1、第第三三章章 图图像像变变换换第三章第三章 图像变换图像变换3.1 引言引言3.2 连续与离散的傅立叶变换连续与离散的傅立叶变换3.3 二维离散傅立叶变换二维离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform：DFT)性质性质3.4 快速傅立叶变换快速傅立叶变换3.5 离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Consine Transform：DCT)第第三三章章 图图像像变变换换3.1 引言引言3.1.1 概述概述图像表示图像表示像素的二维阵列（矩阵）像素的二维阵列（矩阵）看成一组正交基合成看成一组正交基合成 傅立叶变换傅立叶变换（Fourier Transform)属
2、于属于第二种表示第二种表示,把图像看成一组正弦、余弦谐把图像看成一组正弦、余弦谐波合成。波合成。第第三三章章 图图像像变变换换 为什么要在频率域研究图像增强为什么要在频率域研究图像增强 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。非常普通。滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。的某些性质。可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间
3、域滤波器的指导。间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。有时也可以通过频率域试验，再选择空间滤波，有时也可以通过频率域试验，再选择空间滤波，实施在空间域进行。实施在空间域进行。3.1.1 概述概述第第三三章章 图图像像变变换换3.1.1 概述概述 由于变换的目的是为了使图像处理简化，因而对图像变由于变换的目的是为了使图像处理简化，因而对图像变换有以下三方面的要求：换有以下三方面的要求：1.变换必须是可逆的，它保证了图像变换后，还可以变换变换必须是可逆的，它保证了图像变换后，还可以变换回来。回来。2.变换应使处理得到简化。变换应使处理得到简化。3.变换算法本身不能太复杂。变换算法本身不能太复杂
4、图像变换的理论很多，如图像变换的理论很多，如离散的傅立叶变换离散的傅立叶变换(DFT)，沃沃尔什尔什(Walsh)变换，变换，离散余弦变换离散余弦变换(DCT)及哈特林及哈特林(Hoteling)变换。其中最常用的是傅立叶变换，是各种滤变换。其中最常用的是傅立叶变换，是各种滤波的基础，在图像处理中广泛应用。波的基础，在图像处理中广泛应用。第第三三章章 图图像像变变换换图像变换图像变换图像转换到另一种空间处理，特有性质图像转换到另一种空间处理，特有性质 图像处理和分析的数学基础图像处理和分析的数学基础图图像像变变换换可分离变换可分离变换统计变换统计变换Fourier变换变换(DFT)DCTWH
5、TSTHT,Wavlet Transform3.1.1 概述概述Hotelling（KL变换）变换）第第三三章章 图图像像变变换换3.1.2 线性系统线性系统1.1.系统的定义：系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。输出是相同变量的另一个函数。系统系统x(t)x(t)输入输入y(t)y(t)输出输出f(x,y)f(x,y)输入输入 g(x,y)g(x,y)输出输出系统系统第第三三章章 图图像像变变换换3.1.2 线性系统线性系统2.2.线性系统的
6、定义：线性系统的定义：1)1)对于某特定系统，有：对于某特定系统，有：x1(t)x1(t)y1(t)y1(t)(输入输入x1(t)x1(t)产生输出产生输出y1(t)y1(t)）x2(t)x2(t)y2(t)y2(t)(输入输入x2(t)x2(t)产生输出产生输出y2(t)y2(t)）该系统是线性的，则该系统是线性的，则ax1(t)+bx2(t)ax1(t)+bx2(t)ay1(t)+by2(t)ay1(t)+by2(t)(输入输入ax1(t)+bx2(t)ax1(t)+bx2(t)就产生输出就产生输出ay1(t)+by2(t)ay1(t)+by2(t)，其中其中a a，b b是常数）是常数）
