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1、 常用逻辑用语 知识点一：命题1. 定义： 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 2. 逻辑联结词： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：p或q；p且q；非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断 “p或q”为有真为真，无真即假 “p且q”为同真为真，有假即假“非p”与p的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以
2、“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”.（2）“或”“且”命题的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”； “p且q” 的否定是“p或q”.知识点二：四种命题1. 四种命题形式： 原命题：若p则q； 逆命题：若q则p否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p.2. 四种命题的关系原命题逆否命题.逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.命题与集合之间可以建立对应关系，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”。 知识点三
3、：充分条件与必要条件1. 定义： 若，则是的充分条件，是必要条件；2. 理解认知：（1）在判断条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.（2）建立与、相应的集合，即成立，成立若，则是的充分条件， 若，则是成立的充分不必要条件；若，则是的必要条件， 若，则是成立的必要不充分条件；若，则是成立的充要条件；若AB且BA，则是成立的既不充分也不必要条件知识点四：全称量词与存在量词1. 全称量词与存在量词：全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命
4、题。全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题2. 对含有一个量词的命题进行否定（I）对含有一个量词的全称命题的否定：全称命题p：，他的否定：（II）对含有一个量词的特称命题的否定 ：特称命题p：，他的否定：注意：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的
5、否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。（2）一些常见的词的否定：正面词等于大于小于是都是一定是至少一个至多一个否定词不等于不大于不小于不是不都是一定不是一个也没有至少两个三、典型例题选讲例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假（1）已知，为实数，若，则有两个不相等的实数根；（2）两条平行线不相交； （3）若，则，全为零分析：写出一个命题的四种命题形式，关键是分清命题的条件与结论，把命题写成“如果那么”的形式，再根据四种命题的定义写出其他三种命题即可解：（1）原命题是真命题；逆命题：若有两个不相等的实数根，则
6、，（假）；否命题：若，则没有两个不相等的实数根，（假）；逆否命题：若没有两个不相等的实数根，则，（真）（2）原命题形式可写成：若两条直线平行，则它们不相交，（真）；逆命题：若两条直线不相交，则它们平行，（假）；否命题：若两条直线不平行，则它们相交，（假）；逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行，（真）（3）原命题是真命题；逆命题：若，全为零，则，（真）；否命题：若，则，不全为零，（真）逆否命题：若，不全为零，则，（真）例2 说明下列命题形式，指出构成它们的简单命题：3 矩形的对角线垂直平分； 不等式的解集是或； 方程没有实数根分析：根据命题中出现的逻辑联结词或隐含的逻辑联结词，进行命题结构的判
7、断，其中解题的关键是正确理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义解：这个命题是“”的形式，其中：矩形的对角线互相垂直，：矩形的对角线互相平分这个命题是“”的形式，其中：不等式的解集是，：不等式的解集是或 这个命题是“”的形式，其中：，：这个命题是“”的形式，其中：方程有实数根例3、（1）设xR，则“x”是“2x2+x-10”的（ A ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（2）设集合,那么“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要
8、条件与集合的对应关系即可作出判断解：，. 故选A （3）已知是实数，则“且”是“且”的 ( C ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 （4）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件现有下列命题：是的充要条件；是的充分条件而不是必要条件；是的必要条件而不是充分条件；的必要条件而不是充分条件；是的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ） A. B. C. D. 解：由题意可知：，且，所以，正确；，且，正确；，不正确；，且，正确；，不正确故选B例4、（1）已知命题：所有有理数都是
9、实数，命题：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）ABCD解：由题意可以判断命题是真命题，命题是假命题，所以命题是假命题，命题是真命题只有是真命题，故选D （2）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B【点评】本题考查特称命题的否定.求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另外，要注意一些量词的否定的书写方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是. （3）设命题p：函数的最小正周期为；命题q
10、：函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是 (A)p为真(B)为假(C)为假(D)为真 【答案】C 例5 （1）p：；q：若是的必要不充分条件，求m的取值范围解：由于是的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件于是有（2）已知p：，q：，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围. 解：由p：得；由q：得或p是q的一个充分不必要条件，只有pq成立，例6、证明：对于x、yR，是的必要不充分条件 分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件必要性：对于x、yR，如果则， 即故是的必要条件不充分性：对x、yR，如果，如，此时故是的不充分条件综上所述：对于x、yR
11、，是的必要不充分条件例7：求关于x的一元二次不等式于一切实数x都成立的充要条件分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于 例8、（1）已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则p是( C )(A) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 (B) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0(C) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 (D) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 （2）有四个关于三角函数的命题：， ：、，：, ：其中是假命题的有（ ）A， B， C， D，解：是假命题，因为，；是真命
12、题，如时成立；是真命题，.；是假命题，如，时，但故选A例9已知命题：，则（ C ）A. B.C. D.归纳小结：(1)本题考查了含有一个量词的命题的否定及否定词的运用，对学生的逻辑判断能力进行考查(2)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题：，它的否定：，特称命题：，它的否定：，例10 已知命题：有两个不等的负根，命题：10无实数根若命题与命题有且只有一个为真，求实数的取值范围分析：对命题和命题的条件进行化简可得的范围，再对、的真假进行讨论，得到参数成立的条件，利用交集求出的取值范围解：方程有两个不等的负根，解得.方程无实数根，解得.若命题为真，命题为假，则，得.若命题为假，命题为真，则，得. 综上所述，实数的取值范围为或例11、命题p：关于x的不等式对一切恒成立； 命题q：函数在 上递增，若为真，而为假，求实数的取值范围。解：命题p：关于x的不等式对一切恒成立；pT，即命题q：函数在上递增；qT为真，而为假，pq一真一假p真q假时，pT；qF;，p假q真时，pF；qF;