超越强化讲义线代练习题答案.doc

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1、超越考研强化班讲义线性代数部分同步练习解答第一章P175练习（1）（1997，IV）设阶矩阵，则（答案：）【分析】特点：各行元素之和相同，均为，可将各列加至第一列提取公因子；【解】.（2）（1999，II）的根的个数是_.（答案：2）【分析】关键是要知道是关于的几次多项式；【解】（3）（2012，I，II，III），求.(答案：)【分析】特点：各行均只有两个元素不为零，可以考虑直接展开；【解】按照第一列展开：.（4）已知，求（答案：）【分析】此种行列式在求特征值解时常用；关键是要通过行或者列的变化从某行或者某列提取的一次公因子，使该行或者该列只剩常数不含，达到边分解边展开的目的；【解】.第二章

2、P181练习（1） （答案：）【解】.（2），则（答案：）【解】（3） 已知其中 则 （答案：.提示）【解】.P183练习：（2006，I）设矩阵为2阶单位矩阵，且，则（答案：2）【解】，所以P184 练习（1999，IV）已知，则（答案：）【解】可逆，所以.P187练习：（1997，III）设为阶非奇异矩阵，为维列向量，为常数，记分块矩阵其中为的伴随矩阵，为阶单位矩阵.（I）计算并化简； （答案：）（II）证明可逆的充要条件是. （提示：计算且）【解】（I）；【注】（II）注意到直接求是困难的，但是由（I） 因所以，可逆.P192 练习：（2012，I，II，III）设为阶矩阵，为阶可逆矩阵

3、，且，若，则（ ） 答案：（B）（A） （B） （C） （D）【解】，所以，.P194练习 （1）（2001，III）.（答案：）【解】或者，但是时，故.（2）（答案：）【解】.(3) 设为阶方阵，且满足，证明：. 【证明】(4) P196练习 (2008,I ,II，III) 设为阶方阵，且，则（ ）. ( 答案: C )（A）不可逆，且不可逆 （B）可逆，但不可逆（C）及均可逆 （D）不可逆，且必有【解】不可逆，排除（B）；均可逆；均可逆，排除（A）；取，排除（D）；正确答案为（C）.第三章P204 练习：设为阶方阵，为维非零列向量，证明：若，则（提示：反证法设若则个维向量线性无关）【证明

4、】设若，则个维向量则线性无关，事实上，设，上式两边左乘知，从而一定有，再左乘知，依此类推可知，从而线性无关，这与个维向量一定线性相关矛盾！所以若，则【注】由此可知，若为阶方阵，则齐次线性方程组与同解，从而.P206 练习 设32矩阵，其中是3维列向量，若线性无关，则线性无关的充要条件是（ ）（答案：（C）（A）能由线性表示（B）能由线性表示（C）矩阵与等价 （D）向量组与等价【解】（A）能由线性表示，得到线性无关；但若线性无关，线性无关能由线性表示，例如与均无关，但是不能由线性表示；（B）能由线性表示线性无关，例如取，反之若线性无关，线性无关也能由线性表示，例如与；（C）矩阵与等价同型且线性无

5、关，线性无关，选（C）；由（A）,(B)的分析知（D不正确.第四章P210 练习 设是的基础解系，则该方程的基础解系还可以表示成（ ）.的一个等价向量组 的一个等秩向量组 （答案C）【解】要证明是基础解系需证明三点：()是的解；()线性无关；()或者任何一个解均可以由线性表示；基础解系不唯一，本题中的任意三个线性无关的解均可以作为基础解系.的一个等价向量组未必为三个向量；的一个等秩向量组未必是的解，也未必是三个向量；显然满足上述三条，可以作为基础解系；是线性相关的向量组，不能作为基础解系.P213练习 （1）设阶方阵的各行元素之和均为零，且，求的通解（提示：答案：） 【解】由题意，的基础解系中

6、含1个向量，且，从而可以取作为基础解系。（2）设为阶方阵的列向量组的极大无关组，为的伴随矩阵，则线性方程组的通解为（提示：，且，答案：通解任意，）【解】由题意，的基础解系含有个向量，由，取出中的任意列线性无关的向量即可作为的基础解系，故通解为任意.P214练习（2000，III） 设，试问当、满足什么条件时，（1）可由线性表示，且表示唯一；（答案：）（2）不能由线性表示；（答案：）（3）可由线性表示，但表示不唯一并求出一般表达式（答案：任意）【解】设，注意到为方阵，且，（1）时有唯一解，从而表示唯一；时，（2）时，不能由线性表示；（3）时，可由线性表示，令，得任意.P215练习 （2013，）

