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1、14 一次方程组阅读与思考一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，解一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消元将一次方程组转化为一元一次方程来解，常用的消元方法有代入法和加减法解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等），需观察方程组的系数特点，从整体上思考问题，运用整体叠加、整体叠乘、辅助引元、换元等技巧方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程组解的基本方法对于含有字母系数的二元一次方程组，总可以化为a1 xb1 yc1 的形式，方程组的解由a2 xb2 yc2a1, b1 ,c1 , a2 ,b2 ,c2 的取值范围确定，当a1 ,b1 , c1 ,a2
2、 ,b2 , c2 的取值范围未给出时，须讨论解的情况，基本思路是通过换元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论例题与求解【例 1】 若使方程组xy2的解x，y的和为 6，则 _mx2 ymm(湖北黄冈市竞赛试题 )解题思路： 用含的式子分别表示x，利用x 6 的关系式，求解myym2】 若 4x3y6z0， x 2y7z0（ xyz0 ）则代数式5x 22 y2z2【例2x 23 y210z2 的值等于( )A1B 19 15D 132C2( 全国初中数学竞赛试题)解题思路 ：把 z 当作常数，解关于x， y 的方程组【例 3】 解下列方程组xyz（ 1） 4562x3y4z 3（“
3、缙云杯”邀请赛试题）1995x1997y5989（ 2）1997x1995y7987（北京市竞赛试题）x1x2x2 x3x3 x4x1997x1998 x1998 x1999 1（ 3）x1x2x1998x19991999（“华罗庚金杯”竞赛试题）解题思路： 根据方程组的特点，灵活运用不同的解题方法，或脱去绝对值符号，或设元引参，或整体叠加ax2 y1a【例 4】 已知关于x， y 的方程组分别求出a 为何值，方程组的解为：2x2(a1) y3（ 1）有唯一一组解；（ 2）无解；（ 3）有无穷 多组解（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路 ：通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程解的情况
4、讨论【例 5】已知正数 a，b，c，d，e，f 满足 bcdef4 ， acdef9 ， abdef16 ， abcef1 ，abcd4abcdf1 ， abcde1 求 (a b e) (b df ) 的值e9f16（“”武汉市竞赛试题）CADIO解题思路： 利用叠乘法求出abcdef 的值【例 6】已知关于x， y 的二元一次 方程（ a 3） x（ 2a 5） y 6 0，当 a 每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解（ 1）求出这个公共解（ 2）请说明，无论a 取何值，这个公共解都是二元一次方程（a3） x（ 2a 5） y 6 0的解（ 2013 年“实中杯”数学竞赛试题）解
5、题思路： 分别令 a 取两个不同的值，可得到二元一次方程组，求出公共解能力训练A 级1 若 3x3 m 5n 94y 4 m 2n 12 是关于 x， y 的二元一次方程，则m 的值等于 _.n（“希望杯”邀请赛试题）23x17y632 方程组23y5717x，的解为 _.（辽宁省中考试题）3 已知方程组ax5y15由于甲看错了方程中的a得到方程组的解为 3，y4xby2x1 ；乙看错了方程中的b 得到方程组的解为x5， y4若按正确的a， b 计算，则原方程组的解为 _.（四川省联赛试题）4 已知关于x的方程a( x 3) b(3x 1) 5( x 1)有无穷多个解，则，ba_.（“希望杯”
6、邀请赛试题）5已知 ( xy 4) 2( xy2)20 ，则有 ()3232A. x 2， y 3B.x 6， y 3C.x 3， 6D.x 3， 6yy6如果方程组3x2 y64x y 2a0 的解，那么 a 的值是 ()3x2y的解也是方程2A.91B.91C. 2D. 2367设非零实数 a，b，c 满足a2b3c0，则 abbcca的值为 ( )2a3b4c0a2b2c 2A.1B.0C.1D. 122（ 2013 年全国初中数学竞赛试题）8 若方程组()2a3b13a8.32(x 2) 3( y 1) 133a5b的解为b则方程组的解为30.91.23( x 2) 5( y 1) 3
7、0.9x8.3x10.3x6.3A.B.y2.2C.2.2y1.2yx10.3D y0.2（山东省枣庄市中考试题）2x3y2k19已知关于x， y 的方程组3x2y4k3的解 x， y 的值的和为6，求 k 的值（ 上海市竞赛试题）10解方程组361x463y102（ 1）463x361y102（云南省昆明市竞赛试题）121x16y（ 2）31112x22 y1（浙江省竞赛试题）xy7（ 3）2 x3 y111若 x1 x5 满足下列方程组2x1x2x3x4x56x12 x2x3x4x512x1x22x3x4x524 ，求 3x42x5 的值x1x2x32x4x548x1x2x3x42x596
8、（美国数学邀请赛试题）B 级1已知对任意有理数a， b，关于 x， y 的二元一次方程(ab) x(ab) yab 有一组公共解，则公共解为 _.（江苏省竞赛试题）2xy3z232设，则 3x 2y zx4 y5z36（ 201 3 年全国初中数学竞赛试题）6xmy18m可能的值是3若关于 x， y 的方程组y有自然数解，则整数3x0（ 2013 年浙江省湖州市竞赛试题）(a1) xy 5， b时，方程组有唯一一组解；4 已知方程组x y，当 ab当a， b时，方程组无解；当 a， b时，方程组有无数组解（“汉江杯”竞赛试题）5“”表示一种运算符号，其意义是ab 2ab，如果 x（ 13） 2
