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1、滨 州 学 院毕业设计（论文）题 目 欧拉公式的应用 系 （院） 数学与信息科学系 专 业 数学与应用数学 班 级 学生姓名 学 号 指导教师 职 称 讲 师 2008年04月18日欧拉公式的应用 摘要 本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函
2、数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便关键词：欧拉公式 三角函数 降幂级数 三角级数Eulers Formula for the ApplicationAbstract This text first introduced the Eulers formula and the generalized Eulers formula, and then briefly discussed the characteristics of the Eulers formula. The form of the Eulers formula is numerous ,and the applicat
3、ion of the Eulers formula is extensive, this text researches the Eulers formula in the Triangle Function in detail, the Eulers formula in the application of the trigonometric series、the demonstration of the trigonometric identity, the solution of the problems of the trigonometry、the search of the co
4、mplicated triangle ,the complex triangular transformation can be avoided , the problems can be resolved with more visualized algebraic operation . On the other hand, the use of the decreasing powers of the Eulers formula can express the sine function and the cosine function of higher-power as the al
5、gebraic addition of the function of the first power, To overcome the inconvenience of the high-power function in computation.Key words: Eulers formula trigonometric function series of decreasing powers triangular numbers目 录摘要IAbstractII目录i一、绪论1二、欧拉公式的证明、特点、作用1三、 欧拉公式在三角函数中的应用4(一) 倍角和半角的三角变换4(二) 积化和差
6、与差化积的三角变换5(三) 求三角表达式的值5(四) 证明三角恒等式6(五) 解三角方程7(六) 利用公式求三角级数的和7(七) 探求一些复杂的三角关系式8(八) 解决一些方程根的问题9(九) 欧拉公式大降幂10（十）三角函数的求积14结束语16致 谢17参考文献18一、绪论 欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、欧拉积分等多种形式由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“”以及这种形式在数学中的应用二 、欧拉公式的证明、特点、作用 1748年，欧拉在其著作中陈述出公式，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用它将定义和形式完全
7、不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用欧拉公式它的证明有各种不同的证明方法，好多复变函数教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的下面我们介绍一种新的证明方法：极限法证明 令 首先证明 因为 ，所以 从而 令，则把视为
8、连续变量，由洛必达法则有即 令 ，则 故 其次证明 因为 的主值支，所以 ，而 ，故 于是便证得： 欧拉公式还可以推广到以下形式：已知 欧拉公式其中为实数，则 由式得 则得： 得： 又因为 由此便得出最重要的四个公式这些公式具有以下特点：实质上，这些公式给出了三角函数的复指数形式，故代入三角变换中，便将三角运算化为指数函数的代数运算，使三角运算从多种思考方法化为单一思考方法，从而降低了三角变换的难度观察这几个公式，与互为倒数，积为1，这一过程常常在证明过程中被应用在以上公式的推导过程中，分别令，得到以下式子： 欧拉公式的桥梁作用:(1) 纯虚指数值可以通过三角函数值来计算例如 ， ， 由欧拉公
9、式可以看出，在复数域内，指数函数是周期函数，具有基本周期(2) 任何实数的三角函数可以用纯虚指数表示，从而通过指数函数来研究三角函数的性质在欧拉公式中用代替，则由，得到，由上式容易看出正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数(3) 引出复数的指数表示法，从而使得复数的表示法增加为代数形式、三角形式和指数形式三种形式，便于我们酌情使用三 欧拉公式在三角函数中的应用 (一) 倍角和半角的三角变换 在此类型的题目中，大都用到以下两个技巧：及例1 求证证 左右 所以原式成立(二) 积化和差与差化积的三角变换 例2 计算：解 .所以原式等于(三) 求三角表达式的值 例3 已知，求的值:解 原式 由代入上式消去