7、设，问当为何值时，存在矩阵，使得，并求所有矩阵【解】【解法一】设，则，则，得到方程组，要存在矩阵，则，从而，得方程组令，则所以，其中为任意常数【解法二】：设，则，观察可知，所以，并且进一步可知令，则 所以，其中为任意常数P218练习：（1）设方程组（I） 和 （II）满足（I）的解都是（II）的解，但（II）的解并不完全是（I）的解，求常数求，的值（提示：，可得或者）【解】，由知或者.（2）设方程组（I）：有解，证明：方程组 （II）：的任意一个解必满足方程（III） ：.（提示（I），（II），（III），方法一 取转置再右乘即可；方法二 即证明（II）与同解，往证）由题意.第五章P225练

8、习（1）（2012，I，II，III） 设为三维单位向量，为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为 （答案：）【解】记，显然，可得的特征值为，记，的特征值为，可知的秩为.（2）设是3阶矩阵，特征值是，与相似，则以下矩阵中为可逆矩阵的是（ ）.（A） （B）（C） （D） (答案B )【解】由题意的特征值为；的特征值为，；的特征值为，；的特征值为，；的特征值为，可逆阵为.P227练习 （2000，IV）设，已知有三个线性无关的特征向量，是的二重特征值，试求可逆阵，使得为对角阵（答案：，）【解】有三个线性无关的特征向量表明可以对角化，则；所以的特征值，解得特征向量，解得特征向量，取，有.【注】不唯一.P229

9、练习（2010，II，III）设，正交矩阵使得为对角阵，若的第一列为，求.（提示：，答案：，）【解】显然的第一列为的特征向量，令，由知，分别解得特征向量，再单位化得，.第六章P234练习（1）经正交变换化成，其中和是维列向量，是阶正交阵，试求常数（答案）【解】二次型矩阵的特征值为，由.（2）（2012，I，II，III）已知，二次型的秩为（）求实数的值；（）求正交变换将化为标准形答案：（） （）（抓住关键点）解法一：由得，从而，有三个特征值分别解三个线性齐次方程组，求得特征向量后，再单位化得正交阵，对角阵，正交变换，的标准型为解法二：若不知也可做但很繁，（3）设二次型为，记，证明二次型对应的矩

10、阵为；（）设为正交的单位向量，证明在正交变换下二次型的标准型为【证】（）令，可知，从而为对称阵，故二次型对应的矩阵为另解：，其矩阵为（）要证正交变换下的标准型为，即证为的特征值，从而，故为的特征值又因为为正交的单位向量，故，从而，所以均为的特征值，即证P237练习 (1) 证明：阶方阵可逆为正定矩阵.【证明】可逆正定.(2) 设为三阶实对称矩阵，二次型的规范形为，则以下结论中正确的个数为（ ） 的特征值必为； 的秩为2；的行列式小于0；必相似于对角矩阵； 合同于对角矩阵； 合同于对角矩阵；(A) 1个. (B)2个. (C) 3个. (D) 4个.（答案C.由的规范形为知二次型矩阵的特征值中有

11、两个正的一个负的.从而, , 正确.）P238练习：（2008，II，III）设，则在实数域上与合同的矩阵是（ ）.(A) (B) (C) (D)【分析】证明合同只需说明同为同阶实对称矩阵且有相同的正负惯性指数即可.【解】，的正负惯性指数均为，（A）的特征值为；（B）的特征值为；（C）的特征值为；（D）的特征值为，从而选（D）.或者本题全部为二阶方阵，也可不求出特征值，只通过特征值符号即可判断：，的特征值异号，四个选项中只有（D）的行列式小于零，所以选（D）. 我的大学爱情观目录：1、 大学概念2、 分析爱情健康观3、 爱情观要三思4、 大学需要对爱情要认识和理解5、 总结1、什么是大学爱情：

12、大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：(5) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；(6) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方

13、的幸福为自己的满足; (7) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相

14、对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（1） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做

15、人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（2） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事

16、时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。（3） 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露热情和过早的亲昵。”（4） 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的

17、时间和精力去寻找爱情（5） 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。（6） 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅影响学习，影响了自身交际和合作能力。总结：男女之间面对恋爱，首先要摆正好自己的心态，树立自尊、自爱、自强、自重应有的品格，千万不要盲目地追求爱，也不宜过急追求爱，要分清自己的条件是否成熟。要树立正确的恋爱观，明确大学的目的，以学习为第一；规划好大学计划，在不影响学习的条件下，要对恋爱认真，专一，相互鼓励，相互学习，共同进步；认真对待恋爱观，做健康的恋爱；总之，我们大学生要树立正确的恋爱观念，让大学的爱情成为青春记忆里最美的风景，而不是终身的遗憾！