《人教版高二数学上册各章节知识点.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高二数学上册各章节知识点.docx（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、不等式单元知识总结一、不等式的性质1两个实数a 与 b 之间的大小关系(1)a 0 ；bab(2)a b = 0a = b；(3)a 0 baba1 ；(4)a bb若 、b R，则a= 1；a(5)a = bba1 (6)a bb2不等式的性质(1)a bb a(对称性 )a ba c(传递性 )(2)b c(3)a ba c b c( 加法单调性 )a bac bcc 0(4) ( 乘法单调性 )a bc 0ac bc(5)a bca c b( 移项法则 )a b(6) c d a c b d( 同向不等式可加 ) a b(7) da c b d( 异向不等式可减 )ca b 0(8)ac
2、 bd(同向正数不等式可乘)c d 0a b 0a b (异向正数不等式可除 )(9)0 c dc da b 0(10)an b n (正数不等式可乘方 )nN 0abn n正数不等式可开方(11)Nab()n11)(12)a b 0(正数不等式两边取倒数ab3绝对值不等式的性质a(a 0) ，(1)|a| a； |a|=(a 0) a(2) 如果 a 0，那么|x| ax 2 a2 a x a；|x| ax 2 a2x a或 x a(3)|a b| |a| |b|a|a|(4)| b | |b|(b 0) (5)|a| |b| |a b| |a| |b| (6)|a1 a2an| |a 1|
3、 |a 2| |a n| 二、不等式的证明1不等式证明的依据(1) 实数的性质： a、 b同号ab 0； a、 b异号ab 0 ； ； ab0abab0abab = 0a = b(2) 不等式的性质 ( 略 )(3) 重要不等式：|a| 0； a2 0； (a b) 2 0(a 、 b R) a2b22ab(a 、b R，当且仅当 a=b 时取“ =”号 )ab ab(a 、 bR ，当且仅当a = b时取“= ”号)22不等式的证明方法(1) 比较法：要证明a b(a b) ，只要证明ab 0(a b 0) ，这种证明不等式的方法叫做比较法用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判断符号(2)
4、综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法(3) 分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等三、解不等式1解不等式问题的分类(1) 解一元一次不等式(2) 解一元二次不等式(3) 可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带绝对值的不等式；解不等式组2解不等式时应特别注意下列几点：(1) 正确
5、应用不等式的基本性质(2) 正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性(3) 注意代数式中未知数的取值范围3不等式的同解性(1)f(x) g(x) 0与f(x) 0f(x) 0或同解g(x) 0g(x) 0(2)f(x) g(x) 0与f(x) 0f(x) 0或同解g(x) 0g(x) 0(3)f(x)f(x) 0f(x) 0g(x) 0与或同解 (g(x) 0)g(x) 0g(x) 0(4)f(x)f(x) 0f(x) 0g(x) 0与或同解 (g(x) 0)g(x) 0g(x) 0(5)|f(x)| g(x) 与 g(x) f(x) g(x)同解 (g(x) 0)(6)|f(x)| g(
6、x) 与 f(x) g(x) 或 f(x) g(x)( 其中 g(x) 0) 同解； 与 g(x) 0 同解f(x) g(x) 2f(x) 0(7)f(x) g(x) 与f(x) 0或同解g(x) 0g(x) 0(8)f(x) g(x) 与f(x) g(x) 2f(x) 0同解(9)当 a1 时， af(x) ag(x)与 f(x) g(x)同解，当0 a 1 时， af(x) ag(x) 与 f(x) g(x) 同解(10) 当 a 1时， log af(x) log a g(x) 与f(x) g(x)同解f(x) 0f(x) g(x)当 0a 1时， log a f(x) log a g(
7、x)与f(x) 0 同解g(x)0单元知识总结一、坐标法1点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x ，y) 建立了一一对应的关系2两点间的距离公式设两点的坐标为P1(x 1， y1) ，P2(x 2， y2) ，则两点间的距离|P1 P2 |= ( x 2 x 1 )2( y2 y1 ) 2特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：(1) 当 x1=x2 时 ( 两点在y 轴上或两点连线平行于y 轴 ) ，则|P 1P2|=|y 2y1|(2) 当 y1=y2 时 ( 两点在 x 轴上或两点连线平行于x 轴 ) ，则|P 1P2|=|x 2x1|3线段的定比分点(
