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1、第二章_计算机控制系统的数学基础,第2章 计算机控制系统的设计方法,计算机控制系统的基础知识 计算机控制系统的数学描述 计算机控制系统的模拟化设计方法 计算机控制系统的离散化设计方法,本章主要内容,第二章_计算机控制系统的数学基础,21 计算机控制系统的信号变换,一、 连续信号的采样,图1 采样过程,采样:用连续信号在离散时间瞬时值的序列 代替原来连续信号的过程,第二章_计算机控制系统的数学基础,在计算机控制系统中，采样信号 是一数字序列，可分解成一系列单脉冲之和。,式中， 为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值 为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值 ； ； 为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值,则：,只有在 时刻，才
2、有 ，而在的所有 时刻，都有 。,用 函数,第二章_计算机控制系统的数学基础,量化过程,图3 量化过程,所谓量化，就是采用一组数码（如二进制码）来逼近离散模拟信号的幅值，将其转换成数字信号。经量化使采样信号成为数字信号,该过程称为量化过程。,第二章_计算机控制系统的数学基础,为保证采样信号的频谱是连续信号的频谱无重叠的重复（沿频率轴方向），以便采样信号能反映连续信号的变化规律，采样频率 至少应是 的频谱 的最高频率 的两倍，即,采样定理奠定了选择采样频率的理论基础，但对于连续对象的离散控制，不易确定连续信号的最高频率。因此，采样定理给出了选择频率的准则，在实际应用中还要根据系统的实际情况综合考
3、虑。,采样定理,第二章_计算机控制系统的数学基础,二、采样信号的复现和采样保持器,保持器,保持器是一种基于时域外推原理、把采样信号转换成连续信号，实现采样点之间的插值的元件。,零阶保持器,。,零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值 一直保持到下一个采样时刻 ,从而把采样信号 变成了阶梯连续信号 。,图5 零阶保持器的功能,第二章_计算机控制系统的数学基础,22 计算机控制系统的数学描述,1 . Z变换,对上式取拉氏变换：,令：,则：,第二章_计算机控制系统的数学基础,零初始条件下，系统或环节的输出采样函数的z变换和输入采样函数的z变换之比。 为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚设一采
4、样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来获得输出信号的采样信号。,2. 脉冲传递函数,第二章_计算机控制系统的数学基础,如果已知 和 ，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为,第二章_计算机控制系统的数学基础,3. 差分方程,计算机控制系统的差分方程,图6 连续系统和离散系统,（a）连续系统 （b）离散系统,第二章_计算机控制系统的数学基础,脉冲传递函数与差分方程的相互转换,，,若已知n 阶离散系统的差分方程是,在零初始条件下，进行Z变换,得脉冲传递函数为,第二章_计算机控制系统的数学基础,2.3 S平面到Z平面之间的映射关系,s平面虚轴映射为z平面单位圆，左半平面映射在z平面单
5、位圆内,1.s平面与z平面映射关系：,第二章_计算机控制系统的数学基础,二、极点位置与时间响应的关系,1极点位于实轴,第二章_计算机控制系统的数学基础,2.复极点位置与系统响应之间关系,第二章_计算机控制系统的数学基础,Z平面极点位置的趋势,极点越接近原点，脉冲响应收敛速度越快 极点从右向左移动，脉冲响应振荡频率增加,已知离散系统的脉冲传递函数零、极点在平面中的分布情况，分析系统的动态响应特性,第二章_计算机控制系统的数学基础,24 计算机控制系统的模拟化设计方法,第二章_计算机控制系统的数学基础,一、连续域-离散化设计的步骤,第1步：设计模拟控制器D(s) 第2步：选择合适的采样周期T 第3
6、步：选择合适的离散化方法，将D(s)离散化，获得数字控制器D(z)，使两者性能尽量等效。 第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求，进行下一步；否则，重新进行设计。 改进设计的途径有： 选择更合适的离散化方法 提高采样频率 修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等 第5步：将D(z)变为差分方程，在计算机上编程实现。,第二章_计算机控制系统的数学基础,根据香农采样定理，系统采样频率的下限为 fs = 2fmax，此时系统可真实地恢复到原来的连续信号 。 从执行机构的特性要求来看，有时需要输出信号保持一定的宽度，采样周期必须大于这一时间。 从控制系统的随动和抗干扰的性能来看，要求采样周期短
7、些。 从微机的工作量和每个调节回路的计算来看，一般要求采样周期大些。 从计算机的精度看，过短的采样周期是不合适的。,二、采样周期的选择,第二章_计算机控制系统的数学基础,实际选择采样周期时，必须综合考虑： 采用周期要比对象的时间常数小得多，否则采样信号无法反映瞬变过程。 采用周期应远小于对象的扰动信号的周期。 考虑执行器的响应速度。 当系统纯滞后占主导地位时，应按纯滞后大小选取，尽可能使纯滞后时间接近或等于采用周期的整数倍。 考虑对象所要求的控制质量，精度越高，采样周期越短，以减小系统的纯滞后。,第二章_计算机控制系统的数学基础,常见被控量的经验采样周期,第二章_计算机控制系统的数学基础,三、
8、模拟控制器的离散化方法,最常用的表征控制器特性的主要指标： 零极点个数； 系统的频带； 稳态增益； 相位及增益裕度； 阶跃响应或脉冲响应形状； 频率响应特性。,等效离散,D(z),D(s),数值积分法 一阶向后差法 一阶向前差法 双线性变换法及修正双线性变换法 零极点匹配法 保持器等价法 z变换法(脉冲响应不变法),离散化方法,第二章_计算机控制系统的数学基础,s与z之间的变换关系,向后差分(矩形积分)法,1. 一阶向后差分法,第二章_计算机控制系统的数学基础,主要特性 s平面与z平面映射关系 当=0 （s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的圆周。 当 0（s右半平面），映射到z平面为
9、上述小圆的外部。 当 0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 变换前后，稳态增益不变。,向后差分法的映射关系,由于这种变换的映射关系畸变严重，变换精度较低。所以，工程应用受到限制，用得较少。,第二章_计算机控制系统的数学基础,s与z之间的变换关系,梯形积分法,2.双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法）,第二章_计算机控制系统的数学基础,主要特性 s平面与z平面映射关系 当=0（s平面虚轴)映射为z平面的单位圆周。 当 0（s右半平面），映射到z平面单位圆外 。 当 0（s左半平面），映射到z平面单位圆内 。 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定,
10、双线性变换映射关系,第二章_计算机控制系统的数学基础,频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变。 变换前后，稳态增益不变。,应用 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的特性，工程上应用较为普遍。 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。,第二章_计算机控制系统的数学基础,注意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零阶保持器。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相同，但要进行z变换，同样具有z变换法的一系列缺点，所以应用亦较少。,3.带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）,第二章_计算机
11、控制系统的数学基础,25 计算机控制系统的离散化设计方法,第二章_计算机控制系统的数学基础,计算机控制系统离散化设计的步骤（直接设计）,第1步：求系统广义脉冲传递函数，即对带有零阶保持器的被控对象传递函数进行变换。 第2步：根据对控制系统性能指标的要求和其他约束条件，构造系统的闭环脉冲传递函数。 第3步：求出数字控制器。 第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求，进行下一步；否则，重新进行设计。 改进设计的途径有： 选择更合适的离散化方法 提高采样频率 修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等 第5步：将D(z)变为差分方程，在计算机上编程实现。,此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢你的支持，我们会努力做得更好！,