山东专版2019版中考数学总复习第五章圆5.1圆的性质及与圆有关的位置关系试卷部分课件.pptx

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1、A组 20142018年山东中考题组 考点一 圆的有关概念与性质,五年中考,1.(2018济宁,4,3分)如图,点B、C、D在O上,若BCD=130,则BOD的度数是 ( ) A.50 B.60 C.80 D.100,答案 D 如图所示.在优弧 上任取一点A(不与点B、D重合),连接AB、AD.因为四边形 ABCD是O的内接四边形,所以A+BCD=180.因为BCD=130,所以A=50,所以 BOD=2A=250=100.,2.(2018烟台,10,3分)如图,四边形ABCD内接于O,点I是ABC的内心,AIC=124,点E在AD 的延长线上,则CDE 的度数为 ( ) A.56 B.62

2、C.68 D.78,答案 C 由AIC=124,知IAC+ICA=180-AIC=180-124=56, 又点I是ABC的内心,点I是ABC三个内角的平分线的交点, BAC+BCA =562=112, B=180-(BAC+BCA)=180-112=68. 四边形ABCD内接于O,B+ADC=180, 又ADC+CDE=180,CDE=B=68.,3.(2018菏泽,6,3分)如图,在O中,OCAB,ADC=32,则OBA的度数是 ( ) A.64 B.58 C.32 D.26,答案 D 由垂径定理,得 = ,又ADC=32, BOC=2ADC=64,OBA=90-64=26.,4.(2018

3、青岛,5,3分)如图,点A、B、C、D在O上,AOC=140,点B是 的中点,则D的度数 是 ( ) A.70 B.55 C.35.5 D.35,答案 D 如图,连接OB.点B是 的中点, = , AOB= AOC= 140=70,D= AOB= 70=35.,方法总结 在圆中,见到弧的中点时,就要想到等弧,相等的圆心角、圆周角以及相等的弦.,5.(2017青岛,6,3分)如图,AB是O的直径,点C,D,E在O上,若AED=20,则BCD的度数为 ( ) A.100 B.110 C.115 D.120,答案 B 连接AC.AED=20,ACD=AED=20.AB是O的直径,ACB=90, BC

4、D=ACD+ACB=20+90=110.故选B.,思路分析 连接AC,先根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,求得ACD的度数,再根 据直径所对的圆周角是直角求得ACB的度数.最后由BCD=ACB+ACD得BCD的度 数.,方法规律 解决与圆有关的角度的相关计算问题时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转 化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的 一半等关系求解.特别地,当已知圆的直径时,往往要用到“直径所对的圆周角是直角”的性 质.,6.(2017泰安,12,3分)如图,ABC内接于O,若A=,则OBC等于 ( ) A.180-2 B.2 C.9

5、0+ D.90-,答案 D 连接OC,则BOC=2A=2,因为OB=OC,所以OBC=OCB= (180-2)=90-.,思路分析 首先连接OC,然后利用同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系确定BOC的大 小,最后利用等腰三角形的性质计算出OBC的度数.,7.(2016聊城,9,3分)如图,四边形ABCD内接于O,F是 上一点,且 = ,连接CF并延长交 AD的延长线于点E,连接AC.若ABC=105,BAC=25,则E的度数为 ( ) A.45 B.50 C.55 D.60,答案 B = ,DCF=BAC=25. 又四边形ABCD是圆内接四边形, ADC=180-ABC=180-105=75,

6、 E=ADC-DCF=75-25=50.故选B.,思路分析 利用圆的内接四边形对角互补的性质求出ADC的度数,利用在同圆或等圆中,同 弧所对的圆周角相等求出DCF的度数,最后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和求出E的度数.,8.(2017东营,14,3分)如图,AB是半圆的直径,半径OCAB于点O,D为半圆上一点,ACOD,AD 与OC交于点E,连接CD、BD,给出以下三个结论:OD平分COB;BD=CD;CD2=CECO. 其中正确结论的序号是 .,答案 ,解析 AB是半圆的直径,OCAB,OA=OB=OC,AOC=COB=90, OAC=45,ACOD,DOB=OAC=45

