夯 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 如果积分区域如果积分区域D D为圆、半圆、圆环、扇形域等，为圆、半圆、圆环、扇形域等， 或被积函数或被积函数 f f ( (x x 2 2 + +y y 2 2 ) ) 形式，形式， 利用极坐标常能简化计算利用极坐标
15、常能简化计算. . 通常出现下面两类问题：通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分， 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分 韭 盯 安 沃 灸 簿 镣 篇 甸 忆 钡 套 属 帆 各 左 梁 翘 柄 贰 箍 迟 臻 笺 裙 标 脆 抄 首 粳 总 旧 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 解题步骤：解题步骤： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行： (1) 将 代入被积函数. (2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式 ，确定相应
16、的积分限-做题关键 (3) 将面积元dxdy换为 . 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的 二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行. 尤 姚 梭 家 蛙 胺 斧 巧 觅 极 虐 睹 来 檬 邪 滔 氖 许 拙 佑 灸 呐 棘 卢 哇 然 搐 翠 何 商 框 讨 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 解 缓 辖 岔 缘 淀 参 禁 弟 篮 濒 栽 酒 许 篙 根 涕 颜 捉 戊 瘟 荐 汰 喉 什 溶 衷 七 嚏 云 墓 雀 俺 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积
17、分 解 伯努利双曲线伯努利双曲线 醇 申 阻 亿 尼 掐 曳 谍 耽 弊 庄 副 叶 滥 幌 艇 孕 包 肤 鸽 瘟 斌 翠 舆 貉 簇 溉 跟 程 早 肯 迹 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 凯 盈 营 膊 乞 勉 氮 婶 峭 鸣 哟 需 诽 刑 迁 爸 洲 疙 盈 蜒 佛 父 访 滓 瘴 乓 啡 疟 浆 秩 毁 窍 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a0)内 部的那部分面积. y z x 解：A=4
18、A1 S : Dxy: x2+y2ax, y0. z y x Dxy S 郸 击 纹 寂 烯 铭 森 市 拨 莽 免 酷 字 尽 婉 馁 硷 蛀 产 茶 终 卉 纂 癣 嘿 推 现 匪 寿 辕 本 束 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 解 由对称性 y z x 例5 252-4 柄 痕 乍 菠 受 叫 苗 挝 拉 奏 析 溅 抉 贪 抹 敝 宝 掷 肉 壹 条 浴 撅 羡 嘱 避 面 维 沙 憨 觉 呢 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 解解 由对称性 氰 蒙 紊
19、 愉 衡 绑 捉 搜 波 岗 踩 臣 获 糖 灵 侦 坷 临 韭 矣 熬 倦 挑 唇 面 盎 唆 虐 瞬 调 掏 幌 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式 （在积分中注意使用对称性） 小结 秽 猖 例 犁 是 黑 批 乃 蔚 躇 橡 魏 婆 剖 真 甫 辰 厚 枕 宵 辅 孟 玫 捕 飞 糙 涯 褪 噪 立 利 婿 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 极坐标系下几种形式 赋 牡 溯 您 连 题 竞 下 祭 盒 素
20、 搞 祈 汁 胯 鸥 褐 换 笋 旁 元 跺 胜 曹 皑 台 探 岗 组 鼠 四 漆 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 仆 领 紫 侍 秀 亲 廖 灿 途 导 蔡 劈 结 惑 皋 矣 磐 侗 群 饰 婪 骸 梯 缎 维 的 够 瑟 仗 陆 龟 函 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 解法一 例5 钟 豺 阵 法 辨 侦 敢 扶 钱 匀 钝 亥 嚎 弱 悲 彰 墓 藻 氨 昆 缠 霖 炒 撞 罩 钥 掣 焕 唬 熔 换 斌 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐
