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1、2020 届全国高考数学（理）刷题1+1（ 2019 模拟题）基础阶段测试（四）（解析版）本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分满分150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的i1(2019 河北武邑中学二次调研)设 i 是虚数单位，若复数z 1 i，则 z ()111A. 22iB12i111C12iD.22i答案A解析由 zii 1 i1i 1 1 1 11 i 1 i 1i 2 2 2i ，得 z 22i.故选 A.浙江百校联考)已知集合x1 ，
2、B x|yln (1 x) ，则 AB 等于 ()2 (2019A x|2A x|x0B x|x1C x|0x 1D x|0 x1答案C解析集合 A x|2x1 x|x0 ， B x|x1 ，所以 AB x|0 x 1 ，故选 C.3(2019 石家庄二模 )某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是 ()页1第A 支出最高值与支出最低值的比是81B4 至 6 月份的平均收入为50 万元C利润最高的月份是2 月份D2 至 3 月份的收入的变化率与11 至 12 月份的收入的变化率相同答案D解析由题图可知，支出最高值为60 万元，支出最低值为10 万元，其比是 61，故
3、 A1错误；由题图可知， 4 至 6 月份的平均收入为 3(503040)40 万元，故 B 错误；由题图可知，利润最高的月份为3 月份和 10 月份，故 C 错误；由题图可知 2 至 3 月份的收入的变化率与 11 至 12 月份的收入的变化率相同，故D 正确故选 D.4(2019 赤峰市高三二模 )已知正项等比数列 a 的前 n 项和为 S ，若 a1，S 17S ，nn184则 a5 ()A8 B 8 C16 D16答案D解析设等比数列 an的公比为q.当 q1 时， S8 8a1,17S4 174a168a1，因为 a1 0，所以 S 8a ， S 17S ；8184当 q1 时， S
4、a1 1 q81q8，81q1q页2第17a1 1 q417 1q417S4，1 q1q1 q817 1 q4故，解得 q 1 或 q 2 或 q 2，因为等比数列 an 为正项等比数列，1 q1q故 q2，所以 a5 a124 16，故选 D.5(2019 佛山二模 )已知 (1x) x x12 n(nN* ，n10)的展开式中没有常数项， 则 n 的最大值是()A6 B7 C8 D9答案B解析1n* ，的展开式中没有常数项，已知(1x) x 2(nn10)xN x1n 的展开式中没有负一次项和常数项2x x1n的展开式的通项公式为Tr1r n 3r，2Cnx x故 n3r0，且 n3r 1
5、，即 n3r，且 n3r1，n3,6,9，且 n 2,5,8，故 n 的最大值为 7，故选 B.咸阳二模已知 xAByAC，x，y R，则 xy()6 (2019)G 是 ABC 的重心，若 GC11A 1B1C.3D 3答案C解析由题意，画图，如图所示由重心的定义，可知页3第2211AG3AD32(ABAC)3(ABAC)GCACAGAC113(ABAC) 3AB21213AC.x y 333.故选 C.7(2019 浙江高考 )祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体 Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体
6、的高若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积 (单位：cm3)是()A158B162C182D324答案B解析如图，该柱体是一个五棱柱， 棱柱的高为 6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个2 6上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为2，下底为 6，高为 3.则底面面积 S2 3462327，因此，该柱体的体积V 276162.故选 B.x2x，x0，8(2019 佛山一中二模 )若函数 f(x)x2ax，xf(2a)f(0)Bf(a)f(0)f(2a)Cf(2a)f(a)f(0)Df(2a)f(0)f(a)答案C解析因为 f(x)是偶函数，所以f( 1)f(1
7、)，即 1 a 2，所以 a 1，易知当 x 0 时，f(x)是增函数，又知2aa0，所以 f(2a)f(a)f(0)，故选 C.9(2019 大庆三模 )第 24 届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形的一个锐角为，且 tan 2，若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为 ()1123A. 4B.5C.5D.5答案B解析设大正方形为 ABCD，小正方形为 EFGH，如图，则 tanAF ，BF2设小正方形的边长为 a，则AF 2，即 AF2a，AF a大正方形的边长为5a，
8、a21则小正方形与大正方形的面积比为5a25.故选 B.(2019广州二模)若曲线yx3 2x2 2 在点 A 处的切线方程为 y4x6，且点 A 在10直线 mxny10(其中 m0，n0)上，则12的最小值为 ()m nA4 2 B32 2 C64 2 D8 2答案C解析设 A(s，t)，yx32x22 的导数为 y 3x24x，可得切线的斜率为3s24s，页5第由切线方程为 y4x6，可得 3s2 4s4，t4s6，2 26解得 s2，t 2 或 s 3，t 3 ，由点 A 在直线 mxny10(其中 m0，n0)上，226可得 2m2n 1 成立 s 3，t 3 ，舍去 ，n 2m则