7、, COD=COB-DOB=90-45=45, OD平分COB,BD=CD,故正确; CDE= COA= 90=45, CDE=COD. 在CDE和COD中, CDECOD, = . 即CD2=CECO,故正确.,思路分析 利用AO=CO,COAB,得到AOC为等腰直角三角形,即CAO=45,由ACOD得 到DOB=CAO=45,进而得到DOC=45,OD平分COB;利用同圆(或同弧)中相等的圆 心角所对的弦长相等即可得到BD=CD;利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,即可得到 CDE= COA= 90=45,即CDE=COD,又DCE=OCD,CDECOD, = ,即CD2=CECO.,9

8、.(2016枣庄,15,4分)如图,在半径为3的O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2, 则tanD= .,答案 2,解析 连接BC,AB为O的直径,ACB=90, 又AB=2r=6,BC= = =4 ,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等 知D=A, tanD=tanA= = =2 ,故答案为2 .,思路分析 连接BC,由直径所对的圆周角为直角,得到ABC为直角三角形,解RtABC,然后 利用在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,即可求得tanD的值.,10.(2017济南,23,7分)如图,AB是O的直径,ACD=25,求BAD的度数.,解析 AB是O的直径, A

9、DB=90. ACD=25, B=ACD=25, BAD=90-B=90-25=65.,思路分析 首先由AB是O的直径,推得ADB=90;然后由同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等,得B=ACD=25;最后由直角三角形的两锐角互余,得BAD=90-B=90-25 =65.,方法规律 求与圆有关的角时,要想到:(1)同弧或等弧所对的圆周角相等;(2)同弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角的一半;(3)圆的内接四边形的对角互补;(4)同圆和等圆的半径相等等.,11.(2016潍坊,21,8分)正方形ABCD内接于O,如图所示,在劣弧 上取一点E,连接DE、BE, 过点D作DFBE交O于点F,连

10、接BF、AF,且AF与DE相交于点G. 求证:(1)四边形EBFD是矩形; (2)DG=BE.,证明 (1)四边形ABCD是正方形, BAD=BCD=90, BED=BAD=90,BFD=BCD=90, 又DFBE,EDF+BED=180, EDF=90,四边形EBFD是矩形. (2)正方形ABCD内接于O, 的度数是90, AFD=45, 又GDF=90, DGF=DFG=45, DG=DF, 又在矩形EBFD中,BE=DF, DG=BE.,思路分析 (1)要证明四边形EBFD是矩形,需证明四边形EBFD的三个角是直角,先根据在同圆 或等圆中,同弧所对的圆周角相等及正方形的性质,得到BED=

11、BFD=90,再根据两直线平 行,同旁内角互补求得第三个角是直角即可.(2)根据圆周角与它所对弧的关系求得AFD=45 ,则DFG为等腰直角三角形,则DF=DG,再根据矩形的对边相等得到DF=BE,从而BE=DG.,考点二 与圆有关的位置关系,1.(2018泰安,9,3分)如图,BM与O相切于点B,若MBA=140,则ACB的度数为 ( ) A.40 B.50 C.60 D.70,答案 A 如图,连接OA,OB,则OBBM, BAO=ABO=MBA-OBM=140-90=50, AOB=180-502=80,ACB= AOB=40.,2.(2017枣庄10,3分)如图,在网格(每个小正方形的边

12、长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为 格点),如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围 为 ( ) A.2 r B. r3 C. r5 D.5r,答案 B 如图所示.由勾股定理可得:AB= =2 , AC=AD= = ,AE= =3 ,AF= = ,AG=AM=AN= =5, r3 时,以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内.故选B.,3.(2017日照,9,4分)如图,AB是O的直径,PA切O于点A,连接PO并延长交O于点C,连接AC, AB=10,P=30,则AC的长度是 ( ) A.5 B.5 C.5 D.,答案 A

