2013年辽宁省高考文科数学试卷含答案.docx

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1、绝密 启用前2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第 I 卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .（ 1）已知集合 A1,2,3,4, Bx | x 2 , 则A I B（ A） 0（ B）0,1（C） 0,2（ D） 0,1,2（ 2）复数的 Z1 模为i1（ A） 1（ B）2（ C） 2（ D） 222uuur（ 3）已知点 A 1,3 , B 4, 1 ,则与向量 AB同方向的单位向量为（ A） 3， - 4（ B） 4， - 35555（ C）34（ D）435，5，55（

2、 4）下面是关于公差d 0 的等差数列an 的四个命题：p1 : 数列 an是递增数列；p2 : 数列 nan 是递增数列；p3 : 数列an是递增数列；p4 : 数列 an 3nd 是递增数列；n其中的真命题为（ A） p1, p2（ B） p3, p4（ C） p2 , p3（ D） p1, p4- 1 -（ 5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为 20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 .若低于 60 分的人数是15 人，则该班的学生人数是（ A） 45（ B） 50（ C） 55（ D） 60（ 6）在 ABC ，内 角 A,

3、 B, C 所对的边长分别为a, b, c. a sin B cosC c sin B cos A1 b,2且 a b,则 BABC 2D 56336（ 7）已知函数 f xln 1 9x23x1,.则flg 2 f lg12A 1B 0C 1D 2（ 8）执行如图所示的程序框图，若输入n8,则输出的 SA 4B 6C 8D 1097911（ 9）已知点 O 0,0 , A 0,b , B a, a3 .若 ABC 为直角三角形 ,则必有A b a3B b a31aC b a3b a310D b a3b a310aa- 2 -（ 10）已知三棱柱 ABC A1B1C1的 6个顶点都在球 O的球

4、面上若. AB 3， AC 4，ABAC , AA112，则球 O的半径为A 3 17B 2 10C 13D 3 1022（ 11）已知椭圆x2y21(ab0) 的左焦点为 F F ,C与过原点的直线相交于C :2b2aA, B两点，连接 AF , BF .若 AB10, B F8,cosABF4,则C的离心率为5（ A） 3（ B） 5（ C） 4（ D） 65757（ 12）已知函数fxx22 a2 xa2 , g xx22 a2 xa2 8. 设H1xmaxfx , g x, H 2xminf x , g x ,maxp, q表示 p, q 中的较大值， minp, q表示 p, q 中

5、的较小值，记H1x 得最小值为 A, H 2 x得最小值为 B ,则AB（ A） a22a 16（B） a22a 16（ C） 16（ D） 16第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 -第 22 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分 .（ 13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.- 3 -（ 14）已知等比数列 an 是递增数列 , Sn是 an 的前 n项和 . 若 a1， a3是方程x25x 40的两个根，则 S6.（ 15）已知F 为双曲线 C :x2y291的左

6、焦点， P, Q为 C上的点，若 PQ的长等于16虚轴长的 2倍，在线段 PQ上，则 PQF的周长为.点A 5,0（ 16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5 个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12 分）设向量 a3 sin x,sin x , bcos x,sinx, x0,.2（ I）若 a b .求x的值；（ II）设函数 f x agb, 求f x 的最大值 .18（本小题满分12 分）如图， AB是圆

7、O的直径， PA垂直圆 O所在的平面，C是圆 O上的点 .（ I）求证：BC平面 PAC；（ II）设 Q为 PA的中点， G为AOC的重心，求证：QG / / 平面 PBC .- 4 -19（本小题满分12 分）现有 6 道题，其中4 道甲类题， 2 道乙类题，张同学从中任取3 道题解答 .试求：（ I）所取的2 道题都是甲类题的概率；（ II）所取的2 道题不是同一类题的概率.20（本小题满分12 分）如图，抛物线 C : x24y, C : x22 py p 0 .点 M x , y0在抛物线 C上，1202过 M 作 C1 的切线，切点为 A, B M 为原点 O时， A, B重合于

8、O .当 x0 12时，切线 MA的斜率为 -1.2（ I） 求 P的值 ；（ II） 当 M 在 C2上运动时，求线段 AB中点 N的轨迹方程A, B重合于 O时,中点为 O .21（本小题满分12 分）（ I）证明：当 x0,1 时， 2 xsin x x;2（ II）若不等式 axx2x32 x2 cosx 4对 x0,1 恒成立，求实数 a的 取值范2围 .请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图， AB为 e O直径，直线 C

9、D与 e O相切于 E.AD垂直于 CD于 D，BC垂直于CD 于 C， EF 垂直于 F，连接 AE , BE.证明：（ I）FEBCEB;（ II） EF 2AD gBC .22（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程- 5 -在直角坐标系xoy 中以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ，直线 C2 的极坐标方程分别为4sin,cos22. .4（ I） 求 C1与 C2交点的极坐标；（ II） 设 P为 C1的圆心， Q为 C1与 C2交点连线的中点已.知直线PQ的参数方程为xt3at为参数,求的值yb t3Ra, b.1222（本小题满分10 分）选修4-

10、5：不等式选讲已知函数 f xx a , 其中 a1.（ I） 当a=2时，求不等式 fx4x4 的解集 ;（ II） 已知关于 x的不等式f2xa2 f x2的解集为 x |1 x 2 ,求 a的值 .2013 高考数学辽宁卷（文科）解析大连市红旗高级中学王金泽一选择题1. 答案 B 解析 由已知 B x |2x2 ，所以 AB0,1 ，选 B。2. 答案 B 解析 由已知 Z( 11i11 i, 所以 | Z |2i)(1 i)2223 答案 A1 uuuruuur(3,uuur5 ，这样同方向的单位向量是34 解析 AB4) ，所以 | AB |AB( ,)5554 答案 D 解析 设