8、1) 定义：设 P点把有向线段 P1 P2 分成 P1 P和 PP2 两部分，那么有向线段 P1 P和 PP2 的数量的比，就是 P点分 P1 P2 所成的比，通常用表示，P1P即 =，点 P叫做分线段 P1 P2 为定比的定比分点当 P点内分 P1 P2 时， 0；当 P点外分 P1 P2 时， 0(2) 公式：分 P1(x 1，y2) 和 P2(x 2，y2 ) 连线所成的比为的分点坐标是x1 x 2x1y1( 1) y 2y1特殊情况，当 P是 P1 P2 的中点时，= 1，得线段 P1P2 的中点坐标公式x1x 2x2y1y 2y2二、直线1直线的倾斜角和斜率(1) 当直线和 x 轴相
9、交时，把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角当直线和x 轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0所以直线的倾斜角0 ， ) (2) 倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用 k表示，即 k = tan () 2当 k 0 时， =arctank ( 锐角 )当 k0 时， = arctank ( 钝角 )(3) 斜率公式：经过两点 P1(x 1， y1) 、 P2(x 2， y2) 的直线的斜率为k = y 2y1 (x 1 x 2 )x 2x12直线的方程(1)点斜式已知直线过点 (x 0， y0) ，斜率为 k，则
10、其方程为： yy0 =k(x x0)(2)斜截式已知直线在 y 轴上的截距为b，斜率为 k，则其方程为： y=kx b(3)两点式已知直线过两点 (x ，y) 和 (x ， y ) ，则其方程为：1122yy 1 =x x1 (x 1 x 2 )y 2y1x 2x1(4) 截距式已知直线在 x， y 轴上截距分别为a、 b，则其方程为：xya1b(5) 参数式已知直线过点P(x 0， y0) ，它的一个方向向量是(a ， b) ，xx 0at则其参数式方程为y 0(t为参数 )，特别地，当方向向量为ybtv(cos ， sin )( 为倾斜角 ) 时，则其参数式方程为xx 0t cos(t为参
11、数 )yy 0t sin 这时， t的几何意义是 tv = p 0p ， |t|=|p 0 p|=|p0 p|(6) 一般式 Ax By C=0 (A 、B 不同时为 0) (7) 特殊的直线方程垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a，y 轴的方程是x=0垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b，x 轴的方程是y=03两条直线的位置关系(1) 平行：当直线l 1 和 l 2 有斜截式方程时，k1=k2 且 b1 b2当 l1 和 l2 是一般式方程时，A 1B1 C1A 2B 2C 2(2) 重合：当 l 1 和 l 2 有斜截式方程时，k1=k 2 且 b1=b2，当 l 1 和 l
12、2 是A 1B1C 1一般方程时，B 2C 2A 2(3) 相交：当 l 1，l 2 是斜截式方程时， k1 k2当 l1 ， l2 是一般式方程时，A 2 B1A 2B 2A 1 xB1 yC10交点：B 2 yC 2的解A 2 x0k 2k 1斜 到角： l1到 l2 的角 tan (1k 1k 2 0)交1k 1 k 2| k 2k 1夹角公式： l 1和 l 2 夹角 tan |(1 k 1 k 2 0)1k1 k 2当 l 1和 l2 有叙截式方程时，k 1k 2 = 1垂直A 1A 2 B1 B2 = 0当 l 1和 l2 是一般式方程时，4点 P(x 0， y0) 与直线 l ：
13、 Ax By C=0的位置关系：Ax 0 By 0 C = 0P在直线 l上 (点的坐标满足直线方程 )Ax 0 By 0 C 0P在直线 l外点 P(x 0 ， y0 )到直线 l 的距离为： d = |Ax 0 + By 0 + C|A 2B25两条平行直线 l 1 AxBy C1=0，l 2 Ax By C2=0 间的距离为： d = |C1C 2 | A 2B 26直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x， y 以外，还含有特定的系数( 也称参变量 ) 确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直
14、线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量(1) 共点直线系方程：经过两直线l 1A1x B1y C1=0， l 2 A2x B2y C2=0 的交点的直线系方程为：A1xB1y C1 (A 2x B2y C2)=0 ，其中是待定的系数在这个方程中， 无论取什么实数，都得不到A2x B2y C2=0，因此它不表示l 2当 =0 时，即得A1x B1y C1=0，此时表示l 1(2) 平行直线系方程：直线 y=kx b 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线Ax By C=0平行的直线系方程是Ax By =0( C)，是参变量(3) 垂直直线系方程：与直线Ax By C
15、=0(A 0， B 0) 垂直的直线系方程是：Bx Ay =0如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解7简单的线性规划(1) 二元一次不等式Ax By C 0( 或 0) 表示直线AxBy C=0 某一侧所有点组成的平面区域二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分(2) 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题，例如， z=ax by，其中 x， y 满足下列条件：A 1 xB1 y C1 0(或 0)A 2 x B 2 yC2 0( 或 0)(*
