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1、二次根式的性质与运算练习题温故而知新：1. 二次根式的概念定义：一般地，我们把形如 _a _（ a0）的式子叫做二次根式， 符号“”称为二次根号 .2. 二次根式的性质（ 1） a （a0）是一个非负数；（ 2）（ a ） 2a（a0）；20)（ 3）?a( a 3a= a = .?- a(a 0).bb5. 积的算术平方根的性质ab =_a g b _( a0，b0).6. 商的算术平方根的性质a = _a _( a0， b0).bb7. 最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式.8. 二次根式的加减二次
2、根式加减时 , 可以先将二次根式化为最简二次根式, 再将被开方数相同的二次根式进行合并 .例 1 （2013娄底）使式子2x1 有意义的 x 取值范围是 ( )x1A. x- 1 ，且 x1B.x12C. x- 1D.x- 1 ，且 x122解析：根据二次根式有意义的条件可得2x+10，解得 x- 1 ；2由分式有意义的条件可知x-1 0，即 x 1；综上可知 x- 1 ，且 x1.2答案： A小结：在求解有关字母范围问题时，一般要注意以下两个方面： （ 1）二次根式的被开方数是非负数；（2）分式的分母不为 0.举一反三：1. （2012南充）在函数 y=1 2x 中，自变量 x 的取值范围是
3、 ()1x2A. x 1B.x1C.x1D.x12222解析：由二次根式有意义的条件可知1- 2x0，解得 x1 ；由分式有意义的条件可知 x1 0，即 x 1 ；所以 x 的取值范围是 x1 .2222例 2（ 2012全国竞赛）如果实数a， b， c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式a2ab(ca)2bc 可以化简为 ()A. 2c- aB.2a- 2bC.- aD.a解析：观察数轴可知ba 0c ， bc ；a+b 0，b+c0，化简二次根式 x-2y 的正确结果为 ()xA.yB.- yC.-yD.- y解析：由 x y0 可知 x 0 且 y 0 或 x 0 且 y 0 ，又 x2
4、 0，所以 - y 0，即 y 0，所以 x0 且 y0；x方法一： x- y- y- y- yx2 =x =x =x= - - y ；x2x- x方法二： x- y= -（）- y= - x2 - y= -2-y= - - y .x2- xx2x2x g2x答案： D举一反三：4. 已知 x1，则x2 - 2x +1 化简的结果是（）A. x-1B. x+1C. - x-1D. 1- x解析：x2 - 2x +1 =( x - 1)2 = x - 1 = 1- x.5. 若整数 m 满足条件(m +1)2= m +1且m 2，则m 的值是.5解析：由(m +1)2= m +1得m+10， m
5、- 1，所以 -1 m 2 0，即 2- a 0，所以（ a-2 ）12 - a=2 - a- （）1= - (2 - a)21= -2g12- a2 - a2 - a(2 - a)= - 2 - a .2 - a例 4若x - 1 -1- x = ( x + y) 2 ，则 x- y 的值为（）A.-1B.1C.2D.3解析：根据二次根式有意义的条件可得x- 10 且 1- x0，解得 x=1；所以x - 1 -1- x= 0- 0= 0，所以（ 1+y ）2，；=0y=- 1x- y=1- （ -1 ） = 2.答案： C小结：非负数有如下几个性质 :(1) 有限个非负数的和为非负数； (
6、2) 非负数与正数之和为正数；(3) 有限个非负数的和为 0, 则每个非负数都为 0.例 5 已知实数 a 满足 2014aa2015a ，则 a-2014 2 的值为 _.解析：根据二次根式有意义的条件可得a- 20150，解得 a2015；所以 2014aa 2015 a 可化为 a 2014a 2015 a ，整理得a 20152014；两边同时平方，整理可得a-2014 2= 2015.答案： 2015小结：在解决含二次根式与绝对值的问题时， 要谨记：（ 1）二次根式的被开方数为非负数； （2）一个正数的绝对值等于它的本身， 一个负数的绝对值等于它的相反数 . 另外在解题时还要注意整体
7、思想的灵活运用 .例 6已知非零实数 a，b 满足 2a - 4 + b +2 +(a - 3)b2 + 4 = 2a ，则 a+ b 等于（）A.-1B.0 C.1 D.2解析：由2a - 4 + b + 2 +( a - 3)b2+4 = 2a得 2a - 4 + b +2 +( a - 3)b2= 2a - 4 0，所以2a - 4 = 2a- 4，所以 2a - 4 + b + 2 +(a - 3)b2= 2a - 4 ，即b + 2 +(a - 3)b2= 0 ；由几个非负数的和为0 则这几个数都为0 可知b + 2 = 0 且(a - 3)b2= 0 ，所以b+ 2= 0，b=-
8、2；（ a- 3）b2=0， a=3；a + b= 3+ （-2 ） =1.答案： C小结：本题有一定的技巧性，解题关键在于要能够想到将所给等式进行简单变形后，我们可以得到条件 2a- 40，将等式化简为我们常见的几个非负数之和为零的形式，进而可分别求出，b的值，进一步得到正确答案.常见的非负数有三种形式：2、 a （ a0）.aa 、a例 7已知 ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2+b+ c - 1 - 2= 10a+2 b - 4，则ABC为- 22（）A. 等腰三角形B.等边三角形C. 直角三角形D.等腰直角三角形解析：将 a2= 10a+ 2 b - 4 - 22的右边移到左边整
9、理得（a- 5）2（b - 4 -1）2+b+ c - 1 - 2+c - 1 - 2 = 0；由几个非负数的和为0 则这几个数都为 0 可知 a - 5 = 0 ， b - 4 -1 = 0， c - 1 - 2 = 0，解得 a= 5，b= 5，c=5；所以 a= b=c ，故 ABC 为等边三角形 .答案： B小结：解本题的关键在于利用完全平方公式a22ab+b2= ( ab) 2 对所给等式进行变形，变形后再根据几个非负数的和为0 则这几个非负数均为0 分别求出 a，b，c 的值，进而判断出三角形的形状 .举一反三：2. 若 x - 2 y +y + 2 = 0 ，则 x y的值为 (
10、)A.8B.2C.5D.-6解析：根据 x - 2 y +y + 2 = 0 可得 x- 2y=0， y+2= 0，解得 x=- 4， y=- 2，所以x y=8.3. 若 a，b 为实数，且满足a - 2 + - b2 = 0 ，则 b- a 的值为（）A.2B.0C.-2D.以上都不对解析：由 a - 2 +- b2 = 0 可得，2，所以，所以b- a= 0- 2= - 2.a- 2= 0- b = 0a= 2 b=07. 已知 a， b， c 满足 a 8b 5 (c 3 2) 20 .（ 1）求 a，b，c 的值；（ 2）试问以 a，b，c 为边能否构成三角形？如果能构成，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由 .解析：（1）根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解；（ 2）根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行判断.