11、ana1( n1)ddnm ，所以 P1 正确；如果 an3n 12则满足已知，但- 6 -nan3n212 n 并非递增所以P2 错；如果若 anan11n 1 ，则满足已知，但，是递nn减数列，所以P3 错； a n3nd4dnm ，所以是递增数列，P4 正确5 答案 B 解析 第一、第二小组的频率分别是0.1 、 0.2，所以低于60 分的频率是0.3 ，设班级人数为m，则15m 50。，0.36 答案 Am1，所以 sin B1 解析 边换角后约去 sin B ，得 sin( A C)，但 B 非最大角，所以22B 。67 答案 D 解析 f (x)ln(1 9x23x)1所以 f (

12、 x)f (x)2 ，因为 lg2 ，lg1 为相反数，所以所求值为 2.28 答案 A 解析 ss1的意义在于是对1求和。因为i 211 ( 11) ，同时注i 21i 2112 i 1 i 1意 i i 2，所以所求和为 1 (11)(11) L( 11) =4213357999 答案 C 解析 若 A 为直角，则根据A、B 纵坐标相等，所以ba30；若 B 为直角，则利用KOB K AB1得 ba310 ，所以选 C10 答案 Ca 解析 由球心作面 ABC的垂线，则垂足为BC中点 M。计算 AM=5 ，由垂径定理， OM=6，2所以半径 R= ( 5 ) 262132211 答案 B

13、解析 由余弦定理，AF=6，所以2a68 14，又2c10105，所以 e712 答案 C14 解析 f (x) 顶点坐标为 (a2,4a 4) ， g(x) 顶点坐标 (a2,4a12)，并且 f ( x) 与 g ( x) 的顶点都在对方的图象上，图象如图， A 、B 分别为两个二次函数顶- 7 -点的纵坐标，所以A-B= ( 4a4)(4a12)16 方法技巧 （ 1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（ 2）并不是 A，B 在同一个自变量取得。二填空题13 答案 1616解析 直观图是圆柱中去除正四棱柱。V22 422 4161614 答案 63解析 a1a35, a1 a34

14、由递增， a11,a34 ，所以 q2a34 ， q2 代入等比a1求和公式得 S66315 答案 44解析 | FP | PA |6,| FQ | QA |6, 两式相加，所以并利用双曲线的定义得| FP | FQ | 28 ，所以周长为 | FP | FQ | PQ | 4416 答案 10解析 设五个班级的数据分别为abcde。由平均数方差的公式得abcd e(a7)2(b7)2(c7)2(d7)2(e 7)24，显然各个括号为整数。57 ，5设 a7, b7, c7, d 7, e7分别为 p, q,r , s, t ， ( p, q, r , s,tZ ) ，则pq rst0L L

15、L L(1)。设 f ( x)( xp) 2(x q)2( x r )2( x s) 2 =p2q2r 2s2t 220L(2)4x22( pqrs)x( p 2q 2r 2s2 ) = 4x22tx20t2 ，由已知 f ( x)0 ，由判别式 V 0 得 t4 ，所以 t3 ，所以 e10。三解答题17 解题思路 （）（ 1）一般给出模的关系就可以考虑把模平方，进而可以把向量问题转化为三角函数问题求出4sin 2 x1（ 2）因为 x 0, ，根据象限符号知sin x0 求出12sin x。，所以 x2613 。（）通过降幂公式和二倍角公式可化简f ( x)sin(2 x)，最后解得最大值

16、为62218. 解题思路 （） 由 AB 为直径条件推出BCAC ，再结合 PA面 ABC即可证 BC 面PAC。（）由重心想到中点是关键，由面面平行推出线面平行是重要方法。19 解题思路 （）基本事件空间中有15 个基本事件，都是甲类的有6 个，所以可求得概率- 8 -2 （）不是同一类的有8 个基本事件，所以所求的概率是8 。51520 解题思路 （）（ 1）切线的斜率可通过求导求解。 （ 2）用点斜式建立切线方程（3）用方程的思想解决求值问题。 （）列 MA和 MB两个切线方程，利用解方程的方法求得M坐标再代入 C2 最后可得所求的轨迹方程21 解题思路 （）（ 1）不等式中间式子分别减

17、左，减右的式子记为F ( x) sin x2x ，2H ( x)sin xx ，（2）求导研究单调性（3）根据单调性分析在区间上的那个自变量能得到为零的最值。然后与这个最值比较即可证出不等式。（）解法一，利用上面证明的不等式代入化简，在进行分析; 解法二：利用二阶导数研究单调性，进而求出范围。22 解题思路 （） (1) 弦切角等于弦所对的圆周角(2) 直径所对是圆周角是直角得到互余关系从而找到角的相等关系（）利用全等相似导乘积式。23 解题思路 （）由已知极坐标化成直角坐标方程再解出直角坐标，然后再化极坐标（）参数方程化成普通方程，列PQ两种形式的直角坐标方程，再用待定系数法求解。24 解题思路 （）将已知不等式转化为f (x)| x4 |4 ，再分类讨论。 （）构造辅助函数 h(x)f (2 xa)2 f ( x) 用两种方法列出h( x) 的解集，然后进行比较即可得到答案。- 9 -