9、m n (2m2n) m n 2 3m n 1212n 2m2 32mn 6 4 2，当且仅当 n2m 时，取得最小值642，故选 C.x2y211(2019 全国卷 )设 F 为双曲线 C：a2b2 1(a0，b0)的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆x2y2 a2 交于 P，Q 两点若 |PQ|OF|，则 C 的离心率为 ()A.2B.3C2D.5答案A解析x2y2设双曲线 C：221(a0，b0)的右焦点 F的坐标为 (c,0)由圆的对称性及条a b件 |PQ| |OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径， 且 PQ OF.设垂足为 M，连接 OP，如图，c222c
10、 2c 22则 |OP|a， |OM|MP|2.由|OM|MP|OP| 得2 2a ，c故 a 2，即 e 2.故选 A.12(2019 深圳二模 )如图，在四面体 ABCD 中， AB CD 2， AC BD 3， AD BC 5，E，F 分别是 AD，BC 的中点若用一个与直线 EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面 去截该四面体， 由此得到一个多边形截面， 则该多边形截面面积的最大值为()页6第655A. 6B. 2C.2D.4答案B解析将四面体 ABCD 补成长、宽、高分别为3，2，1 的长方体 (如图 )由于 EF，故截面为平行四边形MNKL ，可得 KLKN 5，设异面直线
11、BC 与 AD 所成的角为 ，则 sin sinHFB sinLKN ，2626 NKKL 26解得 sin5 ，S 四边形 MNKL NKKL sinNKL 522，当且仅当 NKKL 时取等号故选 B.第卷(非选择题，共90 分)二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分x0，y0，13(2019 合肥一模 )设 x， y 满足约束条件x y 10，x y 30，y0，作出可行域如图，xy10，xy30，前 n项和为 Sn，若nnn 1 N* ，且 n 2)aSS (n(1)求数列 an 的通项公式；an，求数列 c 的前 n 项和 T .(2)记 c a 2nnnn解 (
12、1)在数列 an 中， n n n1， a SS(n 2)anSnSn1 ，且 an0，得SnSn 11(n2)，数列Sn 是以S1 a11 为首项，公差为1 的等差数列， Sn 1(n1)1n，Sn n2.当 n2 时， an SnSn1n2(n1)2 2n1，当 n1 时， a1 1，也满足上式，数列 an 的通项公式为 an 2n1.(2)由(1)，知 an2n 1，cn(2n1)22n1，则 Tn12323 5 25 (2n 1)22n1，4Tn123 3 25527 (2n3) 22n1 (2n1)22n1，两式相减，得 3Tn 2 2(23 25 22n1) (2n 1)22n12
13、28 1 22n2(2n1)22n 11410522n 1，32n3T 6n 5 22n110.n918(本小题满分 12 分)(2019 山东德州一模 )如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，ABCD，E， F 为 AB 的三等分点，且 EFCD，将 AED 和 BFC 分别沿 DE ，CF 折起到 A， B 两点页10第重合，记为点 P.(1)证明：平面 PCF平面 PEF；(2)若 PFFC，求 PD 与平面 PFC 所成角的正弦值解 (1)证明：因为 ABCD，EFCD，所以四边形 CDEF 为平行四边形，所以AEDAFC；又因为AEDBFC，所以AEDBFC，从而AFCBFC90
14、 ，所以 PEED，PFFC.因为 CFDE，所以 PE FC，又因为 PEPFP，PE? 平面 PEF，PF? 平面 PEF，所以 FC平面 PEF.又因为 FC? 平面 PFC，所以平面 PEF平面 PFC.(2)在平面 PEF 内作 PO EF，垂足为 O，取 CD 的中点为 M.由 (1)可知， FC平面 PEF，故 FCPO，可得 PO平面 CDEF ，所以 POOM， PO OF，又因为 PFPE，所以 OEOF，所以 OMFC，所以 OFOM，所以 OP，OF，OM 两两垂直；页11第以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 PFFC 2，而PEF 为等边三角形，所以
15、 P(0,0，3)， F(1,0,0)，C(1,2,0)，D( 1,2,0)，3)；所以 PF (1,0， 3)，PC(1,2，3)，PD(1,2，设 n(x，y，z)为平面 PFC 的法向量， 0，x ，nPF3z0由即3z0，x2ynPC 0，可取 n( 3， 0,1)设 PD 与平面 PFC 所成的角为 ，6则 sin|nPD| 4 ，|n|PD|6所以 PD 与平面 PFC 所成角的正弦值为 4 .19(本小题满分12 分)(2019 南昌一模 )市面上有某品牌 A 型和 B 型两种节能灯，假定 A型节能灯使用寿命都超过 5000 小时，经销商对 B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，
16、得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年，新店面需安装该品牌节能灯 5 支(同种型号 )即可正常营业， 经了解， A 型 20 瓦和 B 型 55 瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装，已知 A 型和 B 型节能灯每支的价格分别为 120 元、25 元，当地商页12第业电价为 0.75 元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600 小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换(用频率估计概率 )(1)若该商家新店面全部安装了B 型节能灯，求一年内5 支节能灯在使用期间恰好更换2支灯的概率；(2)若该商家全部使用A 型节能灯或 B 型节能
