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1、第二节两条直线的位置关系 最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、 点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有 l 1l 2? k1 k2.当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1 l2.(2)两条直线垂直如果两条直线 l1，2 的斜率存在，设为1， 2，则有l1 2121.lk kl ? k k当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0 时， l1l2.2两条直线的交点的求法直线
2、 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC2 0(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数 )，A1x B1yC10，则 l 1 与 l2 的交点坐标就是方程组的解A2x B2yC203三种距离公式(1)平面上的两点1 1， 1， 2 2， 2间的距离公式12 1x22 y122.P (xy )P (xy )|P P |xy特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离 |OP| x2y2.|Ax By C|(2)点 P(x0，y0)到直线 l：AxBy C0 的距离 d00.A2B2(3)|C1C2|两条平行线 AxByC1 0 与 AxBy C20 间的距离为 d22.A
3、B 常用结论 由一般式方程确定两直线位置关系的方法22直线方程 l1 与 l 2l1：A1xB1yC10(A1B10)垂直的充要条件平行的充分条件相交的充分条件重合的充分条件l：A xB yC220)0(A B222222A1A2 B1B20A BC22211122C2(A B C 0)ABA1B1 (A2B2 0)A2 B2A1B1C1(A2B2C2 0)A2B2C2一、思考辨析 (正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线 l和 l斜率都存在时，一定有k k ? ll.()121212(2)如果两条直线 l 1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组
4、有唯一解，则两直线相交()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()答案 (1)(2) (3) (4)二、教材改编1已知点 (a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于 ()A.2B.2 2C.21D.21C 由题意得|a23|2， 1，即 |a1|2又 a0，a 21.2已知 P(2，m)，Q(m,4)，且直线 PQ 垂直于直线 xy10，则 m_.1 由题意知m 41，所以 m4 2 m，2m所以 m1.3若三条直线 y2x，xy 3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值为 _y 2x，x 1，9 由得x y 3，y 2.所以点 (1,2)满
5、足方程 mx2y 50，即 m12250，所以 m 9.4已知直线3x 4y30 与直线6x my 140 平行，则它们之间的距离是_342 由两直线平行可知 6m，即 m8.两直线方程分别为 3x4y30 和 3x4y 7 0，则它们之间的距离 d|73|2.916考点 1两条直线的位置关系解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想 ”前思在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分类讨论后想在解题后要检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解1.设 a R，则“ a 1”是“直线 l1 ：ax 2y10 与直线 l 2：x(a 1)y4 0 平行”的 ()A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要
6、条件D既不充分也不必要条件A 当 a1 时，显然 l1l2，若 l1l2，则 a(a1) 2 1 0，所以 a1 或 a 2.所以 a1 是直线 l 1 与直线 l2 平行的充分不必要条件2若直线 l1：(a1)xy10 和直线 l 2：3xay20 垂直，则实数 a 的值为 ()13A. 2B.213C.4D.43D 由已知得 3(a1)a0，解得 a 4.3已知三条直线l 1： 2x3y 10，l 2： 4x3y 5 0， l3： mx y 10 不能构成三角形，则实数 m 的取值集合为 ()A. 4，2B.4，23333C. 4，2，4D. 4，2，2333333D 三条直线不能构成一个
7、三角形，2当 l1l3 时， m 3；4当 l2l3 时， m 3；当 l1，l 2，l 3 交于一点时，也不能构成一个三角形，2x 3y10，得交点为 1，1，代入 ，得2由 .故选4x 3y50，3mx y10m3D.直接运用 “ 直线 A1x B1yC10，A2x B2y C20 平行与垂直的充要条件解题 ”可有效避免不必要的参数讨论考点 2两条直线的交点与距离问题(1)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x
8、，y 的系数对应相等(1)求经过两条直线 l 1：xy40 和 l2： x y 20 的交点，且与直线2xy10 垂直的直线方程为 _(2)直线 l 过点 P(1,2)且到点 A(2,3)和点 B(4,5)的距离相等，则直线l 的方程为_xy40，x1，(1)x 2y70(2)x3y50 或 x 1(1) 由得xy20，y3，l1 与 l 2 的交点坐标为 (1,3)设与直线 2xy10 垂直的直线方程为x2yc0，则 1 2 3 c 0，c 7.所求直线方程为 x2y70.(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y2k(x1)，即 kx yk20.由题意知|2k3 k2|4k5k
9、2|，k2 1k211即 |3k1|3k 3|，k 3，1直线 l 的方程为 y2 3(x1)，即 x3y50.当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x 1，也符合题意 1.直线系方程的常见类型(1)过定点 P(x0，y0)的直线系方程是： y y0k(xx0)(k 是参数，直线系中未包括直线 xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线AxByC 0 的直线系方程是： AxBy 0(是参数且C)；(3)垂直于已知直线 AxBy C 0 的直线系方程是： BxAy 0(是参数 )；(4)过两条已知直线l 1：A1x B1y C10 和 l 2：A2xB2y C20