13、过点O作ODAC于点D, AB是O的直径,PA切O于点A, ABAP,BAP=90, P=30,AOP=60,AOC=120, OA=OC,OAD=30, AB=10,OA=5,OD= AO= , AD= = , AC=2AD=5 ,故选A.,4.(2017莱芜,6,3分)如图,AB是O的直径,直线DA与O相切于点A,DO交O于点C,连接BC, 若ABC=21,则ADC的度数为 ( ) A.46 B.47 C.48 D.49,答案 C 直线DA与O相切,OAD=90. OB=OC,B=OCB=21,AOD=B+OCB=42,ADC=90-AOD=90-42=48.,思路分析 根据切线的性质,得

14、出OAD=90;在RtADO中,欲求ADC的度数,需求AOD的度数;利用OC=OB得出OCB=ABC=21;根据三角形外角的性质得AOD=42, 从而ADC=48.,5.(2016潍坊,9,3分)如图,在平面直角坐标系中,M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0, 4)与点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是 ( ) A.10 B.8 C.4 D.2,答案 D 作MDBC于点D,连接OM,AM,则四边形AODM是矩形.易知AM=OD=10,OA=8, 在RtAOM中,由勾股定理得OM= =2 ,故选D.,6.(2018威海,16,3分)在扇形CAB中,CDAB,垂足为D,E

15、是ACD的内切圆,连接AE,BE,则 AEB的度数为 .,答案 135,解析 连接CE,CDAB,ADC=90, DAC+DCA=90. E内切于ADC,EAC+ECA=45,AEC=135. 由题易知AECAEB,AEB=AEC=135.,7.(2016泰安,22,3分)如图,半径为3的O与RtAOB的斜边AB切于点D,交OB于点C,连接CD并 延长交直线OA于点E,若B=30,则线段AE的长为 .,答案,解析 连接OD,AB与圆O相切于点D,ODAB, 又B=30,OB=2DO=6,BAO=60,COD=60, BC=OC=3, OD=OC,COD=60, OCD是等边三角形,DC=OC=

16、BC=3, CDB=B=30,ADE=30, 又BAO=60,E=30=ADE,AE=AD, AD=ODtan 30= , AE= .,8.(2018东营,22,8分)如图,CD是O的切线,点C在直径AB的延长线上. (1)求证:CAD=BDC; (2)若BD= AD,AC=3,求CD的长.,解析 (1)证明:如图,连接OD, AB是O的直径,ADB=90,1+ODB=90, 又CD是O的切线,ODC=90, BDC+ODB=90, 1=BDC, 又OA=OD,1=CAD, CAD=BDC. (2)BD= AD, = ,CAD=BDC,C=C, CADCDB, = = ,又AC=3, CD=

17、CA= 3=2.,9.(2018济宁,18,7分)在一次数学活动课中,某数学小组探究求环形花坛面积的方法,现有以下 工具: 卷尺;直棒EF;T型尺(CD所在的直线垂直平分线段AB). (1)在图1中,请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图;(保留画图痕迹,不写画法) (2)如图2,小华说:“我只有一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积,具体作法如下:将 直棒放置到与小圆相切的位置,用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M、N之间的距离,就可求 出环形花坛的面积.”如果测得MN=10 cm,请你求出这个环形花坛的面积.,图1 图2,解析 (1)如图所示,点O就是大圆的圆心. 图 (2)如图所示,设EF与

18、小圆相切于点H,连接OH,OM. 图,EF与小圆相切于点H, OHEF, MH= MN,又MN=10 cm,MH=5 cm. 在RtOMH中,由勾股定理,得OM2-OH2=MH2=52=25. S环形花坛=OM2-OH2=(OM2-OH2)=25(cm2),即这个环形花坛的面积为25 cm2.,10.(2018德州,22,12分)如图,AB是O的直径,直线CD与O相切于点C,且与AB的延长线交于 点E,点C是 的中点. (1)求证:ADCD; (2)若CAD=30,O的半径为3,一只蚂蚁从点B出发,沿着BEEC 爬回点B,求蚂蚁爬过 的路程(3.14, 1.73,结果保留一位小数).,解析 (

