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1、书人教育2012年秋季五年级期中补充复习题及答案1.五位数4D97D能被3整除,它的最末两位数字组成的7D又能被6整除,求这个五位数.提示:要使4D97D能被3整除,那么4+D+9+7+D=20+2D必须要能被3整除,则D可取2、5、8,又因为7D要被6整除,故根据被6整除的数的特征,D只能取2或8.解答:当D=2时,20+2D=20+22=24,243=8;当D=8时,20+2D=20+28=36,363=12.所以,这个五位数是:42972和48978.2.在一个两位数的两个数字之间加一个0,所得的三位数比原数大8倍,求这个两位数?提示:比原数大8倍,就是原数的9倍.设原来的两位数个位上的
2、数为b,十位上的数为a,原来两位数为a10+b,在中间加0则变化后所得到的三位数是a0b=a100+b,比原数大8倍,即原数的9倍,由题意可知a100+b=(8+1)(a10+b),简化后得,10X=8Y,两边再简化除2后得,5a=4b.因为b为个位数,所以b大于0小于10,当b=5时,a=4,所以这个两位数是45.4059=45.解答: 这个两位数是453.一个5位数8 1 2 2,能被12整除,则这个5位数最大是多少?最小是多少?提示:12=3*4,3和4互质,即这个数能同时被3和4整除.因为能被3整除需要考虑各个位上数字，所以先考虑能被4整除，这个5位数的个位是2，因此要满足能被4整除，
3、十位上只能是1、3、5、7、9,这里我们可以用尝试的方法,要使得这个5位数最大,百位数字应该最大,所以可以尝试最大的数是81972.最小比较容易,先让百位为0,然后尝试得出最小数是81012.解答:8+1+0+1+2=12, 能被3整除,末尾两位数12能被4整除,则这个五位数最小是:81012; 8+1+9+7+2=27, 能被3整除,尾数两位数72能被4整除,则这个五位数最大是:81972.4.要使五位数12ABC能被36整除,而且所得到的商尽量小,那么这个五位数是多少?提示:36=49, 4和9互质,即这个数能同时被4和9整除.首先“1+2+A+B+C”各个数位上的数字之和要能被9整除,其
4、次这个五位数末位两位BC要能被4整除,最后要保证ABC.解答:最后得到商尽量小的五位数有:12024.5.有一个四位数,若能被2、3、4、5、6、8、9整除的数,最小是多少?提示:因为能被8整除的数一定能被2、4整除,能被9整除的数一定能被3整除,而能被8、9整除的数一定能被6整除,因此题目就化为能被5、8、9整除的最小值.因为尽可能的小,最高位考虑为1,再考虑能被2、5整除,末位应为0.然后考虑能被8整除,最小为1080,此数刚好也能被9整除.解答:所以最小是1080.6.只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎么修改?提示:把225分解质因数为:225=259.要
5、使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征.解答:因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为0;把4改为3;把1改为9;把2改为1.根据以上要求算得结果为11475、20475、21375、29475. 7.要使六位数15abc6能被36整除,而且所得的商最小,那么a、b、c分别取什么值?( a、b、c取不同的值) 提示:分析与解:因为3649,且4与9互质,所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除.六
6、位数 15abc6能被4整除,就要这个六位数的末两位C6 能被4整除,因此C可取1、3、5、7、9.要使所得的商最小,就要使 15abc6 这个六位数尽可能小.因此首先是A尽量小,其次是B尽量小,最后是C尽量小.先试取A=0.六位数15abc6的各位数字之和为12BC.它应能被9整除,因此BC6或BC15.因为B、C应尽量小,所以BC6,而C只能取1、3、5、7、9,所以要使15abc6尽可能小,应取B1,C5.当A=0,B=1,C5时,六位数能被36整除,而且所得商最小,为150156364171.解答: A=0,B=1,C5.8.证明:由两个数字组成的两位数的差能够被9整除. 证明:设这两
7、个数字分别为a和b,则两个两位数分别为:10a+b和10b+a,以下分两种情况讨论.当a=b时, (10a+b)-(10b+a)=0,显然9整除0,不成立;当ab时,不妨设ab,则 (10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b),显然9整除9(a-b).9.六位数3ABABA是6的倍数,即它能被6整除,问这样的六位数共有几个? 提示:因为623,且2与3互质,所以这个整数既能被2整除又能被3整除.由六位数能被2整除,推知A可取0、2、4、6、8这五个值.再由六位数能被3整除,推知:3ABABA33A2B,能被3整除,因3能被3整除,3A也能被3整除,故2B能被3整除才行.B可取0、3
