张量分析中文翻译.docx

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1、e1,e2,e3 方向正方体表面上的应力（单位面积上的力） 。张量翻译张量张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩）表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例如，线性映射可以用二位阵列 - 矩阵来表示，因此该阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示，所以其是一阶张量。 标量是单一数值， 它是 0 阶张量。张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例如，柯西应力张量 T 以 v 方向为起点，在垂直于 v 终柯西应力张量是一个二阶张点方向产生应力张量 T(

2、v)，因此，张量表示了这两个量。该张量的元素在三维笛向量之间的关系，如右图所示。卡尔坐标系下组成如下矩因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必阵：须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标T( e 1 )T( e 2 )T( e 3 )系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可111213=以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以212223313233“协变”（变化规律）的形式独立， “协变”把一种该矩阵的各列表示作用在坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其精确形式决定了张量的类型或者是值。张量在物理学中十分重要， 因为在弹性力学、

3、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。 张量的概念首先由列维 - 奇维塔和格莱格里奥 - 库尔巴斯特罗提出， 他们延续了黎曼、 布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。 张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。历史现今张量分析的概念源于卡尔 ?弗里德里希 ?高斯在微分几何的工作， 概念的制定更受到 19 世纪中叶代数形式和不变量理论的发展 2 。“ tensor”这个单词在 1846 年被威廉罗恩哈密顿 3 提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 注 1 当代的用法是在1898 年沃尔德马尔福格特提出的4 。“张量

4、计算”这一概念由格雷戈里奥里奇库尔巴斯特罗在1890 年绝对微分几何中发展而来，最初由里奇在 1892 年提出 5 。随着里奇和列维 - 奇维塔 1900 年的经典著作 Mthodes de calcul diff rentiel absolu et leurs applications （绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知6 。在 20 世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915 年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔 格罗斯曼学习过张量方法， 并学得很艰苦。 7 1915 年到 1917 年之间，

5、列维 奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下， 对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。“我很佩服你的计算方法的风采， 它必将使你在数学大道上策马奔腾， 然而我们却只能步履蹒跚。 ”阿尔伯特爱因斯坦，意大利相对论数学家 8 。1张量翻译在其他领域中，张量同样被认为是一种很实用的数学方法， 如连续介质力学。在微分几何中有一些著名的例子是用二次型表示的，如度量张量和黎曼曲率张量。十九世纪中叶赫尔曼 格拉斯曼的外代数本身就是一个张量理论， 具有很强的几何特性，但此前很长一段时间，人们很自然地认为微分形式包含张量理论。卡尔丹埃利的工作指出微分形式只是张量在数学运算中的一种基本形式。大约从 20 世纪

6、 20 年代起，人们认识到，张量发挥（在 Knneth 定理为例）在代数拓扑中的基础性作用。 需要的引证 相应地有型张量的工作在抽象代数的许多分支，特别是在同调代数和表示论。 多线性代数可以开发更大的通用性比标量从外地来的，但理论是那么肯定少了几何，和计算更多的技术和算法少 ( 澄清需要 ) 张量是由 monoidal 概念的手段范畴理论中广义类别，从 20 世纪 60 年代。定义有几种方法来 定义张量。虽然看似不同， 但各种方法只是使用不同的语言在不同的抽象层次来描述相 同的几何概念。多维数组如同一个标量是由一个单一的数字来表述， 一个给定基准的矢量是由一维数组表述的，相应地，一个基准下的任

7、意张量都由多维数组表述。 数组中的数字是张量中的标量部分或者其本身。 他们是由上标， 下标以及张量名称的后缀所表示位置的指数来表示的。 每个部分的指数总和必须等于数组的维数， 并称之为张量的行数或秩 注 2 例如，一个 2 阶张量 T 的条目将被记 Tij ，其中 i 和 j 是从 1 到相关的向量空间的维数指标 注 3 。当改变向量空间进行基变换时， 向量的元素也会随之改变。 与此相似，在类似的变换下， 张量的阶数也将改变。 每一个张量都有相应的变换法则， 通过变换法则可以得知张量的元素如何反映张量的基变换。 一个向量的元素可以通过两种不同的方法来反映基变换（见协方差矢量和逆变矢量），其中新