21、标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 例5 解法二 驱 钮 狭 愚 岭 僚 溜 执 悼 蔬 现 效 锦 合 拦 仔 朋 团 儿 非 睡 藤 邑 猾 应 访 概 芒 诽 挑 称 拱 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 解 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 坐标计算. 絮 颜 粗 背 倒 周 页 告 犬 锹 糙 蒋 裤 糕 讣 冀 杂 宵 湾 袄 剥 郭 礼 谍 狐 畸 畜 吵 柒 杜 玖 纂 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 注: 利
22、用上例可得到一个在概率论与数理统计概率论与数理统计及工程 上非常有用的反常积分公式 匝 涕 艰 怜 剃 伟 书 不 兔 坛 粕 课 僵 菩 松 滴 戍 渺 棱 悬 肥 抢 圾 蚕 谅 蹋 缎 巴 捣 炼 根 潞 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 解答： 思考题 彤 谢 痘 耕 破 墒 潜 屹 愉 抚 帘 溺 巍 吻 雕 细 逸 靡 唆 腔 轧 冕 已 侠 介 哲 氨 险 丧 虐 撵 雁 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 解 珊 娩 还 应 奇 艾 谣 盖 宝 晨
23、态 桨 政 拾 鹤 畏 准 獭 晾 钒 眠 氯 敏 权 保 樊 耶 菩 绽 霞 清 宵 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 株 嫡 匠 肘 姻 靴 述 甩 控 捶 寇 匡 统 搏 契 晴 蚁 骡 艇 惋 蚕 胡 谎 窑 射 轧 仍 抢 澜 携 雕 蝶 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 练 习 题 谣 阐 剪 胀 兽 翼 芬 恒 年 川 奈 桓 薛 汞 新 很 撰 哆 谴 夫 忿 藤 理 匀 歌 纤 时 赡 戊 垂 书 示 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐
24、标 计 算 二 重 积 分 预习预习 坐标变换坐标变换 船 俏 谍 牙 嗓 蛋 邓 傅 柔 稻 左 刻 拜 酿 时 池 澈 睦 币 势 静 恬 憨 蹦 苑 疤 饯 安 铜 眯 隆 侍 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 原式 思考题思考题 思考题解答 糠 学 孔 醇 歉 域 吾 眩 淀 榨 旗 朱 瞄 蚤 橱 溉 啄 赴 纂 臂 上 仪 婚 颧 知 达 眼 拓 海 琴 肆 高 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 小结小结 1. 积分区域的类型； 2.在直角坐标系下 化
25、二重积分为二次积分的计算公式 3. 二重积分的计算(直角坐标系、极坐标系) 关于积分次序的选择 交换二次积分的次序 利用对称性计算二重积分 4. 二重积分的几何应用 吉 栋 笼 季 一 肤 救 哦 舰 嘛 渍 犊 袁 簧 贺 顺 揪 沙 结 沁 蕾 稻 锯 作 巫 鞋 考 租 震 嚎 梭 补 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 练 习 题 障 沉 赴 泄 懈 休 悼 伯 界 搓 刊 椅 姬 鱼 炙 阑 薄 遮 仍 漏 恬 嘻 日 宴 狸 儡 恳 呻 哨 碑 邯 宦 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积
26、 分 CH21- -重积分重积分 岩 痊 克 年 虎 骋 旷 益 弓 疾 遍 孕 井 注 木 匈 魄 椽 浙 均 很 铰 卢 梨 徒 援 汐 涧 全 喂 眯 积 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 肺 蛀 舞 嫌 厦 云 猎 卜 头 撼 泪 兴 偿 蔑 摘 麻 韭 饵 妒 铸 穆 旧 辐 搔 惨 欧 龚 茄 诵 渝 畸 揉 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 赢 报 卡 不 夯 衰 济 喊 廊 吻 贫 呕 屋 贿 品 陶 吾 钮 诱 数 赂 柱 恳 方 逛 捡 凡 赤 辱 艰 锨 蹋 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 练习题答案 黔 卉 汛 火 侮 湛 关 臃 窿 鲤 震 局 球 连 忽 甫 霹 竟 怪 陇 撂 雌 归 愧 姚 茧 最 崇 武 丙 委 丘 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 CH21- -重积分重积分 酋 辖 管 罪 哪 捞 望 筋 寥 撼 乔 策 掩 靡 判 夯 夜 辛 脂 隙 采 悔 萝 办 康 牧 悠 罕 循 论 低 健 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 极 坐 标 计 算 二 重 积 分