8、、6、9这4个值.由于B可以取4个值,A可以取5个值,题目没有要求AB,所以符合条件的六位数共有:5420(个) 解答:这样的六位数共有20个. 10.将1到11这11个自然数,按从小到大的顺序依次写下来,得一多位数:1234567891011.试问:将这个多位数的个位数改成多少,这个数就能被9整除? 提示:先求题中多位数的各位数字之和:1+2+3+9+1+0+1+1=48.由于48不是9的倍数,需要再加6变成54,和就是9的倍数,因此将个位改成1+6=7即可. 解答:1改7. 11.一个能被11整除的四位数,去掉它千位和个位上的数字,是一个能同时被2、5、3整除的最大两位数,符合要求的四位数
9、中最小一个数是多少? 提示:被2、3、5同时整除的最小公倍数是:235=30, 因为题意要求,是一个能同时被2、5、3整除的最大两位数,所以这个百位和十位最大的两位数应是90,而你要求的是最小的四位数，所以千位是1，至于个位的数字就是3.(如果一个自然数的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差(大数减小数)能被11整除,那么这个数就能被11整除). 解答:符合要求的四位数中最小一个数是:1903.12.在724左边添上一个数字a,右边添上一个数字b,组成一个五位数.如果这个五位数是12的倍数,那么ab的最大值是( ).提示:因为1234,且3与4互质,所以这个整数既能被3整除又能被4整除.又因
10、为a724b是12的倍数,4b必是4的倍数,所以b最大是8.又因为a724b必是3的倍数,所以(a+7+2+4+b)=(a+7+2+4+8)=(a+21)是3的倍数,所以a最大是9.解答:ab最大值是:89=72.13.将自然数1、2、3、4依次写下去组成一个数:12345678910111213如果写到某个自然数时,所组成的数恰好第一次能被72整除,那么这个自然数是多少? 提示:72=89，8和9互质,即这个自然数能同时被8和9整除.说明这个数是能被9整除的偶数，后3位是8的倍数，后2位是4的倍数。因为任意9个连续自然数的和能被9整除,所以,任意9个连续自然数所组成的多位数一定能被9整除.那
11、么,当写到9、18、27、36、45时,能被9整除.因为9、18、27、36、45本身又都是9的倍数,所以,写到8、17、26、35、44时也都能被9整除.又,被8整除的数的特征为末三位所组成的数能被8整除.考察678、718、526都不能被8整除,而536能被8整除,所以,写到自然数36时能89=72整除.解答:这个自然数是36.14.在628后面补上3个数字,组成一个六位数,使它能分别被2,4,9整除,且使这个数值尽可能的大.提示:方法一:要使数尽可能的大,第四位应该为9,该数位为6289()().再确定个位数,要满足被2整除,那么个位数是:0、2、4、6、8.要被4整除,那么末两位最大的
12、两位数要能被4整除.方法二:因为这三个数的最小公倍数是249=36,那么62899936的余数为7,所以最大为628999-7=628992.解答:这个数值尽可能大的是:628(9)(9)(2).15.若一个能被5整除的两位数既不能被3整除,又不能被4整除,它的77倍是偶数,十位数字不大于6,则这个两位数是(10和50 ). 提示:这道题中的条件较多，乍看使人眼花缭乱.而且,同学们对“整除”这个词又不太熟悉.其实,能被一个数整除的数就是这个数的倍数.仔细审题后,会发现:如果采用“逐步排除法”来解答这道题,会使所求两位数的范围越来越小,从而顺利获解.能被5整除的数(5的倍数)的个位上的数字是0或
13、5,而由题中条件“它的77倍是偶数”,可知这个两位数个位上的数字只能是0.两位数中个位上的数字是0的数有10、20、3070、80、90.再根据题中条件“十位数字不大于6”，可排除70、80、90这三个数.这时,只剩10、20、30、40、50和60这六个数了.显而易见,“既不能被3整除,又不能被4整除”的数(不是3或4倍数的数)是10和50.解答:这个两位数是:10和50.16.某个自然数的前四位为2012,并且这个数能被2、3、4、5、6、8、9整除,问这个数最小是多少?提示:能被8整除的一定能被2和4整除,能被9整除的一定能被3整除,而能被8和9整除的数一定能被6整除.因此题目就化为能被