9、，则 x ( )A.11C.3 2B.D226已知 135，则 x2 yxy zz x2 yzA.1B.32（江苏省竞赛试题）的值为 ()3D1C.24（重庆市竞赛试题）ax2by23ax5by9a， b 的7已知关于 x，y 的两个方程组y7和y具有相同的解，那么2x3x11值是 ()a3a2a2A.B.b3C.3b2ba3D b28若 ，d是整数，b是正整数，且满足， ，da，则ad的最a ca bcb cdcbc大值是 ()A.1B. 5C.0D 1（全国初中数学联赛试题）9解方程组xy1（ 1）x2 y3（江苏省竞赛试题）ab1bc2（ 2） cd 3 de 4 ea 6（上海市竞赛试
10、题）10已知ab1 ， bc1 ， ca1 ，求abc的值a b15 b c17 c a16ab bcca（山西省太原市数学竞赛试题）11已知 x1 ， x2 ， x3 ， xn 中每一个数值只能取2，0，1 中的一个， 且满足求的值x1 x2 x3 xn 17， x12 x2 2 x3 2 xn 2 37求 x1 3 x2 3 xn 3 的值（“华罗庚金杯”邀请赛试题）5x4 y712已知k 是满足 1910k2010 的整数，并且使二元一次方程组有整数解，4x5 yk问：这样的整数k 有多少个？（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题 14一次方程组例 1 8一得m 24m3y=m-2， y 2+
11、得 3x=4+m， x又由 x+y=6 得334 m + m 2 =6，解得 m=8.33例 2D4x3y6zx3z提 示 ： 由 题 意 知x2 y7z得代 入 原 式 中 ， 得y2 z5g(3z)22(2 z) 2z213.2 (3z) 23 (2z)210z2ggx12，提示：令 x y z例 3 （ 1） y15k ，则 x=4k,y=5k,z=6k.z18456x1x+y =3,x-y=-1.(2), 提示：将方程分别相加、相减得y2（ 3）由题意可设 x =x =x = =x =A,x =x =x = =xA B1=B，则13519992461998999B19991000A解得
12、 A=1 000 ， B=- 999，即 xl = x 3 =x 5=x 1999=1 000,x2 =x 4 =x 6= =x 1998=-999.(a2)(a1)x(a2)(a2)例 4 提示：由方程组得2)(a1)ya22(a(1) 当（ a-2 ） (a+1) o，即 a 2 且 a -l 时，原方程组 有唯一解；(2)当 (a-2) (a+l) =0且(a-2) (a+2)与 a-2 中至少有一个不为0 时，方程组无解，故当a= -1时，原方程组无解；(3)当 (a-2)(a+l)=(a-2)(n+2)=（ a-2)=0,即 a=2 时，原方程组有无数组解例 5提 示 ： 依 题 意
13、 可 得 (abcdef) 4=1即 abcdef=1， 从 而 a41， 故 a1， 同 理 可 得1142,cd 2,e 3,f4，那么b,34( a c e) (b d1112 4)27f ) (43) (1223例 6(1) 分别令 a 取两个不同的值，可得到二元一次方程组，解出公共解为x7y3(2)把(a - 3)x+(2a-5)y+6-a=0可变形为 (x+ 2y -1)a- 3x - 5y+6=0依题意可得x2 y10, 解得x 73x 5 y 6 0y.3无论 a 取何值，这个公共解都是二元一次方程(a-3)x+(2a-5)y+6-a=0的解A 级3x2x141.2.3.29
14、4. 215 C6 By1y1957 A提 示 ： 由 已 知 得a+b+c=(2a+3b+4c)-(a+2b+3c)=0 ， 故 (a+b+c) 2=0 ， 于 是ab+bc+ca1 (a2b2c2 ) ，则原式的值为1228.C提示：依题中方程组知x28.3x6.3y1解得2.21.2y9.5提示： x16 k11 , y2 k31313131310.(1)x1y1x7311(2)提示：设xA ，1B .y1112 y6(3)x14 x24 x34 x44,y13 y23y33 y4311.181提示：将各个方程相加得x1+x2 +x 3 +x 4+x5 31B 级1.x0xy10y提示：
15、由 a( x y1) b( x y1 ) 0知y101x2.10提示： 3 2 2(2 3z) (x 4 5 ) 223 3646 36 10xy zx yyz3.1， 0 ， 1， 4提示：把 y 3x 代入 6xm y 18 中得6x3my 18,整理得 x6，又m2因为 x， y 为自然数，故符合条件的m取值为 1，0， 1， 4。4.2为任意有理数 25 2 55.B6.B提示：运用奇数、偶数性质分析。7. B2xy7x4提示：由3xy得方程组的解为y1118. B提示：由条件得a 3b,c 2b,d bx15x25x31x4133339. (1)y12y22y34y443333提示：
16、当 xy0 时， xy x y ，当 xy0 时，x y x yy x（ 2） 3 ,b1 2,c1 3,d1 1,e1 4,a 2 3,b2 2,c2 3,d2a12323 1,e 2 4提示：由方程组得 a 2 b 2 c 2 d 2e 2 144.11a15，b10 由 题 意 三 个 式 子 可 变 形 得11111则b17， 得 2(b) 48.cac11.c13a11124bc ac+ab ，故ababcac1 .abcabcbc2411设有 P 个 x 取 1，q 个 x 取 2则有p2q17, 解得p1, 所以原式 1 13 9( 2) 3 71p4 q37,q9.x354k,354k41m,12由题中条件得41设).为整数5k285k28(m, ny41n,.41消 去 k 得 5m 4n 7，解得m34t,(t 为整数 ). 从而得 k 2241t n25t ,由 1910 2241t 2010，得 46 2t48 20 ，故共有2 个 k 值使原方程组有整数解4141