19、1)证明:如图,连接OC, 点C是 的中点,DAC=BAC. 直线CD与O相切于点C,OCE=90, 又AO=CO,OAC=ACO, DAC=ACO, ADOC, ADC=OCE=90, ADCD. (2)CAD=30,DAE=60, COE=60,E=30. OC=3,OE=6, EC= OC=3 ,BE=OE-OB=6-3=3, 的长为 =, 蚂蚁爬过的路程为BE+EC+ =3+3 +11.3.,11.(2018滨州,22,12分)如图,AB为O的直径,点C在O上,ADCD于点D,且AC平分DAB. 求证:(1)直线DC是O的切线; (2)AC2=2ADAO.,证明 (1)如图,连接OC,

20、AC平分DAB,DAC=OAC,由题意可知OA=OC,OAC= OCA,DAC=OCA,OCAD,又ADCD,ADC=90,OCD=90,直线DC是 O的切线. (2)连接BC,AB是O的直径,ACB=90,ACB=ADC=90,又DAC=BAC, ADCACB, = ,AC2=ADAB,AC2=2ADAO.,12.(2018莱芜,23,10分)如图,已知A、B是O上两点,OAB外角的平分线交O于另一点C, CDAB交AB的延长线于D. (1)求证:CD是O的切线; (2)E是 的中点,F为O上一点,EF交AB于G,若tanAFE= ,BE=BG,EG=3 ,求O的半径.,解析 (1)证明:如

21、图,连接OC. OB=OC,OCB=OBC. CB是OAB的外角的平分线,OBC=CBD, OCB=CBD,OCBD. BDCD,BDC=90,OCD=90,OCCD. 又OC为O的半径, CD是O的切线. (2)连接OE交AB于H, E是 的中点,OEAB,AFE=ABE. tanAFE= ,tanABE= = .,设EH=3m(m0),则BH=4m,BE=5m. BG=BE,BG=5m,GH=m. 在RtGEH中,EG2=GH2+EH2,又EG=3 , (3 )2=m2+(3m)2,解得m=3. EH=9,BH=12. 设O的半径为r,在RtOHB中,OB2=OH2+BH2, r2=(r-

22、9)2+122,r= . 故O的半径为 .,思路分析 (1)连接OC,证OCCD即可.(2)连接OE交AB于H,利用同弧所对的圆周角相等,得到 ABE=AFE,进而利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出EH,BH的长,最后利用勾股定理 求出O的半径.,13.(2018聊城,24,10分)如图,在 RtABC 中,C=90,BE平分ABC交AC 于点E,作EDEB交 AB 于点 D,O是BED的外接圆. (1)求证:AC是O的切线; (2)已知O的半径为2.5,BE=4,求 BC,AD 的长.,解析 (1)证明:连接OE,OB=OE,OBE=OEB. BE 平分ABC,OBE=EBC,OEB=EB

23、C, OEBC, 又C=90,OEA=90,即ACOE. 又OE 是O 的半径,AC 是O 的切线. (2)在BCE 与BED 中, C=BED=90,EBC=DBE, BCEBED, = . BD 是O 的直径,BD=5, BE=4, = ,BC= . 又OEBC, = , AO=AD+2.5,AB=AD+5, = ,解得AD= .,思路分析 (1)连接OE,由OEB=OBE=EBC,得OEBC,从而证明ACOE,AC是O的切 线. (2)由BCEBED,得 = ,从而求出BC的长;由OEBC,得 = ,可求出AD 的长.,14.(2017莱芜,23,10分)已知AB是O的直径,C是圆上一点

24、,BAC的平分线交O于点D,过D 作DEAC交AC的延长线于点E,如图. (1)求证:DE是O的切线; (2)若AB=10,AC=6,求BD的长; (3)如图,若F是OA的中点,FGOA交直线DE于点G,若FG= ,tanBAD= ,求O的半径.,解析 (1)证明:如图,连接OD. OA=OD,OAD=ODA. 又AD平分BAC,OAD=DAE. ODA=DAE,ODAE,ODE+AED=180. 又AED=90,ODE=90, ODDE,又OD是O的半径,DE是O的切线. (2)连接BC交OD于点N. AB是O的直径,BCA=90. ODAE,O是AB的中点,ONAC,且ON= AC, ON