16、)A n x B n xCn 0(或 0)求 z 的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*) 是一组对变量x、y的线性约束条件，z=ax by叫做线性目标函数满足线性约束条件的解(x ，y) 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解三、曲线和方程1定义在选定的直角坐标系下，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)=0 的实数解建立了如下关系：(1) 曲线 C上的点的坐标都是方程 f(x ， y)=0 的解 ( 一点不杂 ) ；(2) 以方程f(x， y)=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点 ( 一点不漏) 这时称方程f(
17、x， y)=0为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x， y)=0的曲线 ( 图形 ) 设 P= 具有某种性质( 或适合某种条件) 的点 ， Q=(x ， y)|f(x， y)=0，若设点M的坐标为 (x 0， y0) ，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：(1)M P(x 0 ， y 0 ) Q，即 PQ；(2)(x 0， y 0 ) QM P，即 QP以上两条还可以转化为它们的等价命题( 逆否命题 ) ：(1)(x 0， y 0 )QMP；(2)MP(x 0 ， y 0 )Q显然，当且仅当 PQ且 Q P，即 P = Q时，才能称方程 f(x ， y) = 0为曲线 C 的方程；曲线
18、C为方程 f(x ， y)=0 的曲线 ( 图形 ) 2曲线方程的两个基本问题(1) 由曲线 ( 图形 ) 求方程的步骤：建系， 设点：建立适当的坐标系， 用变数对 (x ，y) 表示曲线上任意一点立式：写出适合条件 p 的点 M的集合 p=M|p(M) ；代换：用坐标表示条件 p(M) ，列出方程 f(x ， y)=0 ；M的坐标；化简：化方程f(x ， y)=0 为最简形式；证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点上述方法简称“五步法” ，在步骤中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程(2) 由方程画曲线
19、 ( 图形 ) 的步骤：讨论曲线的对称性 ( 关于 x 轴、 y 轴和原点 ) ；求截距：方程组f (x，y)0的解是曲线与x轴交点的坐标；y0f (x，y)0方程组的解是曲线与 y轴交点的坐标；x0讨论曲线的范围；列表、描点、画线3交点求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组4曲线系方程过两曲线f 1(x ，y)=0 和 f 2(x ，y)=0 的交点的曲线系方程是f 1(x ，y) f 2(x ，y)=0( R)四、圆1圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合( 轨迹 ) 叫圆2圆的方程(1) 标准方程 (x a) 2 (y b) 2=r 2 (a ，b) 为圆心， r 为半径特
20、别地：当圆心为(0 ， 0) 时，方程为x2 y2=r 2(2) 一般方程x2y2 Dx Ey F=0配方 (xD )2(yE ) 2 D 2E 24F224当 D 2 E 2 4F 0时，方程表示以( D ， E ) 为圆心，以221D 2E 24F为半径的圆；2当 D 2 E 2 4F = 0时，方程表示点( D ， E )22当 D2E2 4F 0 时，方程无实数解，无轨迹(3)参数方程 以 (a ， b) 为圆心，以 r为半径的圆的参数方程为xar cos( 为参数 )ybr sin 特别地，以 (0 ，0) 为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为xr cos( 为参数 )yr sin
21、3点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆的半径为r (1) 点在圆外d r；(2) 点在圆上d = r；(3) 点在圆内d r4直线与圆的位置关系设直线 l ： AxBy C=0和圆222，则C： (x a) (y b) =rd|Aa BbC| A 2B2(1) 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，0或 d r；(2) 相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，= 0或 d = r；(3) 相离直线与圆的方程组成的方程组无解，0或d r5求圆的切线方法(1) 已知圆 x2 y2Dx EyF=0若已知切点 (x 0， y0) 在圆上，则切线只有一条，其方程是x 0 xy 0 yD ( x x