7、即系统的响应遵守即系统的响应遵守叠加原理叠加原理第第三三章章 图图像像变变换换3.1.2 线性系统线性系统2)2)线性系统线性系统移不变性移不变性的定义：的定义：对于某线性系统，有：对于某线性系统，有：x(t)x(t)y(t)y(t)当输入信号沿时间轴平移当输入信号沿时间轴平移T T，有：有：x(t-T)x(t-T)y(t-T)y(t-T)则称该线性系统具有则称该线性系统具有移不变性移不变性线性系统作为一个运算，应满足以上两个条件。线性系统作为一个运算，应满足以上两个条件。第第三三章章 图图像像变变换换3.2 连续与离散的傅立叶变换连续与离散的傅立叶变换 3.2.1 连续傅立叶变换连续傅立叶变
8、换 要研究波形由哪些频率组成的，需要研究波形由哪些频率组成的，需要把输入信号用一维傅立叶变换成频要把输入信号用一维傅立叶变换成频率域的信号，这是在处理和分析时间率域的信号，这是在处理和分析时间波形等一维信号方面的一个重要手段。波形等一维信号方面的一个重要手段。第第三三章章 图图像像变变换换3.2.1 连续傅立叶变换连续傅立叶变换1.1.一维连续傅立叶变换：一维连续傅立叶变换：定义定义设设 f(x)f(x)为实变量为实变量x x的连续函数，的连续函数，f(x)f(x)的的傅立叶变换傅立叶变换表示为表示为Ff(x),Ff(x),即：即：或写为：或写为：其中其中 j j2 2=-1=-1第第三三章章
9、 图图像像变变换换3.2.1 连续傅立叶变换连续傅立叶变换 如如果果给给定定F(u),f(x)F(u),f(x)可可以以由由傅傅立立叶叶逆逆变换变换得到：得到：第第三三章章 图图像像变变换换3.2.1 连续傅立叶变换连续傅立叶变换几个概念几个概念 假假设设函函数数f(x)f(x)为为实实函函数数。但但一一个个实实函函数数的的傅傅立立叶变换可能为复函数：叶变换可能为复函数：F(u)=R(u)+F(u)=R(u)+jIjI(u)(u)（1 1）f(x)f(x)的的傅傅立立叶叶模模（傅傅立立叶叶谱谱）记记为为：|F(u)|F(u)|F(u)|=R|F(u)|=R2 2(u)+I(u)+I2 2(u)
10、u)1/21/2（2 2）f(x)f(x)的傅立叶的傅立叶模平方模平方（能量谱）记为：（能量谱）记为：P(u)P(u)P(u)=|F(u)|P(u)=|F(u)|2 2 =R =R2 2(u)+I(u)+I2 2(u)(u)第第三三章章 图图像像变变换换3.2.1 连续傅立叶变换连续傅立叶变换（3 3）f(x)f(x)的傅立叶的傅立叶相位相位记为：记为：(u)u)(u)=tan(u)=tan-1-1(I(u)/R(u)(I(u)/R(u)把把F(u)F(u)写成指数形式：写成指数形式：F(u)=F(u)=F(u)F(u)e ej j(u)(u)（4 4）傅立叶变换中的变量傅立叶变换中的变量u
11、 u通常称为通常称为频率变量频率变量 这个名称源于尤拉公式中的指数项这个名称源于尤拉公式中的指数项 exp-j2exp-j2 ux=cos2ux=cos2 ux-jsin2ux-jsin2 uxux 如如果果把把傅傅立立叶叶变变换换的的积积分分解解释释为为离离散散项项的的和和的的极极限限，则则易易推推出出F(u)F(u)是是一一组组sinsin和和coscos函函数数项项的的无无限限和和，其中其中u u的每个值决定了其相应的每个值决定了其相应coscos,sin,sin函数对的频率。函数对的频率。第第三三章章 图图像像变变换换3.2.1 连续傅立叶变换连续傅立叶变换2.二维连续傅立叶变换二维连
12、续傅立叶变换 对于二维信号的图像信息来讲，一方面研究输入图像对于二维信号的图像信息来讲，一方面研究输入图像由哪些空间频率成分构成，另一方面在空间频率域中进行由哪些空间频率成分构成，另一方面在空间频率域中进行各种处理。对于空间频率域来讲，有时也把图像本身叫做各种处理。对于空间频率域来讲，有时也把图像本身叫做空间域空间域（space domain)。空间频率空间频率（space frequency)表示单位长度上的正弦浓表示单位长度上的正弦浓淡变化的重复次数。用在横轴和纵轴上分别对应于淡变化的重复次数。用在横轴和纵轴上分别对应于x轴方轴方向和向和y轴方向的空间频率为轴方向的空间频率为u,v的二维平
13、面（空间频率域）的二维平面（空间频率域）来表示。来表示。第第三三章章 图图像像变变换换3.2.1 连续傅立叶变换连续傅立叶变换yxuva)只在只在x轴方向有正弦轴方向有正弦波形状浓淡变化的场合波形状浓淡变化的场合空间域（正弦波形的浓淡变化）空间域（正弦波形的浓淡变化）空间频率域空间频率域空间频率空间频率第第三三章章 图图像像变变换换3.2.1 连续傅立叶变换连续傅立叶变换uvb)在在斜方向上有正弦波斜方向上有正弦波形状浓淡变化的场合形状浓淡变化的场合第第三三章章 图图像像变变换换3.2.1 连续傅立叶变换连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换：如如果果f(x,y)f(x,y)连连续