25、B=90,且ON=3.,则BN=4,ND=2,BD= =2 . (3)如图,设FG与AD交于点H. 根据题意,设AD=4x,BD=3x,则AB=5x, 则AF= x,FH=AFtanBAD= x = x, 则AH= x,则HD=AD-AH=4x- x= x. 由(1)可知,HDG+ODA=90, 在RtHFA中,FAH+FHA=90, 又OAD=ODA,FHA=DHG,DHG=HDG. GH=GD. 过点G作GMHD,交HD于点M.,MH=MD,HM= HD= x= x. FAH+AHF=90,MHG+HGM=90,FHA=MHG,FAH=HGM. 在RtHGM中,HG= = = x. FH+

26、GH=FG= , x+ x= ,解得x= . 故此圆的半径为 =4.,思路分析 (1)连接半径OD,易证ODDE,即可证得DE是O的切线. (2)在RtBDN中,先求出BN、DN的长,再利用勾股定理求出BD的长. (3)已知tanBAD= ,在RtABD中,tanBAD= = ,设BD=3x,AD=4x;设FG与AD交于点H, 已知FG= ,把FG转化为FH与GH的和,并分别得到FH与GH关于x的方程,然后解方程求出 O的半径.,15.(2017东营,21,8分)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交BC于点D,过点D作O的 切线DE,交AC于点E,AC的反向延长线交O于点F. (1

27、)求证:DEAC; (2)若DE+EA=8,O的半径为10,求AF的长度.,解析 (1)证明:OB=OD,B=ODB. AB=AC,B=ACB.ODB=ACB,ODAC. DE是O的切线,OD是O的半径,DEOD. DEAC. (2)过点O作OHAF,垂足为H,则ODE=DEH=OHE=90,四边形ODEH为矩形,OD= EH,OH=DE. 设AH=x,DE+EA=8,OD=10, AE=10-x,OH=DE=8-(10-x)=x-2.,在RtAOH中,由勾股定理知:AH2+OH2=OA2, x2+(x-2)2=102, 解得x1=8,x2=-6(不符合题意,舍去),AH=8, OHAF,AH

28、=FH= AF,AF=2AH=28=16.,思路分析 (1)由AB=AC得到B=ACB,又由OB=OD得到B=ODB,进而得到ODB= ACB,所以ODAC,由切线性质知道DEOD,即可证得DEAC.(2)过O作OHAF于H,由垂径 定理可知AH= AF,由矩形的判定易知四边形ODEH为矩形,即OD=HE,OH=DE.设AH=x,则AE =10-x,OH=DE=8-AE=8-(10-x)=x-2,在RtAOH中,由勾股定理知AH2+OH2=OA2,列方程即可求 得x,进而求得AF.,B组 20142018年全国中考题组 考点一 圆的有关概念与性质,1.(2017四川遂宁,9,4分)如图,O的半

29、径为4,ABC是O的内接三角形,连接OB、OC.若 BAC与BOC互补,则弦BC的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案 B BOC+CAB=180,BOC=2CAB, BOC=120,作ODBC交BC于点D, BC=2BD. OB=OC, OBD=OCD= =30, BD=OBcos 30=2 , BC=2BD=4 ,故选B.,2.(2017四川广安,9,3分)如图,AB是O的直径,且经过弦CD的中点H,已知cosCDB= ,BD=5, 则OH的长度为 ( ) A. B. C.1 D.,答案 D 连接BC, 根据题意,知AB垂直平分CD, BC=BD=5,CDB=BCD,CHB=