14、5、8、9整除的最小值.根据以上分析,先由能被2、5整除,末位应为0.而20120虽能被5和8整除但不能被9整除,所以选201240能被5、8、9整除.解答:这个数最小是201240.17.五位数3ABAB是6的倍数,这样的六位数有多少? 提示:因为这个五位数是6的倍数,6=2x3,2和3互质,根据2的倍数的特征得知B可为0、2、4、6、8. 3本来就是3的倍数,那么2A+2B就一定是3的倍数.当B=0时,A可为0、3、6、9,(30000、33030、36060、39090);当B=2时,A可为1、4、7(31212、34242、37272);当B=4时,A可为2、5、8(32424、354
15、54、38484);当B=6时,A可为0、3、6、9(30606、33636、36666、39696);当B=8时,A可为1、4、7(31818、34848、37878).解答:这样的六位数有17个。18.现有6个口袋分别装有18、19、21、23、25、34个小球.小王取走其中的3袋,小李取走其中的2袋.如果小王得到的球的个数恰好是小李的2倍,那么小王得了多少个球?提示:乍一看这道题,感觉无从入手.如果能从“和的特征”入手思考,则会豁然开朗.从“和的特征”入手思考,就是在解题时要有整体意识,从整体上分析问题.根据“小王取走的小球个数恰好是小李取走的小球个数的2倍”可知,如果把小李取走的小球个
16、数看作1份,那么小王取走的小球个数就是2份,两人取走的小球个数总和就是3份.也就是说,两人一共取走的5袋小球的个数总和是3的倍数.因为18和21都是3的倍数,19、25和34被3除都余1,23被3除余2,所以分别装有,8、21、19、25、34个小球的5个口袋所装的小球个数的总和是3的倍数. 解答:因此,两人取走的小球个数的总和是:18+21+19+25+34=117(个).那么,小李取走了小球1173=39(个).117-39=78(个)19.一个六位数,各个数位上的数字不相同,它能被3、4、5整除,这样的数中最小的是几?提示:要能被5整除,个位上只能是0或5.又要能被4整除,则末尾数字不可
17、能是5,则末尾数字只能是0；根据被4整除的条件和题意要求各个数位上的数字不能重复，则末尾两位数字为 20、40、60、80；题意还要求能被3整除，则各位上的数字之和必须能被3整除.题意还要求这个数尽量小,则第一位数字应从1开始试起.解答:这样的数中最小的数应是:123480.20.数字和不大于6,又是3的倍数的四位数有多少个?提示:一个数是3的倍数,其数字和一定是3的倍数,根据数字和不大于6,可知数字和有2种情况:数字和是3和6.3=1+1+1+0,可组合成3个满足条件的;3=1+2+0+0,可组合成6个满足条件的;3=3+0+0+0,可组合成1个满足条件的;6=1+1+1+3,可组合成4个满
18、足条件的;6=1+1+2+2,可组合成6个满足条件的;6=1+1+4+0,可组合成9个满足条件的;6=1+5+0+0,可组合成6个满足条件的;6=1+2+3+0,可组合成18个满足条件的;6=2+2+2+0,可组合成3个满足条件的;6=2+4+0+0,可组合成6个满足条件的;6=3+3+0+0,可组合成3个满足条件的;6=6+0+0+0,可组合成1个满足条件的.解答:一共有66个数满足条件.21.两个四位数A275和275B相乘,要使它们的乘积被72整除,求A和B.?提示: 72=89，8和9互质, 即这两个四位数能同时被8和9整除.A275为奇数,275B一定为8的倍数,所以B只能为2;四位
19、数2752各位数字之和为2+7+5+2=16不是3的倍数,也不是9的倍数,因此A275必须是9的倍数,其各位数字之和A+2+7+5=A+14能被9整除.所以A=4.解答:A=4,B=2.22.如果两个六位数124A72、3184B7的乘积能够被99整除,那么两位数AB最小是多少?提示:99=911，9和11互质, 即这两个六位数能同时被9和11整除.124A72与3184B7能够被9和11整除,则这两个数至少有一个数能被11整除.如果124A72能被11整除,那么(1+4+7)与(2+2+A)即12与(4+A)的差(大数减小数)能被11整除,那么A只能取8,当A=8时,124A72不能被9整除
20、,但能被3整除,所以另一个数3184B7能被3整除,那么B可取1、4、7,AB最小为81.同理,如果3184B7能被11整除,那么(1+4+7)与(3+8+B)即12与(11+B)的差(大数减小数)能被11整除,那么B只能取1,当B=1时,3184B7不能被9整除,但能被3整除,所以另一个数124A72能被3整除,那么A可取2、5、8,AB最小为21.解答:所以AB最小为21.23.形如199019901990129且能被11整除的最小自然数n是多少? n个1990提示:先考虑129,奇数位数字之和比偶数位数字之和多8;再考虑一个1990,奇数位数字比偶数位数字之和多1,于是可知,199019
