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1、“证明”基础知识复习巩固一、上学期学过的公理：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 7由以上公理，容易证明以下推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）此外等式的性质和不等式的性质也作为公理。二、上学期学过的定理及推论：（一）、判定两直线平行：1同位角相等，两直线平行。2同旁内角互补，两直线平行。3内错角相等
2、，两直线平行。（二）、如果两直线平行：1两直线平行，同位角相等。2两直线平行，内错角相等。3两直线平行，同旁内角互补。其它：对顶角相等。 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于1800。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。四边形的内角和等于3600。例1已知：如图，直线a,b被直线c所截，且1+2=1800求证：ab（用不同方法证明）例2已知：如图，直线a,b被直线c所截，ab。 求证：1+2=1800 。例3已知：如图，在ABC中，DEBC，A=600，C=700. 求证：ADE=
3、500例4已知：如图，在RtABC中，ACB=900，CDAB，垂足为D。 求证：A=DCB。例5已知：如图，在ABC中，DAC=B。 求证：ADC=BAC. 例6已知：如图，直线ABED。 求证：ABC+CDE=BCD。例7已知：如图，在ABC中，BF平分ABC,CF平分ACB，A=650求BFC的大小。例8已知：如图，点F是ABC中一点，连接FB，FC求证：BFC A。例9已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：A=D。例10已知：如图，AB=CD，B=D，BF=DE。 求证：AE=CF三、证明（二）：（一）、等腰（边）三角形的性质：1定理：等
4、腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。2推论：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：三线合一）。3等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于600。（二）、等腰三角形的判定：1定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。（三）、等边三角形的判定：1定理：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 。2三个角都相等的三角形是等边三角形。例1已知：如图，EAC是ABC的外角，ADBC，且1=2。求证：AB=AC。例2已知：如图，AB=AD，BC=DC，点E、F分别是AB、AD的中点。求证：EC=FC。例3已知：如图，AB=AC，AB
5、D=ACD。求证：BD=CD。 例4已知：如图，在ABC中，D、E分别是BC上的点，且BD=CE，AD=AE。求证：AB=AC。例5已知：如图，AB=AE，ABD=AED，BC=ED，点F是CD的中点。求证：AFCD（四）、直角三角形：1勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。2勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。3.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。4直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。5如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。6直角三角形全等的判定定理（
6、HL定理）：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。例1已知：如图，在ABC中，ABC=Rt，C=30,AB=20求（1）BC的长；（2）BD的长。例2已知：如图，D是ABC的BC边的中点，DEAC，DEAB，且DE=DF。 求证：ABC是等腰三角形。例3已知：如图，AC=BD，ACBC，ADBD。求证：AD=BC例4已知：如图，ABC中，BAC=Rt，点D是BC的中点，B=30。求证：ADC是正三角形。例5已知：如图，ADC是边长为5的正三角形，ABD是以AB为底的等腰三角形，求AB的长。（五）、线段的垂直平分线：1性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2判定定理：到
7、一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。例1已知：如图，等腰ABC中，AB=AC，ED垂直平分AB，BC=23， EBC的周长为50，求AB的长。例2已知：如图，MN是线段AB的垂直平分线，C、D是上两点。求证：CADCBD。例已知：如图，ABC中，、分别为AB、BC、CA三边的垂直平分线，它们相交于同一点，求证：（六）、角平分线：1性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。3定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一
8、点到三条边的距离相等。例1已知：如图，AD、AE分别是ABC中A的内角平分线和外角平分线，求证：ADAE。例2已知：如图，在ABC中， AD是它的角平分线，BD=CD，DEAB,DFAC. 求证：EB=FC。例3已知：如图，在ABC中，AD是角平分线，DEAB，DFAC。求证：EFAD。例4已知：如图，AD是BAC的角平分线，DM、DN分别是ABD和ACD的高。求证：AD垂直平分MN。例5已知：如图，ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F。求证：点F在DAE的平分线上。例6已知：如图，ABC中，AB=4，C=900，B=300，AD是角平分线。求点D到AB的距离。四、证明（三）：（一）、
9、平行四边形（两组对边分别平行的四边形称为平行四边形）：1性质定理：平行四边形的对边相等。定理：平行四边形的对角相等。定理：平行四边形的对角线互相平分。夹在两条平行线间的平行线段相等。例1已知：如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线与AD、BC分别相交于点E、F。求证：OE=OF.例2已知：如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线与AD、BC分别相交于点E、F;与BC、DA的延长线分别交于点M、N。求证：ME=MF.例3已知：如图，四边形ABCD中，ABDC，AD=BC，求证：D=C。2判定定理：定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。定理：两组对角分别相等
10、的四边形是平行四边形。定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。例1已知：如图，四边形ABCD中，BDDC，AD=5，BD=4，AB=CD， BC比CD长2。求证：四边形ABCD是平行四边形。例2已知：如图，ABCD中，ABC的角平分线与AD相交于点E。求证：ED+CD=BC。 例3已知：如图，AC是ABCD的对角线，BMAC，DNAC。求证：四边形BMDN是平行四边形。（二）、等腰梯形（一组对边平行，另一组对边相等的四边形称为等腰梯形）：1性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等。等腰梯形的两条对角线相等。2判定定理：同一底上的两个角相等的梯形是
11、等腰梯形。例1已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AD=BC，点E、F、G、H分别是各边的中点，求证：EF=FG=GH=HE.例2已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD。AB=8，AD=DC=4，A=600，求BC的长度。（三）、三角形1定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。例1 已知：如图，在ABC中，点D、E、F分别是各边的中点。求证：ADEDBE例2已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD ，AC、BD是对角线，点E、F、G分别是AD、BD、BC的中点。求证：EFG是等腰三角形。 （四）、矩形（有一个角是直角的平行四边形称为矩形）：1性质定理：矩形的四个角都是直
12、角。矩形的对角线相等。2判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。例1 已知：如图，在矩形ABCD中，AEBD，对角线AC、BD相交于点O，AOB=600 ，AC=6。求矩形ABCD的面积。例2已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD ，且AB=CD，AH、BG、CF、DE分别是四边形ABCD各内角的角平分线。求证：四边形EFGH是矩形。例3已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点。求证：四边形EFGH是矩形。（五）、菱形（一组邻边相等的平行四边形称为菱形）：1性质定理：菱形的四条边都相等。菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。2
13、判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。例1已知：如图，四边形ABCD是边长为20cm的菱形，其中对角线BD长12cm。求（1）对角线AC的长度。（2）菱形ABCD的面积。例2已知：在ABC中，CE平分ACB，EGAC，EHBC，DMBC，DNAC。求证：四边形CMDN为菱形。例3已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AD=BC，点E、F、G、H分别是各边的中点，求证：线段GE与HF互相垂直平分。例4已知ABCD的对角线BD的垂直平分线与AD、BC 分别交于点F、E，与BD交于点O。求证：四边形BEDF是菱形。（六）、正方形（一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形称为正方形）：1性质定理：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。2判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形。对角线相等的菱形是正方形。对角线互相垂直的矩形是正方形。例1已知：如图，四边形ABCD是正方形，以AC为边作正AEC。求EAB的度数。例2已知：如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的四边形。求证：四边形EFGH是正方形。例3.已知：如图，四边形EFGH以正方形ABCD各边的中点为顶点。求证：四边形EFGH是正方形。1313