30、90, 在RtCHB中,CH=CBcosBCD=5 =4, HB= = =3, sinBCD=sinCDB= . CDB=CAB, sinCAB= . AB是O的直径, ACB=90, 在RtACB中,AB= = = , OB= AB= ,OH=OB-HB= -3= ,故选D.,3.(2017内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为O的直径,弦ABCD,垂足为M.若AB=12,OMMD =58,则O的周长为 ( ) A.26 B.13 C. D.,答案 B 连接OA,设OM=5x(x0),则MD=8x,OA=OD=13x,又AB=12,ABCD,AM=6.在 RtAOM中,(5x)2+62=(1

31、3x)2,解得x= (舍负),半径OA= ,O的周长为13.,方法规律 如图,设圆O的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则 +d2=r2(h=r-d或 h=r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.,4.(2016河北,9,3分)下图为44的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是 ( ) A.ACD的外心 B.ABC的外心 C.ACD的内心 D.ABC的内心,答案 B 设每个小正方形的边长为1,则OA=OB=OC= ,所以点O到ABC三个顶点的距离 都相等,所以点O在三角形ABC三边垂直平分线的交点上,故点O是ABC的外心.,评析 本题考查了勾股定理和三角形外心的定义,

32、用勾股定理分别求出点O与三角形ABC各 顶点的距离,再根据定义作出判断即可.,5.(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在O上, = ,CAD=30,ACD=50,则ADB= .,答案 70,解析 = ,BAC=CAD=30.又BDC=BAC=30,ACD=50,ADB=180 -30-30-50=70.,6.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分 CAB,若AD=6,则AC= .,答案 2,解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以 BAD=30,因为 =cos 30,所以

33、AB= = =4 .在RtABC中,AC=ABcos 60=4 =2 .,7.(2017北京,14,3分)如图,AB为O的直径,C,D为O上的点, = .若CAB=40,则CAD = .,答案 25,解析 连接BC,BD,AB为O的直径,ACB=90, ABC=90-CAB=90-40=50. = ,ABD=CBD= ABC=25,CAD= CBD=25.,8.(2017浙江湖州,12,4分)如图,已知在ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆O,交BC于点D.若 BAC=40,则 的度数是 度.,答案 140,解析 AB=AC,BAC=40, B=C=70, 的度数为270=140.,9.(

34、2016黑龙江龙东地区,7,3分)如图,CD是O的直径,CD=4,ACD=20,点B为弧AD的中点,点 P是直径CD上的一个动点,则PA+PB的最小值为 .,答案 2,解析 如图所示,作出点A关于CD的对称点M,则 = ,连接MB交CD于点P.此时PA+PB的 值最小,PA+PB的值最小为BM的长. 作直径BN,连接MN.则BMN=90. ACD=20,点B为弧 的中点, 弧 所对圆心角的度数为60,MNB=30. 在RtBMN中,BM= BN= CD= 4=2. PA+PB的最小值为2.,10.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC

35、的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,解析 (1)尺规作图如图所示. (2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE,所以 = , 易得OEBC,所以EM=3. RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5, 所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦CE的长为 .,思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CAE可得 = ,可推出OE BC,最后利用勾股定理求出CE.,11.(2018河南,19,9分)

36、如图,AB是O的直径,DOAB于点O,连接DA交O于点C,过点C作O 的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F. (1)求证:CE=EF; (2)连接AF并延长,交O于点G.填空: 当D的度数为 时,四边形ECFG为菱形; 当D的度数为 时,四边形ECOG为正方形.,解析 (1)证明:连接OC. CE是O的切线,OCCE. FCO+ECF=90. DOAB,B+BFO=90. CFE=BFO,B+CFE=90. (3分) OC=OB,FCO=B. ECF=CFE.CE=EF. (5分) (2)30.(注:若填为30,不扣分)(7分) 22.5.(注:若填为22.5,不扣分)(9分),12.(2

37、018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足 为E. (1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB; (2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB= ,DH =1,OHD=80,求BDE的大小. 图1 图2,解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=90. 又DEAB,DEA=90. DEA=ABC,BCDF, F=PBC. 四边形BCDF是圆内接四边形, F+DCB=180, 又PCB+DCB=180, F=PCB,PBC=PCB, PC=PB. (2)连接OD,A