21、901990129是11的倍数最小的一个.解答:最小的自然数是n=3.24.一个能被11整除的五位数,去掉千位和万位上的数字是一个同时能被2、3、5整除的最小三位数,符合要求的五位数中最小的是几?提示:被2、3、5同时整除的最小公倍数是:235=30, 因为题意要求,是一个能同时被2、5、3整除的最小两位数,所以这个百位、十位和个位最小的三位数应是120,设这个五位数是ab120,能被11整除,则(a+1+0)与(b+2)的差是11的倍数.要取最小的五位数,那么a =1,b=0. 解答:这个最小的五位数为:10120.25.能否用1、2、3、4、5、6六个数码组成一个没有重复数字且能被11整除
22、的六位数?为什么?提示:因为1+2+3+4+5+6=21,212不是整数.(一个数能被11整除的特征是奇数位与偶数位的差是11的倍数),而(21-11)2=5, 1、2、3、4、5、6中没有哪三个数相加能为5的.解答:不能.26.三个数的和是555,这三个数分别能被3、5、7整除,且商相等,求这三个数.提示:由题意可知,商为555(3+5+7)=37,所以这三个数为:337=111,537=185, 737=259.解答:这三个数为:111、185、259.27.有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数,这三个数是多少?提示:三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍
23、数,而3和11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.当和为33时,三个数是10、11、12；当和为66时,三个数是21、22、23；当和为99时,三个数是32、33、34.解答:这三个数是:10、11、12或21、22、23或32、33、34.28.从1、2、3、4、5中取三个数,组成的三位数中没有重复数字又能被2和9整除的有哪些?提示:能被9整除,则三位数的各位数的数字之和是9的倍数,所以这个三位数的数字之和是9.这样只能取1、3、5或2、3、4.又因为能被2整除,所以这个三位数的个位数必须是偶数,所以只能取2、3、4这三个数.解答:满足条件的三位数
24、有:234、324、342、432.29.如果三位数abc是37的倍数,那么cab也是37的倍数,试说明理由.提示:这个三位数是abc,用表达式表示为:100a+10b+c,因为是37的倍数,则可表示为: 100a +10b+c=37n(n为整数),这个数乘11得1100a+110b+11c=1137n,仍然是37的倍数.三位数cab可表示为:100c+10a+b,这个数与1100a+110b+11c的和为:100c+10a+b+1100a+110b+11c =1110a+111b+111c=111(10a+b+c)=373(10a+b+c),是37的倍数.解答: 所以cab也是37的倍数.
25、任意连续的相同数字,其个数是3的倍数,必定可以被37整除.30.求所有的三位数,使它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和.提示:设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x、y、z.由于任何数除以11所得余数都不大于10,所以x2+y2+z210.因为x2+y2+z210,则x210,y210,z210.又因为x不能为0，而y，z可以为0.所以1x3,0y3,0z3.所求三位数必在以下数中: 100,101,102,103,110,111,112; 120,121,122，130, 200,201,202;211,212,220，221; 300,301,310.不难验证只有100,10
26、1两个数符合要求.解答:100和101符合要求.31.一个三位数能被11整除,去掉末位数字后所得的两位数能被9整除,这样的三位数有哪些?提示:先考虑能被11整除的三位数,再考虑能被9整除的两位数.解答:有187、275、363、451、638、726、814、902、990.32.有些四位数是7的倍数,且将它从中间划分成前后两个两位数时,前面的数能被3整除,后面的数能被5整除,那么所有这样的数中最小的一个是多少?提示:最小的能被3整除的两位数是12,故按题意叙述的前两位数字最小是12.1200除以7的余数为3,因此这个四位数的前两位是12时,后两位数既能被5整除,又能被7除余4.(1200除以
27、7余3,则后两位数应除以7余4,两数之和才能被7整除).经计算后两位数最小是25.解答:所有这样的数中最小是:1225.33.一个四位数,将它的数码顺序倒排后得到一个新的四位数,将这两个四位数相加.甲的答案是9898,乙的答案是9998,丙的答案是9988,丁的答案是9888.已知甲乙丙丁四位同学中有一位同学的结果是正确的,那么做对的同学是谁?为什么?提示:abcd+dcba=(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)=1001a+110b+110c+1001d=1001(a+d)+110(b+c).所得到的和是11的倍数.1001、110、9988都是11的倍