14、续可可积积，并并且且F(u,v)F(u,v)可可积积，则则存在以下傅立叶变换对，其中存在以下傅立叶变换对，其中u,vu,v为频率变量：为频率变量：第第三三章章 图图像像变变换换3.2.1 连续傅立叶变换连续傅立叶变换二维傅立叶模、相位和模平方分别为：二维傅立叶模、相位和模平方分别为：模（傅立叶谱）：模（傅立叶谱）：|F(u,v)|=RF(u,v)|=R2 2(u,v)+I(u,v)+I2 2(u,v)(u,v)1/21/2 相位：相位：(u,v)=tanu,v)=tan-1-1(I(u,v)/R(u,v)(I(u,v)/R(u,v)模平方（能量谱）：模平方（能量谱）：P(u,v)=|F(u,v
15、)|P(u,v)=|F(u,v)|2 2=R=R2 2(u,v)+I(u,v)+I2 2(u,v)(u,v)第第三三章章 图图像像变变换换3.2.2 卷积卷积 这一节研究两个傅立叶变换之间的关系，它构成这一节研究两个傅立叶变换之间的关系，它构成了空间域和频率域之间的基本关系，这些关系称为了空间域和频率域之间的基本关系，这些关系称为卷积。它们对深入理解在傅立叶变换基础上的图像卷积。它们对深入理解在傅立叶变换基础上的图像处理技术是十分重要的。处理技术是十分重要的。其中其中 是积分伪变量。是积分伪变量。卷积卷积的定义的定义 两个函数两个函数f(x)和和g(x)的卷积记作的卷积记作f(x)*g(x)，
16、由下，由下式所定义：式所定义：第第三三章章 图图像像变变换换3.2.2 卷积卷积卷积定理卷积定理：如果如果f(x)的傅立叶变换是的傅立叶变换是F(u)，并且并且g(x)的傅立叶变换的傅立叶变换是是G(u)，那么那么即即f(x)*g(x)的傅立叶变换是的傅立叶变换是F(u)G(u)一个类似的结果是，在频域中的卷积归结为在一个类似的结果是，在频域中的卷积归结为在x 域中域中的乘积，即的乘积，即 以上两个结论称为卷积定理。以上两个结论称为卷积定理。第第三三章章 图图像像变变换换3.2.2 卷积卷积二维卷积公式二维卷积公式：其中其中,是伪积分变量。是伪积分变量。卷积定理卷积定理：式中式中f(x,y)的
17、傅立叶变换是的傅立叶变换是F(u,v)，g(x,y)的傅立叶变的傅立叶变换是换是G(u,v)第第三三章章 图图像像变变换换3.2.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换(discrete Fourier transform：DFT)为了能用数字计算机计算傅立叶变换，对信为了能用数字计算机计算傅立叶变换，对信号与频谱应有如下要求：号与频谱应有如下要求：(1)它们都应是离散的；它们都应是离散的；(2)空域与频域都应为有限的。空域与频域都应为有限的。第第三三章章 图图像像变变换换1.1.一维离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换 假假设设连连续续函函数数f(x),通通过过取取N个个 x单单位位的的采采样样点点，
18、被离散化为一个序列：被离散化为一个序列：f(x0),f(x0+x),f(x0+2 x),f(x0+N1 x)这里定义：这里定义：f(x)=f(x0+x x)其中假设其中假设x现在的离散值是：现在的离散值是：0,1,2,N-1。f(x0),f(x0+x),f(x0+2 x),.,f(x0+N1 x)表示相对与连续函数的任意表示相对与连续函数的任意N个均匀的空间采样。个均匀的空间采样。第第三三章章 图图像像变变换换3.2.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 当当f(x)的取样始于原点，就可以用的取样始于原点，就可以用 f(0),f(1),f(2),.,f(N1)来表示来表示 f(x0),f(x0+x
19、),f(x0+2 x),f(x0+(N1)x)的等间隔的采样值序列。的等间隔的采样值序列。第第三三章章 图图像像变变换换3.2.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换函数函数f(xf(x0 0+x+x x)x)的离散傅立叶变换对有：的离散傅立叶变换对有：正变换正变换u=0,1,2,.N-1x=0,1,2,.N-1逆变换逆变换第第三三章章 图图像像变变换换3.2.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换注意：式中注意：式中u=0,1,2,N-1,这也类似于这也类似于x,F(u)也也是一个取是一个取N个等量间隔个等量间隔 u取样后的离散函数，它取样后的离散函数，它可表示为可表示为F(u)=F(u0+u u),若
