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1、,李建宇 天津科技大学,有限元分析,Finite Element Analysis,内容 有限元法的直接刚度法 1 直梁的有限元分析 要求 了解：单元、节点的概念 理解：梁单元节点内力、节点载荷的概念 梁单元刚度矩阵的概念 掌握：梁单元刚度矩阵的建立办法 利用节点平衡组装整体刚度 作业 超静定悬臂梁的有限元分析,2,有限元分析2-1,上节回顾,有限元分析的基本思想,整体 离散,标准单元分析,单元 组装,整体求解,复杂工程结构,复杂结构离散化途经,上节回顾,直梁的离散化 直梁的单元分析 直梁的整体组装,本节提要,一个例题：,已知E、I、Z、M, AB=BC=CD=L, IAC = 2I, ICD
2、=I,求: (1) A、D端约束反力； (2) C处的挠度和转角。,Ansys演示 E=3.0e11 I = 6.5e-7, A = 6.8e-4 L = 1, M = 720, Z = 3000,一、 直梁的有限元模型,划分单元的原则（设置节点的原则） 几何形状发生改变处 外载荷规律发生改变处（含约束） 边界点 计算关心的位置 单元尺寸要均匀,二、单元分析,i,单元节点内力向量：,二、单元分析,单元节点位移向量：,二、单元分析,力与变形的关系：由小变形、线弹性假设，得,二、单元分析,二、单元分析,符号名称：,：单元节点内力向量 ：单元节点位移向量 ：单元刚度矩阵,二、单元分析: 刚度矩阵元素
3、的力学含义,考察a11 , a21, a31, a41的含义，令,a21，a31，a41?,二、单元分析: 刚度矩阵元素的力学含义,a11 a21 a31 a41的计算：,由材料力学知识对悬臂梁分析，可得,考察a12 , a22, a32, a42的含义，令：,a22，a32，a42?,二、单元分析: 刚度矩阵元素的力学含义,二、单元分析: 刚度矩阵元素的力学含义,a12 a22 a32 a42的计算：,由材料力学知识对悬臂梁分析，可得,二、单元分析,单元刚度矩阵的具体表达,对称矩阵,二、单元分析,单元分析小结：,单元分析的任务：单元内力用单元变形表达,三、单元组装,利用单元分析技术，对各单元
4、有：,单元1：,单元2：,三、单元组装,位移协调条件：各单元共享节点位移相等,三、单元组装,节点平衡条件：各节点满足平衡条件,节点2,节点1平衡方程：,节点2平衡方程：,同理，可列出节点3、4平衡方程。,整体刚度方程,将节点1、2、3、4的平衡方程整合为一个矩阵方程,结构整体刚度方程,其中， 为整个结构的节点载荷向量（外载、约束力）,为整个结构的节点位移向量,为结构的整体刚度矩阵，也称总刚度矩阵,对称，稀疏，奇异，主对角元恒正,四、总体刚度方程的求解,力的边界条件,位移边界条件,四、总体刚度方程的求解,对称，稀疏，非奇异，主对角元恒正,五、回代求解未知载荷求解,得解,将节点位移代入各节点平衡方程，求得未知外载荷。,节点位移向量,本节课小结,有限元法求直梁基本过程,第一步，对直梁进行离散化，划分为有限个单元。 第二步，对各结点和单元进行编码。 第三步，进行单元分析，形成单元刚度矩阵。 第四步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵。 第五步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性。 第六步，求解方程组，计算结构的整体结点位移。 第七步，求单元内力，未知外载荷。,作 业,3、已知E、I、Z、M, AB=BC=L,有限元法求: (1) A、B端约束反力； (2) C处的挠度和转角。,1、自学教材第2章，了解有限元过程基本概念,2、理解教材第2章内容与本节课内容的关系,再 见,