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1、在直角坐标系背景下的几何问题第一部分 考点概述近几年动态几何已经成为江西中考的热点，但其一般都是在直角坐标系的背景下出现的。在中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。本节课主要复习坐标系中的几何问题，希望以此为出发点，攻克动态几何问题。第二部分 命题规律探寻在坐标系背景下的大题多为利用点的坐标运动结合线段的移动来提高难度。常要利用到
2、相似三角形知识，转化为相似比求线段的长，或求极值。总之，相似使用较多，而解直角三角形也常要用到，这两种计算技巧是解题的必备，需要重点训练，加深理解应用能力。第三部分 解题技巧【例1】已知：如图1，等边的边长为，一边在轴上且， 交轴于点，过点作交于点（1）直接写出点的坐标； （2）若直线将四边形的面积两等分，求的值； （3）如图2，过点的抛物线与轴交于点，为线段上的一个动点，过轴上一点作的垂线，垂足为，直线交轴于点，当点在线段上运动时，现给出两个结论： ，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻
3、，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C点纵坐标直接用tan60来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独
4、将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。【解析】解：（1）； （2）过点作于，交于点，取的中点是等边三角形， 在中，交于， （就是四边形对角线的中点，横坐标自然和C一样，纵坐标就是E的纵坐标的一半）直线将四边形的面积两等分直线必过点， （3）正确结论：证明：可求得过的抛物线解析式为 由题意又，过点作于由题意可知即： （这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图）【例2】如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与正半轴交于点A,与轴交于点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC现有两动点P、Q分别从O、C两点
5、同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0t时,PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t _时,PQF为等腰三角形?【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行，所以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。本题一样一步步拆开来做
6、，第一问送分，给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于X轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。第二问就在于当四边形PQCA为平行四边形的时候题中已知条件有何关系。在运动中，QC和PA始终是平行的，根据平行四边形的判定性质，只要QC=PA时候即可。第三问求PQF是否为定值，因为三角形的一条高就是Q到X轴的距离，而运动中这个距离是固定的，所以只需看PF是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF，得解。第四问因为已经知道PF为一个定值，所以只需PQ=PF=18即可，P点（4t,0）Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可.本道题是09年黄冈原题
7、,第四问原本是作为解答题来出的本来是3分,但是本题作为1分的填空,考生只要大概猜出应该是FP=FQ就可以。实际考试中如果碰到这么麻烦的,如果没时间的话个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了.【解析】解：(1) ，令得，或； 在中，令得即； 由于BCOA，故点C的纵坐标为10，由得或即 于是，（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QCPA.故只要QC=PA即可 得 （3）设点P运动秒，则，说明P在线段OA上，且不与点O、A重合，由于QCOP知QDCPDO，故 又点Q到直线PF的距离PQF的面积总为90 （4）由上知，。构造直角三角形后易得，若FP=PQ
8、，即，故， 若QP=QF，即，无的满足条件；若PQ=PF，即，得，或都不满足，故无的满足方程； 综上所述：当时，PQR是等腰三角形。 【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：交轴、轴于、两点，点是线段上一动点，点是线段的三等分点（1）求点的坐标；（2）连接，将绕点旋转，得到当时，连结、，若过原点的直线将四边形分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；过点作轴于，当点的坐标为何值时，由点、构成的四边形为梯形？ 【思路分析】本题计算方面不是很繁琐，但是对图形的构造能力提出了要求，也是一道比较典型的动点移动导致特殊图形出现的题目。第一问自不必说，第二问第一小问和前面例题是一样的，也是要把握过
9、四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理。求出交点就意味着知道了直线.第二小问较为麻烦,因为C点有两种可能,H在C点的左右又是两种可能,所以需要分类讨论去求解.只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了.【解析】（1）根据题意：， 是线段的三等分点或（2）如图，过点作轴于点， 则 点在直线上 是由绕点旋转得到的 无论是、点，四边形是平行四边形且为对称中心所求的直线必过点直线的解析式为: 当时，第一种情况：在点左侧若四边形是梯形与不平行 此时 第二种情况：在点右侧若四边形是梯形与不平行 是线段的中点 是线段的中点 由，点的横坐标为 当时，同理可得第一种情况：在点左侧时，- 第二种情况：在点
10、右侧时，- 综上所述，所求M点的坐标为：，或【总结】 通过以上三道例题，我们发现这类问题虽然看起来十分复杂，但是只要一问一问研究慢慢分析，总能拿到不错的分数。将几何图形添进坐标系大多情况下是和抛物线有关，所以首先需要同学们对抛物线的各种性质熟练掌握，尤其是借助抛物线的对称性，有的时候解题会十分方便。无论题目中的图形是三角形，梯形以及平行四边形或者圆，只要认清各种图形的一般性质如何在题中体现就可以了。例如等腰/边三角形大多和相似以及线段长度有关，梯形要抓住平行，平行四边形要看平行且相等，圆形就要看半径和题目中的条件有何关系。还需要掌握平分三角形/四边形/圆形面积的直线分别都一定过哪些点。总之，再
11、难的问题都是由一个个小问题组成的，就算最后一两问没有时间思考拿不了全分，至少要将前面容易的分数拿到手，这部分分数其实还不少。第四部分 巩固训练【思考1】 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，延长AC到点D,使CD=,过点D作DEAB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到
12、达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）【思考2】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出的取值范围.【思考3】抛物线与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6.（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得SPAM=3SACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.