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1、垂径定理（第一课时）教学设计【教学内容】73 垂径定理（初三几何课本P76P78）【教学目标】1知识目标：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。2能力目标：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3情感目标：结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的证明。【教学方法】探究发现法。【教具准备】自制的教具、自制课件、实物
2、投影仪、电脑、三角板、圆规。【教学设计】一、实例导入，激疑引趣1实例：同学们都学过中国石拱桥这篇课文（初二语文第三册第一课茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存 最好的巨大石拱桥，距今已有1400 多年历史，被誉为“华北四宝之一” ，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。2导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4C米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离，也叫弓高）为7.2 米。请问：桥拱的半径（即 AB 所在圆的半径）是多少？1-?
3、ADB? ?通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（ 图 1）二、尝试诱导，发现定理1复习过渡：如图 2(a)，弦 AB 将 O 分成几部分？各部分的名称是什么？如图 2(b)，将弦 AB 变成直径， O 被分成的两部分各叫什么？在图 2(b)中，若将 O 沿直径 AB 对折，两部分是否重合？CCOBAOACBAOBAOBOEDABDD(a)(b)(a)(b)(c)（图 2）（ 图 3）2实验验证：让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。3运
4、动变换：如图 3(a)，AB 、CD 是 O 的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？如图 3(b)，当 AB CD 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？如图 3(c)，当 AB 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？4提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想（板书）CD是圆O的直径AEACBDBCCD弦AB, 垂足为EADBD5验证猜想： 教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为垂直于弦的直径。三、引导探究，证明定理1引导证明：猜想是否正确，还
5、有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。证明“ AE=BE ”，可通过连结OA 、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。2归纳定理：根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3巩固定理：在下列图形（如图4(a)(d)）中， AB 是 O 的弦， CD 是 O 的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。CCOOEEABABDDACEOOBAEB(a) AB CD 于 E(b)E 是 AB 中点(c)O
6、C AB 于 E(d)OE AB 于 E（ 图 4）向学生强调： (1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。四、例题示范，变式练习1运用定理进行计算。例 1如图 5，在 O 中，若弦 AB 的长为8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求 O 的半径。分析：因为已知“圆心O 到 AB 的距离为 3cm”，所以要作辅助线 OEAB ；因为要求半径，所以还要连结OA 。AEB O解：（略）学生口述，教师板书。（ 图 5）变式一在图5 中，若 O 的半径为 10cm， OE=6cm，则 AB=。CE思考一：若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，AB则 R、a、d 三者之
7、间的关系式是。O变式二如图6，在 O 中，半径 OCAB ，垂足为 E，若 CE=2cm，AB=8cm ，则 O 的半径 =。（ 图 6） 思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）2运用定理进行证明例 2已知：如图7，在以 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点。OACDB求证： AC BD 。（ 图 7）分析：证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？（证明 OAC OBD 或证明 OAD OBC）此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理）证法一：连结OA 、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。证法二：过点O
8、 作 OEAB 于 E，用“垂径定理”证明。 （详见课本P77 例 2） 注 1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。注 2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。思考：在图7 中，若 AC=2 ， AB=10，则圆环的面积是。变式一若将图7 中的大圆隐去，还需什么条件，才能保证AC=BD ？变式二若将图7 中的小圆隐去，还需什么条件， 才能保证AC=BD ？变式三将图7 变成图 8（三个同心圆），你可以OEACDBF证明哪些线段相等？（ 图 8）例 3（选讲）如图9，Rt ABC 中， ACB 90 ，CAC 3，BC 62 ，以 C 为圆心、 CA 长为半径画弧
9、，交斜边 AB 于 D，求 AD 的长。（答案： 2）ADB略解：过点C 作 CE AB 于 E，先用勾股定理求得（ 图 9）AB=9 ，再用面积法求得CE= 22 ，最后用勾股定理求得AE=1，由垂径定理得AD=2 。五、师生小结，纳入系统1定理的三种基本图形如图10、11、12。2计算中三个量的关系如图13， R 2a22d( 2 )。3证明中常用的辅助线过圆心作弦的垂线段。COO EOOAEBABD DE RdABAaB（图 10）（图 11）（图 12）（ 图 13）六、达标检测，反馈效果1（课本 P78 练习第 1 题）如图 14，在 O 的半径为50mm，弦 AB=50mm ，则点
10、 O到 AB 的距离为， AOB 度。AB 2作图题：经过已知O 内的已知点A 作弦，使它以点 A 为中点（如图15）。OOA3课本 P78 练习第 2 题。（图 14）（ 图 15）课堂练习姓名得分1如图， O 的半径为50mm，弦 AB=50mm ，则点 O 到 AB 的距离为， AOB 度。OOAAB（ 第 1 题）（第 2 题）2作图题：经过已知O 内的已知点A 作弦，使它以点A 为中点（如图）。要求：保留作图痕迹，但不必写作法。3已知：如图，在O 中， AB 、AC 是两条互相垂直且相等的弦，OD AB ，OEAC ，垂足分别为D、E。C求证：四边形ADOE 是正方形。EOADB（第 3 题）