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1、2005年江苏省数学冬令营测试题(二) 1f：RR，且对于任意x，yR，有f(xf(y)xyf(xy)求出所有这样的f解：f(0)0，f(f(y)yf(y1)，所以f(f(xf(y)f(xyf(xy)xf(y)f(xf(y)1)xy(xy)f(xyxy)f(y)f(xf(y)1)y(xy)f(xyxy) (任意x0)令y1，则f(1)f(xf(1)1)(1x)f(1)(1)若f(1)0，则令y1，得xf(x1)0于是f(x1)0，故f(x)0(2)若f(1)0，则f(xf(1)1)1x (x0)令 xf(1)1t (t1)则f(t)t1， (任意t1)取t0，则0f(0)1，所以f(1)1，再
2、代入得 f(t)t，故xyxy(xy)，故xy1，与x，y的任意性矛盾故f(1)0故本题只有一个解：f(x)02A1，A2，An之间相互传球，由A1开始，到A1结束经过k次传球(k2)，经过k次 犯规后，球仍回到A1手中，试求所有不同的传球方式的种数N解：考虑第k2次传球：（1）若到A1手上，则有ak2，下一次传球有n1种选择；（2）若不传A1手上,则有ak-1,下一次传球有n-2种选择.故ak(n2)ak1(n1)ak2，且a2n1，a3(n1)(n2)故x2(n2)x(n1)0故ak(n1)k+(1)k(n1)另解：(冯惠愚老师解法)解：设传球m次回到A1的手中的方法数为am，若m2，则第
3、一次传球有n1种方法，第二次只有一种方法，故a2n1对于第m次传球，第m1次传球共有(n1)m1种方法，其中，在A1手中的方法数有am1种，这些方都不能在第m次传给A1，其余都是可以传给A1的，故得am(n1)m1am1同除以(n1)m： +记bm，则得， bmbn1+令bm+(bm1+)，即bmbm1，得故bm(bm1)b2于是bm()m2(1)m所以ak(n1)k1+(1)k(n1)k+(1)k(n1)即N(n1)k+(1)k(n1)3给定正数a,b，数xia，b，i1，2，n求f的最小值解：先证明不等式(1b1x)(1b2x)(1bn1x)(1bnx)考察f(x)lg(110x)，由琴生
4、不等式f f(x)()n1不等式的另一证法：(1b1)(1b2)(1bn1)(1bn)等价于b1b2b1b2b1b2bn1CC而显然b1C，b1b2C，故不等式成立4求满足0，且1x，y，z，u10的所有四元有序整数组（x，y，z，u）的个数解：设f(x，y，z，u)，1x，y，z，u10记A（x，y，z，u）f(x，y，z，u)0B（x，y，z，u）f(x，y，z，u)0C（x，y，z，u）f(x，y，z，u)0显然card（A）card（B）card（C）104，下面证明card（A）card（B）对每一个（x，y，z，u）A，考虑（x，u，z，y），易知f（x，u，z，y）0接着计算card（C）（x，y，z，u）C，则（zx）（uy）（xzyu）0设C1（x，y，z，u）xz，C2（x，y，z，u）xz，yuC3（x，y，z，u）xz，yu，xzyu易知card（C3）4299090252，card（C1）10000，card（C2）900故card（C）2152，故card（A）3924