17、灯，则为保证正常营业，应购买哪一种节能灯更合算？解 (1)由频率分布直方图可知，B 型节能灯使用寿命超过3600 小时的频率为 0.00102000.2，1用频率估计概率，得 B 型节能灯使用寿命超过 3600 小时的概率为 5.4所以一年内一支 B 型节能灯在使用期间需更换的概率为 5.2421 332所以一年内 5 支节能灯在使用期间恰好更换 2 支灯的概率为 C555625.(2)共需要安装 5 支节能灯，若选择 A 型节能灯，一年共需花费5120 3600 5 200.75 103 870 元；若选择 B 型节能灯，由于 B 型节能灯一年内需更换的支数服从二项分布B 5，4，54故一年
18、内需更换灯的支数的期望为554 支故一年共需花费5455 2536005550.75103967.5 元因为 967.5870，所以该商家应选择A 型节能灯x2y220(本小题满分 12 分)(2019 重庆六区一模 )如图，已知椭圆C：a2b21，其左、右焦点为 F1( 2， 0)及 F2(2,0)，过点 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 G，AB的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D，E 两点，且 |AF1|， |F1F2|，|AF2|构成等差数列(1)求椭圆 C 的方程；页13第(2)记 GF1D 的面积为 S1， OED(O 为原点 )的面积为 S2，试
19、问：是否存在直线AB，使得 S1 S2？请说明理由解 (1)|AF1|，|F1F2|， |AF2|构成等差数列，2a |AF1| |AF2| 2|F1F2| 8，a4.又c2，b2 12，x2y2椭圆 C 的方程为 16121.(2)假设存在直线 AB，使得 S1S2，显然直线 AB 不能与 x，y 轴垂直，设直线AB 的方程为 yk(x2)，x2y22222将其代入 1612 1，整理得 (4k 3)x 16k x 16k 480， 16k2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1 x2 34k2.x1x28k2点 G 的横坐标为234k2，G8k26k.，3 4k23 4k26k34
20、k22k2 ，8k2 k 1，解得 xD2，DGAB4k334k2xD 2k2即 D 34k2，0 ，RtGDF 1 和 RtODE 相似，若 S1S2，则 |GD| |OD|，页14第 8k2 2k26k2k2 34k234k2 2 34k2 2 34k2 ，整理得 8k2 90，方程 8k290 无解，不存在直线 AB，使得 S1S2.21(本小题满分 12 分)(2019 新乡模拟 )已知函数 f(x)x2 2x2aln x，若函数 f(x)在定义域上有两个极值点x1， x2，且 x10.解 (1)因为函数 f(x)在定义域 (0， )上有两个极值点 x1，x2，且 x1x2，2a所以
21、f(x) 2x2 x 0 在(0， )上有两个根 x1， x2，且 x10，1所以解得 0a0，(2)证明：由题意可知12122的两个不等的实根，x，x (0xx )是方程 x x a0x x 1，112其中 0a4.所以x1 x2 a，22故 f(x1)f(x2)x12x12aln x1x2 2x2 2aln x2 (x1x2)2 2x1x2 2(x1x2) 2aln (x1x2) 2aln a2a1，1令 g(a)2aln a2a 1，其中 0a4，故 g(a) 2ln ag 4 ln 22，页15第3即 f(x1)f(x2)ln 220.(二)选考题： 10 分请考生在第22、23 题中
22、任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分) 选修 44：坐标系与参数方程 (2019 辽宁抚顺一模 )在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴1x2t，建立极坐标系，已知曲线C1 的极坐标方程为 2sin，直线l的参数方程为(t3y2 t2为参数 )(1)求曲线 C1 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程；(2)设 D 为曲线 C1 上在第二象限内的点，且在点D 处的切线与直线 l 平行，求点 D 的直角坐标222，解 (1)由已知，得 ，得xy2y2 sin即 x2(y 1)21，xcos，所以 C1 的参数方程为(为参数 )y1si
23、n直线 l 的直角坐标方程为3xy 2 0.(2)由(1)知曲线 C1 是以 C(0,1)为圆心、半径为1 的圆，设点 D(cos，1sin)，因为点 D 在第二象限，所以直线 CD 的斜率 k3CDtan 3 ，得533.6，得点 D 的直角坐标为2，223(本小题满分 10 分) 选修 45：不等式选讲 1(2019 辽宁抚顺一模 )已知函数 f(x) |xa| x a .(1)当 a1 时，解不等式f(x) 5；(2)若? xR， f(x) |m1|恒成立，求实数m 的取值范围页16第解 (1)当 a1 时， f(x) |x1| |x1|，当 x 1 时， f(x) x1x1 2x 5，5解得 x2；当 1x1 时， f(x)x1x125，解集为 ?；5当 x 1 时， f(x) x1x12x 5，解得 x 2；55综上，当 a 1 时，不等式 f(x) 5 的解集为， 2 2， .(2)显然有 a0，由绝对值的三角不等式，得1111f(x) |x a| xa xaxa a a|a| a2，所以 |m1| 2，解得 1 m 3，即 m 1,3