8、的基矢量按照如下公式由旧的基矢量变换得到，其中 Ri j 是一个矩阵，在第二个表达式中求和符号被取消（爱因斯坦引入的方便的记数方法将在这篇文章中使用） 。行向量（或列向量） v 中的元素 vi 通过矩阵 R 的逆矩阵变换，这里的指数表示在新的基础上的组件。而组件covector（或行向量），W 与矩阵R 本身变换。w R ij w j张量元素的变换和矩阵各元素的变换相似。 如果向量的指数变换是基变换的逆变换，这种情况成为逆变， 这里通常指的是上标指数， 而指数只随着基变换的情形称为协变，这里的指数是下标指数。逆变指数为 m 的 n 阶张量与 m-n 协变2张量翻译指数之间的变换规律如下：i 1

9、 ,i ni1i nj n 1j mj1 , j nT i n 111RiRiT j, ,i m = （ R）j（ R ）jnn 1mn 1, jm1这样的张量称为阶或类型为（ n,m-n）型的张量 4 . 这样的讨论产生了张量的一般定义。定义：（n,m-n）型的张量是多线性映射的分配，即：对于基 f=(e1,.,eN )是如此，如果应用如下基变换多维阵列变成“协变”规律形式Ti1 , ,in1 i11 injn 1jmj1, , jnf f,R=（R ）（R ） RR Tjn 1, , jmin 1, ,imj1j nin 1im多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作

10、。如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。张量场在许多实际应用当中， 特别是微分几何和物理领域， 通常把张量的元素考虑3张量翻译成为函数形式。事实上，这只是 Ricci 早期的工作。在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。本文当中的 “协变” 规律的定义采用一种不同的形式， 张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且， “协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示，定义如下坐标变换多线性映射有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的， 从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看， 这种定义方法并不明显。 尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作

11、用， 但有时还是首选张量更本质的定义。 一种方法是张量定义成多线性映射。这种方法中（ n,m）类型的张量被定义成一种映射。T : V4 2VVVR,14 31 4 243n copiesm copies式中 V 表示向量空间， V* 表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。*1通过把多线性映射 （ n,m）型的张量T 应用到 V 的基 e1和V的基共轭基 中，即：Ti1inT( i1,in ,e ,e)j 1jmj 1jm就可以得到 n+m维阵列。选择不同的基底会产生不同的元素组成。但是，由于 T 的所有变元都是线性的，所以在多线性阵列定义中， T 的元素都满足“协变”规律。根据

12、这种定义， T 的多线性阵列元素就组成了一个张量。更重要的是，这样的阵列可以用多线性映射 T 的一些元素表示。使用张量积在有些数学应用中， 更抽象的方法有时候更适用。 这种更抽象的方法可以通过定义矢量空间张量积的元素来实现， 反过来，向量空间的泛性质也就被定义了。4张量翻译（ n,m）型的张量就可以用矢量空间张量积的形式定义了，即：TV4 2VV44 2V14 314 43n copiesm copies如果 V1 是V的基，1是W的基，那么张量积 VW 自然就有了基底WViW j。张量 T 的元素是张量关于 V 的基 e 1 和共轭基1的系数，即： TT i1 ineej1j mj1jmi1

13、in在使用张量积的特性中我们可以看到，这些元素满足（ n,m）型张量“协变”规律。另外，张量积的泛性质使得这种定义下的张量和多线性映射定义的张量呈现一对一的对应关系。运算张量可以进行多项基本运算， 这些运算也可以产生张量。 张量的线性特性表明两个同类型的张量可以相加， 张量也可以与标量相乘， 其结果与矢量的标量化类似。这些运算作用在张量元素上时， 结果也只反应在元素上。 这些运算并不改变张量的类型，当然，也存在可以改变张量类型的运算。升阶或降阶当矢量空间可以进行内积（或者是本文提到的矩阵） ，张量的运算定义为把高阶逆变指标转换成低阶的协变指标， 反之亦然。这种度量本身就是对称的 （0,2 ）-