28、数解答:做对的同学是:丙.34.由2000个1组成的数11111能否被41和271这两个质数整除?提示:因为41271=11111,所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除.按”11111”把2000个1每五位分成一节,20005=400,就有400节.从而由2000个1组成的数11111能被11111整除,而11111能被41和271整除,所以这个数能被41和271整除.解答:能.35.用09这10个数字,组成一个最大的能被11整除的十位数,数字不能重复,这个十位数是多少?提示:此十位数,每位之和=45,是9的倍数.因此,任意排,都是9的倍数.关键是,还必须是11的倍数.即奇数位
29、的和与偶数位和之差是11的倍数.奇数位的和与偶数位和的和=45,差不可能=0,只能=11.因此要调整为:28、17,(使和45,差11).从大到小排,奇数位的和=0+2+4+6+8 =20,偶数位和=1+3+5+7+9=25.差5,要使差11,11-5=6,而对调一对奇偶,改变2,所以要对调3对数.且使偶数位和增大,还必须从个位开始,才能是数最大.这样一来,只能是9875634120.解答:这个十位数最大是:9875634120.36.三个自然数,其中每一个数都不能被另外两个数整除,而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除,那么这样的三个自然数的和的最小值是多少?提示:由于这三个自然数其中每一
30、个数都不能被另外两个数整除,而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除,所以三个数的形式应为:ab、ac、bc,其中a、b、c两两互质,且不能为1,取最小的三个,两两互质的数2、3、5,得三个数分别为23=6、25=10、35=15, 6+10 +15=31.解答:三个自然数的和的最小值是:31.37.设六位数N=X1527Y,又N是4的倍数,且被11除余5,那么X+Y等于多少?提示:N是4的倍数,则7Y是4的倍数,因此Y可取2或6.当Y=2时,N-5=X15272-5=X15267被11整除,所以(X+5+6)-(1+2+7)=X+1是11的倍数,由于X是一位数字,不能是两位数字,所以无解;当
31、Y=6时,N-5=X15276-5=X15271被11整除,所以(X+5+7)-(1+2+1)=X+8是11的位数,因此X=3.解答:X+Y=3+6=9.38.6位数 2875 能被99整除,求 2875 .提示:设这个6位数为a2875b,因为99=911,9与11互质,所以a2875b能够被9和11整除. a+2+8+7+5+b=22+a+b,22+a+b能被9整除,所以a+b=5或14.若ab,则 (a+8+5)-(2+7+b)= a-b+4能被11整除;若aab0时,则5c9-ab0在143、268、429、572、715、858、1001中选肯定是429,所以a等于1且c-b等于2.
32、5c9-ab0=429.这样a=1,考虑到每个数字都不能重复,、b-c有(2、4);(4、6);(6、8)三种,即这个六位数可能是:120549、140569、160589. 若ab05c9时,因为个位数是1，所以ab0-5c9=1001,不合题意，舍去.解答:该六位数是:120549、140569、160589.56.某个七位数1993abc能被2、3、4、5、6、7、8、9都整除,那么它的最后三个数字组成的三位数是多少?提示:首先,能被2、3、4、5、6、7、8、9整除这个条件是可以简化的,因为能被9整除,就必然可以被3整除(9=33),同样的道理,能被8整除就必然可以被2和4整除(8=2
33、4),而同时能被8和9整除就必然可以被6整除(89=72=612).所以,我们可以把条件化简成,这个七位数能同时被5、7、8、9(这四个数是互质的)整除,那么这个数必然是5789= 2520的整数倍.19930002520=792200,也就是说,如果我们想让这个7位数能被2520整除,就需要补上2520-2200=320.能被2和5整除,末尾一定是0;要被9整除,1+9+9+3=22,则a+b=5或14;要被8整除,最后末三位能被8整除,因此该数只能为1993500、1993320、1993680,其中只有1993320能被7整除.三位数为320.解答:320.57.已知143能整除ab519519,这个多位数是由两个末知数和97个519组成的,则ab为多少?提示:ab519519=ab519100(96个519)+519,则ab519必然能被143整除,即519-ab为143的倍数,519143=390,519-90=429(3143=429),故ab=90.解答:ab为90.58.一个大于0的整数的每一个数字不是7就是