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1、第六章 二次型,在平面解析几何中，为看清二次曲线,的形状，可以采用坐标变换,化二次曲线为标准形,由此二次曲线的几何性质便一目了然.,定义6.1 二次齐次多项式,记,以下我们只讨论实二次型.,其中,为对称阵. 二次型,与对称阵,确立了 1-1 对应关系。称二次型,唯一确定的对称阵,为二次型,的矩阵.,的秩为二次型,的秩.,的矩阵,的秩为3；,称对称阵,例如，,而对称阵,确定的二次型为,其中,称为线性变换的矩阵. 若,线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换.,可逆，则称,一、正交变换法.,正交变换有比一般可逆线性变换更好的性质：,证明,正交变换,把,中的标准正交基,变为,中的标准正交基,例 6.1
2、 用正交变换,化二次型,为标准形，并给出正交变换矩阵,解,的矩阵为,由,可得,它的一个基础解系为：,得特征值,正交化得：,它的基础解系为：,满足,再将,单位化得：,例 6.2 用正交变换,化下列二次型为标准形,并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵.,解,的矩阵为,由,它的一个基础解系为：,得特征值,它的一个基础解系为：,它的基础解系为：,满足,再将,单位化得：,第三节 惯性定理 一、惯性定理 实二次型的标准形一般不唯一.但若一个实二次型,经任意一个可逆线性变换,经不同可逆线性变换化为不同标准形后，标 准形中所含的平方项个数都等于,称为实二次型,（或,）的,称为实二次型,）的负惯性指数。,可以写
3、成以下形式的标准形：,个数,负平方项的个数,正惯性指数,（或,其中,进一步令,则,可以化为：,形如上式标准形称为实二次型的规范形.,第四节 正定二次型 定义 6.2（正定性） 若对任意,都有,元实二次型,0(或0)，则称,为正定（或负定）二次型，并称,的矩阵,为正定（或负定）矩阵.,例如,是正定二次型.,是负定二次型.,是半正定二次型.,既不是正定,由定义易得如下性质：,经任意可逆线性变换,后所得的二次型,证明 1 显然 2,，则对任意可逆阵,即,也正定.,也正定,定理 6.5 设,为 阶实对称阵，,则以下几个命题等价：,正定，或,是正定二次型；,的特征值全大于零；,的正惯性性指数为,4,存在可逆阵,使得,1,2,3,证明 1,2 设,经正交线性变换,化为标准形：,则,可经适当可逆线性变换,因为,故,的正惯性性指数为,即,定理 6.6 实对称阵,是它的各阶顺序主子式全大于零，即,正定的充要条件,(称为 的 阶顺序主子式.),推论 实对称阵,负定的充要条件,是它的顺序主子式满足：,因为,解,故,不正定.,解,且,而 A 正定, 故,于是,.,时, 即,时，,为正定的.,