10、原式对所以原式(四) 证明三角恒等式 例4 证明为方便计算令,原式变为证明 左边 右边左边 例5 求证：证明 而(五) 解三角方程 例6 解方程 解 把代入得：由欧拉公式得：，经整理得：，,，所以，代入式得到，由此即得到方程的解(六) 利用公式求三角级数的和 在三角级数中，按常规方法求和常常是很麻烦的，有时甚至求不出结果而欧拉公式：，很好的解决了这类问题例7 求三角级数的前几项和解 (七) 探求一些复杂的三角关系式 例8 试把和分别表示成的线形组合解 ，注意到，得到，故有 在式中用代替得到(八) 解决一些方程根的问题 例9 证明 方程 至多有个根证明 令，设，则，,那么： 故是关于的次多项式，
11、所以由代数学基本定理知：方程至多有个根例10 设都是实常数，若是方程的两个根，不全为零证明：证明令 ，则化为由三角不等式知，所以复常数同理复常数又分别满足方程，即，可见的系数行列式，从而必存在整数使得 (九) 欧拉公式大降幂 在高等数学中常会遇到高次幂的正余弦函数，这些函数在计算上很不方便，欧拉公式可把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和，克服了高次幂函数在运算上的不方便首先我们先介绍一下欧拉公式在三角函数中的降幂使用1 正弦大降幂： 综上：正弦大降幂规则如下 括号前的系数视的奇偶而定；当时系数为，当时系数为 括号内符号正负相同；当时括号内各项均为余弦，依次为当时，括号内各项均为正弦，依
12、次为，2余弦大降幂综上：余弦大降幂规则如下：括号前的系数为；括号内全部是号；括号内各项均为余弦；当时，依次为当时，依次为3 正余弦大降幂的应用(1) 求傅里叶级数例11 求的傅立叶级数解由于是为周期的连续函数，所以它的傅立叶级数展开式唯一，即：(2) 求阶导数例12 求的阶导数解 (3) 求积分例13 求例14 求解 令，则：， 在上的值，（十）三角函数的求积 例15 不查表，计算解 （十一）条件等式的证明 例16 已知均为锐角且，求证 证明 由，得到 得：由三角变换得：，因为均为锐角，所以也为锐角，即知，所以原式得证结束语欧拉公式在数学的许多定理和计算中,有着广泛的应用它将定义和形式完全不同
13、的指数函数和三角函数联系起来,为我们研究这两种函数的相关运算及其性质架起了一座桥梁本文通过实例的形式说明欧拉公式在三角函数中的应用,在求三角表达式的值、证明三角恒等式、解决一些方程根的问题、求三角级数的和、解决高次幂的三角函数时,都应用到了欧拉公式,从而避免了复杂的三角变换,使得问题迎刃而解,在三角中的应用能够利用较为直观代数运算使得问题得到解决在探求一些复杂的三角关系时,如果不借助欧拉公式,而试图通过纯三角运算直接推导这些关系是相当麻烦的本文在介绍欧拉公式时给出了欧拉公式的证明,应用到了极限的方法,不同于其它的定义复变指数函数和复变三角函数进行证明的方法 但不可避免的是：欧拉公式在证明某些恒
14、等式时，却相对增加了计算量因此，在证明三角恒等式时，要具体问题具体分析 致 谢本文从拟订题目到定稿，历时数月在本论文完成之际，首先要向我的指导老师徐化忠老师致以诚挚的谢意徐老师在本次写作过程中悉心指导，并在论文资料方面以及论文的结构格式和论文的修改方面给予了宝贵提议，在此表示由衷的感谢！同时他对工作的积极热情、认真负责、有条不紊、实事求是的态度，给我留下了深刻的印象，使我受益非浅在此我谨向徐老师表示忠心的感谢和深深的敬意同时，我要感谢学院领导、学院老师的关心与大力支持在论文的写作过程中受到了学校领导、数学系领导的高度重视与老师们的鼎立帮助特别是在论文资料的搜集查阅，学院领导为我们卖进了大量的文
15、献资料，系里还为我们免费开放了数学建模实验室，为同学们的资料查询与论文打印提供了极大的方便，在此表示衷心的感谢！ 在本次写作过程中还得到了图书馆老师们和同学们的热心帮助，特别是在论文资料的搜集查阅，他们给了我无私的帮助和支持，在此深表谢意 最后，向我的家人和朋友表示深深的谢意，他们给予我的爱、理解、关心和支持是我不断前进的动力 学无止境明天，将是我终身学习另一天的开始 参考文献 1 裴礼文数学分析中的典型问题与方法高等教育出版社19842 姜淑美 欧拉公式的应用J丹东纺专学报19973 辛华欧拉公式在三角恒等变换中的推广应用J雁北师范学院院报20024 姜志基欧拉公式及其应用J甘肃教育学院学报
16、(自然科学版)19975 赵永强,申玉发,何文杰,易炜欧拉公式的一个应用J河北省科学学院院报20066 陈明欧拉公式在三角中的应用J达县师范专科学校学报19967 苏炳松关于欧拉公式的推广及其应用J徐州师范大学学报(自然科学版)19928 胡学平欧拉常数及其应用J安庆师范学院学报(自然科学版) 20029 周本虎欧拉公式的简单应用J高等数学研究200310 钟玉泉复变函数论高等教育出版社200311 孔立关于欧拉公式的一个应用J山东电大学报200412 茹淑叶,温瑞萍三角变换与欧拉公式J新疆教育学院学报199513 To M. ApostolMathematical AnalysisMechanical industry publishing Nineteen seventy three14 VladimirA.Zorich Mathematical Analysis World book publishing Two thousand and four15 G 克莱鲍尔著数学分析上海科学技术出版社1973