10、 的交点的直线系方程是： A1xB1yC1 (A2x B2yC2)0(R，但不包括 l2)2动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算教师备选例题 1已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x y 40， xy70,2x 7y140，求边 2x 7y14 0 上的高所在的直线方程 解设所求高所在的直线方程为2x y 4 (xy7) 0，即 (2 )x( 1)y (47)0，可得 (2)2( 1)(7)0，11解得 5 ，所以所求高所在的直线方程为7x2y 190.2求过直线 2x7y 40 与 7x21y10 的交点，
11、且和A(3,1)， B(5,7)等距离的直线方程解 设所求直线方程为2x7y4(7x21y1) 0，即 (27)x(721)y( 4 )0，由点 A( 3,1)，B(5,7)到所求直线等距离，可得| 2 7 3 72114|272 7212| 275 72174|，272 2721291整理可得 |43 3|11355|，解得 35或 3，所以所求的直线方程为21x 28y13 0 或 x1.1.当 0k1时，直线 l 1： 与直线2 ： 2k的交点在()2kx y k 1lky xA 第一象限B第二象限C第三象限D第四象限x k ，kxyk1，k 1B 由得kyx2k2k1y.k11k2k
12、11：kx yk 12又0k ，x0，故直线 l与直线 l ：kyx2k 1k12k 的交点在第二象限 2若 P， Q 分别为直线 3x 4y12 0 与 6x8y50 上任意一点，则 |PQ|的最小值为 ()918A. 5B. 52929C.10D. 534123x 4y120化为 6x 8y24C 因为 685，所以两直线平行，将直线0，由题意可知 |PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，|245|即29，所以 |PQ|62 821029的最小值为 10.考点 3对称问题中心对称问题中心对称问题的解法x 2ax，(1)点关于点：点 P(x，y)关于点 Q(a，b)的对称点 P(x，y )
13、满足y 2by.(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2x y80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为 _x4y 4 0设 l1 与 l 的交点为 A(a,8 2a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B( a,2a6)在 l2 上，代入 l2 的方程得 a 3(2a6) 100，解得 a 4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线l 的方程为 x4y40.点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解若直线l 1：yk(x4)与直线l 2 关于点 (2,1
14、)对称，则直线l2 恒过定点 ()A (0,4)B(0,2)C(2,4)D(4， 2)B 直线 l1：yk(x 4)恒过定点 (4,0)，其关于点 (2,1)对称的点为 (0,2)又由于直线 l 1：yk(x4)与直线 l 2 关于点 (2,1)对称，故直线 l2 恒过定点 (0,2)轴对称问题轴对称问题的解法(1)点关于线：点 A(a， b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点 A (m，n)，nb A 1，maB则有amb nA 2 B 2 C0.(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决(1)已知直线 y2x 是 ABC 中角 C 的平分线所在的直线，若点A，
15、B 的坐标分别是 ( 4,2)，(3,1)，则点 C 的坐标为 ()A (2,4)B(2， 4)C(2,4)D(2， 4)(2)已知入射光线经过点M( 3,4)，被直线 l ：xy30 反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_(1)C(2)6x y 6 0(1) 设 A( 4,2)关于直线y 2x 的对称点为 (x， y) ，则y 2 2 1，x 4y 2 x2 242，x4，BC 所在直线方程为 y 121，即 联立解得(x3)3xy 2，y10 0.4 33x y 100，x 2，解得则 C(2,4)y2x，y 4，(2)设点 M(3,4)关于直线 l：x y30 的
16、对称点为 M (a，b)，则反射光线所在直线过点 M，b41 1，a 3所以解得 a1，b0.即 M (1,0)3ab42 2 30，又反射光线经过点N(2,6)，y0x1所以所求直线的方程为，6021即 6xy60.在求对称点时， 关键是抓住两点： 一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分 ” ，由 “ 垂直 ” 列出一个方程，由“平分 ” 列出一个方程，联立求解1.若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点 (4,0)重合，点 (7,3)与点 (m，n)重合，则 mn_.34由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点 (4,0)连线的中垂线，即直线y2x
17、3，53 n 227 m3，2它也是点 (7,3)与点 (m， n)连线的中垂线，于是解得n3 1，m723m 5，31n 5 ，34故 mn 5 .2已知直线 l：2x3y10，点 A( 1， 2)求：(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 A 对称的直线 l的方程解 (1)设 A (x，y)，y 22333 1，x 13，334x 1.则解得即 A ，x1y241313y13，2 2 3 2 10，(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m上a
18、 2b 022 3 2 1 0，设对称点为 M(a， b) ，则b 02 1，a 236a 13，6 30解得30即 M 13，13 .b13，2x3y10，设 m 与 l 的交点为 N，则由得 N(4,3)3x2y60，又 m经过点 N(4,3)，由两点式得直线 m 的方程为 9x46y1020.(3)法一：在 l ：2x 3y10 上任取两点，如P(1,1)，N(4,3)，则 P，N 关于点 A的对称点 P， N 均在直线 l 上易知 P(3， 5)， N( 6， 7)，由两点式可得l 的方程为 2x3y 9 0.法二：设 Q(x，y)为 l上任意一点，则 Q(x，y)关于点 A(1， 2)的对称点为 Q( 2x， 4y)，Q在直线 l 上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y9 0.