38、C是O的直径,ADC=90,又BGAD,AGB=90,ADC=AGB,BGDC. 又由(1)知BCDE,四边形DHBC为平行四边形,BC=DH=1. 在RtABC中,AB= ,tanACB= = , ACB=60,CAB=30. 从而BC= AC=OD,DH=OD. 在等腰三角形DOH中,DOH=OHD=80, ODH=20. 设DE交AC于N.BCDE,ONH=ACB=60, NOH=180-(ONH+OHD)=40, DOC=DOH-NOH=40, CBD=OAD=20. BCDE,BDE=CBD=20.,一题多解 (1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,且 = =1,PB=PC. (2

39、)连接OD,设BDE=x,则EBD=90-x, 易证四边形BCDH为平行四边形, BC=DH=1,AB= ,CAB=30,AC=2, ADB=ACB=60, OD=OA=1=DH, ODH=180-2OHD=180-280=20, OAD=ODA=ADB-(ODH+x) =60-(20+x)=40-x. 又AOD=2ABD, 180-2(40-x)=2(90-x),解得x=20,即BDE=20.,解后反思 本题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平 行四边形的判定与性质、解直角三角形等基础知识,考查运算能力、推理能力与几何直观,考 查化归与转化思想.,13. (201

40、7浙江台州,22,12分)如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点(不与B,C重 合),PE是ABP的外接圆O的直径. (1)求证:APE是等腰直角三角形; (2)若O的直径为2,求PC2+PB2的值.,解析 (1)证明:ABC是等腰直角三角形, AC=AB,CAB=90, 又PE是ABP的外接圆O的直径, PAE=90, CAP=BAE, 又CPA+APB=180,APB+AEB=180, APC=AEB, ACPABE, AP=AE, APE是等腰直角三角形. (2)由(1)得ACPABE,CP=BE, 又PBE=90,PE=2,EB2+PB2=PE2=4, 即PC2+PB2=

41、4.,考点二 与圆有关的位置关系,1.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50, 则BOD等于 ( ) A.40 B.50 C.60 D.80,答案 D 由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180 及ACB=50可得 BAC=40,由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和可得BOD=ODA+OAD=80.,2.(2017吉林,6,2分)如图,直线l是O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交O于点C.若 AB=12,OA=5,则BC的长为 ( ) A.5 B.6 C.

42、7 D.8,答案 D 因为AB是圆O的切线,所以OAAB,由勾股定理可得,OB=13,又因为OC=5,所以BC= OB-OC=13-5=8,故选D.,3.(2017浙江宁波,9,4分)如图,在RtABC中,A=90,BC=2 .以BC的中点O为圆心的圆分别 与AB、AC切于D、E两点,则 的长为 ( ) A. B. C. D.2,答案 B 连接OA、OE、OD. RtABC中,O为BC的中点,BC=2 , OA=OB=OC= . 又AC、AB是O的切线, OD=OE=r,OEAC,ODAB, 又A=90. 四边形ODAE为正方形.DOE=90. 易知AC=2r,AB=2r, 在RtABC中,由

43、勾股定理可得(2r)2+(2r)2=(2 )2, r=1. 的长= = = . 故选B.,解题关键 求出EOD及半径r是解题的关键.,4.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点, 则DOE= .,答案 60,解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D 是AB的中点,BD= AB= BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边 形ADOE中,DOE=360-90-90-120=60.,解题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.,5.(201

44、7江苏镇江,9,2分)如图,AB是O的直径,AC与O相切,CO交O于点D,若CAD=30, 则BOD= .,答案 120,解析 AB是O的直径,AC与O相切,AOAC,即CAO=90,CAD=30,DAO= 60,BOD=120.,6.(2017江苏徐州,16,3分)如图,AB与O相切于点B,线段OA与弦BC垂直,垂足为D,AB=BC=2,则 AOB= .,答案 60,解析 线段OA与弦BC垂直,AB=BC=2,BD= BC=1,在RtABD中,sinA= = ,A= 30,AB与O相切于点B,OBA=90,AOB=60,故答案为60.,7.(2018四川成都,20,10分)如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,O为A