20、若F(u)的取样始于原的取样始于原点，则相应为点，则相应为 u,2 u,(N-1)u,即即F(u)=F(u u)。最终形成傅立叶变换对：最终形成傅立叶变换对：f(x)F(u)第第三三章章 图图像像变变换换3.2.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换2.2.二维离散傅立叶变换二维离散傅立叶变换正变换正变换 u=0,1,2,M-1;v=0,1,2,.N-1 u=0,1,2,M-1;v=0,1,2,.N-1x=0,1,2,.M-1;y=0,1,2,.N-1x=0,1,2,.M-1;y=0,1,2,.N-1逆变换逆变换第第三三章章 图图像像变变换换3.2.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换若若M=NM=N正
21、变换正变换 u,v=0,1,2,.N-1 u,v=0,1,2,.N-1x,y=0,1,2,.N-1x,y=0,1,2,.N-1逆变换逆变换第第三三章章 图图像像变变换换3.2.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 式中式中 u,v=0,1,N-1 式中式中 x,y=0,1,N-1 或：或：令令 则则第第三三章章 图图像像变变换换几点说明：几点说明：以上式子不是唯一的表示式以上式子不是唯一的表示式1)1)前面的系数也可以在逆变换前面加前面的系数也可以在逆变换前面加 1/1/N N2 2,还可以正、反还可以正、反变换前各加变换前各加 1/1/N N。如：如：或或第第三三章章 图图像像变变换换3.2.3
22、 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 傅立叶的正变换核为：傅立叶的正变换核为：2)指数项指数项也可以用相反的正、负号。也可以用相反的正、负号。第第三三章章 图图像像变变换换3.2.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 经常经常用亮度函数，用亮度函数，通过对通过对傅立叶变换模的显示，傅立叶变换模的显示，来显示傅来显示傅立叶变换图像。由于模的值域可能大于显示的值域，因此要立叶变换图像。由于模的值域可能大于显示的值域，因此要进行动态值域的压缩。进行动态值域的压缩。另外，另外，因为图像的亮度（灰度）正比于因为图像的亮度（灰度）正比于|F(F(u,u,v)v)|的幅度。的幅度。但是，许多图像的傅立叶谱随着频率的增
23、加而迅速减小，使但是，许多图像的傅立叶谱随着频率的增加而迅速减小，使高频项变得愈来愈不清楚。基于上述原因，为了提高视觉效高频项变得愈来愈不清楚。基于上述原因，为了提高视觉效果，常用下面的果，常用下面的D(D(u,u,v)v)函数来代替函数来代替|F(F(u,u,v)v)|，即：即：D(u,v)=c log(1+|F(u,v)|)D(u,v)=c log(1+|F(u,v)|)其中：其中：c=255/k;c=255/k;k=max(log(1+|F(u,v)|)k=max(log(1+|F(u,v)|)离散傅立叶变换的显示离散傅立叶变换的显示第第三三章章 图图像像变变换换 矩阵表示矩阵表示（当（当M=N M=N 时）时）正变换正变换：即：即：这里这里第第三三章章 图图像像变变换换逆变换逆变换：即：即：第第三三章章 图图像像变变换换3.2.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换3.离散卷积离散卷积离散一维卷积离散一维卷积离散二维卷积的定义离散二维卷积的定义-相关的定义相关的定义记为：记为：h(th(t)=)=f(t)f(t)g(tg(t)第第三三章章 图图像像变变换换卷积定理卷积定理小结小结 卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带。带。3.2.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换
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