22、0 ) E(y y 0 )F022y D( x 0xy0y当 (x， y) 在圆外时， xx y表示0000)E()F = 022过两个切点的切点弦方程若已知切线过圆外一点(x 0，y0) ，则设切线方程为y y0=k(x x0) ，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线若已知切线斜率为 k，则设切线方程为y=kx b，再利用相切条件求b，这时必有两条切线(2) 已知圆 x2 y2=r 2若已知切点000) 在圆上，则该圆过0点的切线方程为002P (x， yPx x yy=r已知圆的切线的斜率为k，圆的切线方程为 y = kx rk 216圆与圆的位置关系已知
23、两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r 1、 r 2，则(1) 两圆外切|O1O 2|= r1 r2 ；(2) 两圆内切|O1O 2|=|r 1 r2 |；(3) 两圆相交|r1 r2 | |O 1O 2 | r1 r2 单元知识总结一、圆锥曲线1椭圆(1) 定义定义 1：平面内一个动点到两个定点F1、F2 的距离之和等于常数( 大于 |F 1F2|) ，这个动点的轨迹叫椭圆( 这两个定点叫焦点) 定义 2：点 M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e c (0 e 1) 时，这个点的轨迹是椭圆 a(2) 图形和标准方程图 81的标准方程为：x 2y 2 1(a b 0)a2b2
24、图 8 2的标准方程为：x 2y 2 1(a b 0)b2a2(3) 几何性质条件M|MF 1 |+|MF 2|=2a ， 2a |F1 F2 |MF 1|MF2 |M| 点M 到 l 1 的距离=， 点 M 到l 2 的距离 = e 0e 1标准方程x 2y 21(a b 0)x2y 21( ab 0)a2b 2b 2a 2顶点A1( a ， 0) ， A2 (a ， 0)A1(0 ， a)， A2 (0 ， a)B1(0 ， b) ， B2(0 ， b)B1( b ， 0)， B2(b ， 0)轴对称轴： x 轴， y 轴长轴长 |A1A2|=2a ，短轴长 |B1B2 |=2b焦点F1(
25、 c ， 0) ， F2 (c ， 0)F1(0 ， c)， F2 (0 ， c)焦距|F1F2|=2c(c 0)， c2 =a2 b2离心率准线方程焦点半径点和椭圆的关系切线方程切点弦方程弦长公式e c (0e1)aa2； l 2 ：x a2a 2；l2 ： y a2l 1：xl1 ： ycccc|MF 1 | a ex0，|MF 1| a ey0，|MF 2 | a ex0|MF 2| a ey0外x02y 021(x 0 ,y 0 ) 在椭圆上a2b 2内(k 为切线斜率 )，(k 为切线斜率 )，y kx a2 k 2b 2ykx b 2 k 2a2x 0 xy 0 yx 0 xy 0
26、 y1a221b2a2b(x 0 ， y0) 为切点(x0 ， y0) 为切点(x0 ， y0) 在椭圆外(x0， y0) 在椭圆外x02x y 02y 1x 02x y 02y 1abba|x 2 x 1 | 1 + k 2 或 |y 1 y 2| 1+ 1k 2其中 (x1 ， y1 )，(x2 ， y2 )为割弦端点坐标，k 为割弦所在直线的斜率2双曲线(1) 定义定义 1：平面内与两个定点F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数( 小于 |F 1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线( 这两个定点叫双曲线的焦点) 定义 2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数个动点的轨迹是双曲线(
27、 这定点叫做双曲线的焦点) (2) 图形和标准方程e(e 1) 时，这图 83 的标准方程为：x2 y222 1(a 0， b 0)ab图 84 的标准方程为：y2 x222 1(a 0， b 0)ab(3) 几何性质条件标准方程顶点轴焦点焦距P M|MF 1 |MF 2 | 2a， a 0 ， 2a|F1 F2 | |MF1 |MF2| ， PM| 点 M 到l 1的距离点M到 l 2 的距离e e 1x 2 y2 1(a 0， b 0)y 2 x 2 1(a 0， b 0)a2b2a2b 2A1( a ， 0)， A2 (a ， 0)A1 (0 ， a)， A2(0 ， a)对称轴： x
28、轴， y 轴，实轴长 |A1 A2 | 2a，虚轴长 |B1B2| 2bF1( c ， 0)， F2 (c ， 0)F1 (0 ， c) ， F2(0 ， c)|F1F2 | 2c(c 0)， c2 a2 b2离心率准线方程渐近线方程共渐近线的双曲线系方程焦点半径切线方程ce(e1)l1 ： x a2； l2 ： x a2ccy b x( 或 x 2 y 2 0)aa2b 2x 2 y 2 k(k 0)a2b 2|MF 1| ex0 a ，|MF 2| ex022ab2y kx a k(k 为切线斜率 )k b 或k bxx ayya00 1a 2b 2(x0 ， y0 )为切点l1 ： y a 2； l2 ： y a2ccy a x( 或 y 2 x 2 0)ba 2b 2y 2 x 2 k(k 0)a2b 2|MF1| ey0 a ， a2|MF2| ey0 2k2ay kx b(k 为切线斜率 )k a 或k ayy bxxb001a2b 2(x0 ， y0)为切点xya2 的切线方程： x 0 yy0 x a2 (x 0 ， y0 )为切点2(x 0 ， y0 )在双曲线外(x 0 ， y0) 在双曲线外切点弦方 程x 0 x y 0 y 1y 0 y x 0x1a2b2a2b2|x 2 x 1 | 1 + k 2 或 |y 1 y2 | 1 +1弦长公式