14、 张量，因此可以合并张量的高阶指标和度量的低阶指标。和之前一样，这样就生成了一个新的张量，低阶指标取代了高阶指标。这种运算就是降阶运算。反过来，可以定义度量该运算的矩阵，该矩阵起到（ 2,0 ）张量的作用。这种反度量可以把低阶指标转化成高阶指标。应用连续介质力学连续介质力学提供了很重要的例子。固体或流体力学中的应力用张量来表示。应力张量和应变张量都是二阶张量，二者通过线性弹性材料中的四阶弹性张量联系起来。详细一点来讲，固体力学中的三维应力张量中的元素都是 33 阵列。固体中取有限体积元素， 其中的三个面都受到给定力的作用。 力矢量的元素都含有三个数。因此，可以用 3 3 或是 9 个元素来描述

15、正方体有限体积元受到的应力。固体边界内受到的是整个的应力（值不同） ，每一个应力需要 9 个量来描述。所以，使用二阶张量就显得很有必要了。如果材料内部有一个特殊表面单列出来， 材料的一个面就会在另一个面上施加一个力。一般情况下， 这个力不会正交于表面， 但是会取决于这个面在线性方法中的方位。在线性弹性力学中，这个力用 (2,0)型张量表示，或者用更加精确的(2,0)型张量场表示，因为节点与节点之间的应力会不同。物理中的其他例子常规应用包括?电磁学当中的电磁场张量（法拉第张量）5张量翻译?描述变形的有限变形张量和描述连续介质应变的应变张量?各向异性介质中的电容率和磁化率?用来描述动量流率的广义相

16、对四阶张量?球面坐标中的球面张量算子是量子论动量算子的本征函数?扩散张量成像技术中的扩散张量代表了生物环境的扩散率?量子力学和量子计算中使用张量积来凝聚量子态二阶以上张量的应用二阶张量的概念通常和一个矩阵合并起来。 高阶张量随着自身的发展的确能够提取在科学和工程上的重要的构想，而且在很多领域已经被成功的展现出来。例如，在计算机视觉领域的三焦张量归纳基础矩阵方面已经有所展现。非线性光学领域研究了在极电场条件下材料极化的转变。极波的产生主要与在非线性磁化率张量条件下电场的产生有关。如果 P 极化与 E 电场不是直线对称，该媒介被称为非线性。对于好的相似（在充分弱电场条件下，假定不存在永久偶极子），

17、P 极化由泰勒级数在 E 电场条件下给定，该 E 电场系数是非线性磁化率：公式中 是线性磁化率， 代表波克尔斯效应和二次谐波振动， 代表克尔效应。该扩展展示出了高阶张量在主题上的出现的方式。概括无限维下的张量在无限维条件下， 张量的概念可以通过多种方式概括出来。 例如，一种是通过希尔伯特空间的张量积。 另外一种张量总结的方式， 在非线性分析中常见， 是通过多线性管理系统定义在这里代替使用有限维矢量空间和它们代数双数， 一种用于无限维巴拿赫空间和它们连续的双数。张量因此依靠巴拿赫组。张量密度张量场也可能有自己的“密度” 。密度为 r 的普通张量随坐标变换而变换，除非它是随 r 次方雅克比行列式倍

18、增。 不变地，在多重线性代数中， 可以把张量密度认为是多线性映射，其值取密度束，例如，n 形态（空间维度为n）的一维空间取值与 R 中相反。在该空间里，高“权重”的值采用额外的张量积。矢量束表示法中，切丛的行列式束是把线性束捻度 r 次。一般地，用更普遍情形的变换规律来标记这些张量， 因此这就出现了全球性的问题， 即在这种规律下，你可以写出雅克比行列式或是它的绝对值。 密度变换函数的非整数项就会有必要，这种情况下密度的权重对整数的值并无严格要求。在定向流形方面， 有可能要限制坐标随雅克比行列式的变化， 因为估算判据有一致的方法；但是密度的线性束和 n 形态的线性束是不同的。 从内在的本质讲，只把密度看在流形上。6张量翻译旋量正交坐标系中，运用旋度时，张量变形有特点的方式。然而，旋度群中有一种并没有通过张量变换规律表现相互来的额外结构： 观察定位方向和面。数学上，旋度群不是简单的联系在一起。 事实上，旋量是数学对象， 它起到推广张量变换规律的作用。爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定免去了累加符号的书写，含蓄的表达了加号。任何重复的指标符号都被概括起来。如果指标 i 在一个张量表达式里面出来了两次，这意味着这个术语是为了所有的 i 的累加。一些显示的指标可以通过这种方式累加。7