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1、第二节平面向量的基本定理及坐标表示 最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 .3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a 1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a (x1， y1 )，b(x2 ，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1 y
2、2)，22a (x1，y1)，|a|x1y1.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1， y1 )，B(x2，y2)，则 AB(x2 x1，y2y1)，212 y2 1 2|AB|x xy .3平面向量共线的坐标表示设 a (x1， y1 )，b(x2 ，y2)，其中 a 0， b 0， a， b 共线 ? x1 y2x2y1 0. 常用结论 1若 a 与 b 不共线，且 a b0，则 0. 12若 G 是ABC 的重心，则 GA ， (AB)GBGC 0AG3AC一、思考辨析 (正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底(
3、)在中，向量 (2)ABC，BC的夹角为 ABC.()AB(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若 a，b 不共线，且 abab，则 ， .()11221212答案 (1) (2) (3)(4)二、教材改编131已知平面向量 a(1,1)，b(1， 1)，则向量 2a 2b()A (2， 1)B(2,1)C(1,0)D( 1,2)D a (1,1)， b(1， 1)，1 1 1 3 3 3 2a 2，2 ， 2b 2， 21313132a 2b 2 2， 2 2 (1,2)，故选 D.2已知 ?ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3， 1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为 _(
4、1,5)，得4 5 x， 设 D(x， y)，则由 ABDC(4,1)x,6y)，即解得(51 6 y，x1，y5.已知点，向量A(0,1)AC(4， 3)，则向量 BC _.3B(3,2)(7， 4)根据题意得 AB(3,1)，BCACAB( 4， 3)(3,1)(7， 4) m4已知向量 a (2,3)，b(1,2)，若 manb 与 a2b 共线，则 n _.1 由向量 a(2,3)，b( 1,2)，2得 ma nb(2m n,3m 2n)， a 2b(4， 1)由 ma nb 与 a2b 共线，2mn 3m2nm1得 4 1 ，所以 n 2.考点 1平面向量基本定理的应用平面向量基本定
5、理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理1.如果 e1，e2 是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A e 与 e eBe 2e 与 e 2e1121212Ce1 e2 与 e1e2De1 3e2 与 6e22e1D 选项 A 中，设 e1 e2e1，则1 ，无解；1 0，1，选项 B 中，设 e1 2e2 (e12e2)，则无解；22，1，选项 C 中，设 e1e2(e1 e2)，则
6、无解；1 ，选项 D 中， e 3e 2(6e 2e )，所以两向量是共线向量故选D.12121在中，为边上任意一点，为2ABCMBCNAM 的中点， AN的值为 ()11A. 2B.31D.1C.4A 因为 M 为边 BC 上任意一点，所以可设 AM xAByAC 1)(x y因为 N 为 AM 的中点，1 1 1 所以 ANAM xAB yAC .222ABAC11所以 2(xy)2.故选 A.1，用 a， b3.如图，以向量 OAa，OBb为邻边作 ?OADB，BM，CN13BC3CD 表示 OM，ON， MN.解 BAOAOB ab， 1 1 1 BM6BA6a 6b， 1 5OMOB
7、BM 6a6b.ODab，1 1 1 ONOC3CD2OD6OD2 223OD3a3b，221511MNONOM 3a3b6a 6b2a6b.15221 1综上， OM6a6b， ON 3a3b，MN2a6b.(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算考点 2平面向量的坐标运算向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则已知 A( 2,4)，B(3， 1)，C
8、(3， 4)设 ABa，BC b，CAc，且3 ，CN 2 ，CM cb(1)求 3ab3c；(2)求 M， N 的坐标及向量 MN的坐标解 由已知得 a(5， 5)，b(6， 3)， c(1,8)(1)3ab3c 3(5， 5) (6， 3)3(1,8) (1563， 15324)(6， 42)(2)设 O 为坐标原点， CM OMOC3c，OM3cOC(3,24) (3， 4)(0,20)M(0,20)又CNONOC 2b，ON 2bOC(12,6) (3， 4)(9,2)，N(9,2)，MN(9， 18)母题探究 (变结论 )本例条件不变，若 ambnc，则 m_，n_.1 1mbnc
9、(6mn， 3m8n)，a(5， 5)，6mn5，m 1，解得3m8n 5，n 1.求解此类问题的过程中， 常利用 “向量相等，其对应坐标相同 ” 这一原则，通过列方程 (组 )来进行求解1.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且BC2AD，则顶点 D 的坐标为 ()A. 2，7B. 2，122C.(3,2)D.(1,3)A 设 D(x， y)， AD(x，y2)， BC (4,3)，4 2x，x2，又BC2AD，7故选 A.3 2 y 2 ，y2，2向量 a，b 满足 ab( 1,5)，ab(5， 3)，则 b 为()A (3,4)B(3,4)C(3，
10、 4)D( 3， 4)A a b (1,5)， a b (5， 3)，a(2,1)，b ( 3,4)，故选 A.3.向量 a，b，c 在正方形网格中，如图所示，若cab(， R)，则 ()A 1B2C3D4D 以 O 为坐标原点，建立坐标系可得a(1,1)，b(6,2)，c( 1， 3)cab(，R)1 6，32，1解得 2，2. 4.考点 3向量共线的坐标表示两平面向量共线的充要条件有2 种形式(1)若 a(x1，y1)，b (x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2 x2y10；(2)已知 b0，则 ab 的充要条件是存在唯一实数，使得 a b(R)利用向量共线求向量或点的坐标一题多
11、解 已知点 A(4,0)，B(4,4)， C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为_(3,3) 法一：由 O，P，B 三点共线，可设 OPOB (4，4)，则APOPOA(44,4)又ACOC OA (2,6)，由AP与AC共线，得 (44) 6 4(2)0，3 3 解得 4，所以 OP 4OB(3,3)，所以点 P 的坐标为 (3,3)，因为，且xy法二：设点 P(x，y)，则 OP(xy)与OB共线，所以 ，OB(4,4)OP44即 xy.又AP(x 4， y)，AC( 2,6)，且 AP与AC共线，所以 (x4)6y(2)0，解得 xy3，所以点 P 的坐标为 (3,3)
12、利用两向量共线的条件求向量坐标的方法：一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为a( R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量利用向量共线求参数1(1)已知向量a(1sin ，1)，b 2，1sin ，若 ab，则锐角 _.(2)若三点 A(1， 5)， B(a， 2)， C(2， 1)共线，则实数 a 的值为 _(1)45(2) 5(1) 由 ab，得(1sin )(1 sin )1，21， 2或42cos2cos22cos 2 ，又 为锐角，45 .(2)AB (a1,3)，AC(3,4)根据题意 ABAC，54(a1) 3 ( 3)
13、0，即 4a 5，a 4.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a(x1， y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1”解题比较方便已知 a(1,0)，b(2,1)(1)当 k 为何值时， kab 与 a2b 共线；(2)若AB2a 3b，BCamb，且 A， B，C 三点共线，求 m 的值解 (1)a (1,0)， b (2,1)，ka b k(1,0)(2,1)(k2， 1)，a2b (1,0) 2(2,1)(5,2)，ka b 与 a2b 共线，2(k2) (1) 5 0，1k 2.(2)AB 2(1,0)3(2,1) (8,3)，BC(1,0)m(2,1) (2m1，m)A，B，C 三点共线，ABBC，8m3(2m1)0，3m2.