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1、弦切角定理及其应用顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 。 (弦切角就是 切线 与弦所夹的角）弦切角定义图 1如右图所示， 直线 PT 切圆 O 于点 C，BC 、AC 为圆 O 的弦， TCB 、 TCA 、PCA 、PCB 都为弦切角。弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图， PCA=1/2 COA= CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接 OC， OB, 。 TCB=90 - OCB BOC=180 -2 OCB , BOC=2 TCB（定理 ：弦切角 的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半） BOC=2 CAB （同
2、一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） TCB= CAB （定理 ：弦切角 的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知： AC 是 O 的弦， AB 是 O 的切线， A 为切点，弧是弦切角BAC 所夹的弧 .求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（ 1） 圆心 O 在 BAC 的一边 AC 上 AC 为直径， AB 切 O 于 A ，弧 CmA= 弧 CA为半圆 , CAB=90= 弦 CA 所对的圆周角（ 2） 圆心 O 在 BAC 的内部 .(B 点应在 A 点左侧 )过 A 作直径 AD 交 O 于 D,若在优弧 m 所对的劣弧上有一点E那么，连接 EC 、ED 、 EA则有： CED= CA
3、D 、 DEA= DAB CEA= CAB （弦切角定理）（ 3） 圆心 O 在 BAC 的外部 ,过 A 作直径 AD 交 O 于 D那么 CDA+ CAD= CAB+ CAD=90 CDA= CAB（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例 1：如图，在 O 中， O 的切线 AC 、 BC 交与点 C ，求证： CAB= CBA 。解： O 的切线 AC 、BC 交与点 C ， AC=BC （切线长定理 ）。 CAB= CBA 。（等腰三角形“ 等边对等角 ”）。例 2：如图， AD 是ABC 中 BAC 的平分线， 经过点 A的 O 与 B
4、C 切于点 D，与 AB ，AC 分别相交于E ，F.求证： EF/BC.证明：连接DFAD 是 BAC 的平分线 BAD= DAC EFD= BAD EFD= DAC O 切 BC 于 D , FDC= DAC EFD= FDCEF BC例 3：如图， ABC 内接于 O ，AB 是 O 直径， CD AB于 D ，MN 切 O 于 C，求证： AC 平分 MCD ，BC 平分 NCD.证明： AB 是 O 直径 ACB=90 CD AB ACD= B， MN 切 O 于 C MCA= B， MCA= ACD ，即 AC 平分 MCD ，同理： BC 平分 NCD 。割线定理割线定理是现代词
5、，是一个专有名词，指的是从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等，英文“Secant Theorem”。1定义文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。数学语言：从圆外一点 L 引两条 割线 与圆分别交于 A.B.C.D 则有 LA LB=LC LD=LT2 。几何语言：割线LDC 和 LBA 交于圆 O 于 ABCD 点 LA LB=LC LD=LT2如右图所示。(LT 为切线）2证明一已知：如图直线ABP 和 CDP 是自点 P 引的 O的两条 割线求证： PA PB=PC PD证明：连接AD 、BC A 和 C 都对弧 BD由 圆
6、周角定理 ，得A= C又 P= P ADP CBP （ A，A ） AP:CP=DP:BP即 AP BP=CP DP3证明二既然圆内接四边形定理可以从割线定理 而得，那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而得。如图所示。已知：从圆O 外一点 P 引两条 圆的割线，一条交圆于A、 B，另一条交圆于C 、 D求证： AP BP=CP DP证明：连接AC 、BD由圆内接四边形定理得 ABD+ DCA= CAB+ BDC=180 又 ACP+ DCA= DCP=180 ， CAP+ CAB= BAP=180 （平角的定义） ABD= ACP ， BDC= CAP （同角的补角相等） ACP DBP
7、（两角对应相等的三角形相似） AP/DP=CP/BP （相似三角形对应边成比例） AP BP=CP DP （比例基本性质） 14证明三根据切割线定理求证。已知：从圆O 外一点 P 引两条 圆的割线，一条交圆于A、 B，另一条交圆于C 、 D求证： AP BP=CP DP过点 P 作圆 O 的切线，记切点为T由切割线定理可知：AP BP=PT2 ， CP DP=PT2所以 AP BP=CP DP相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等。1概念定理：圆内的两条相交 弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦
8、，各弦被这点所分成的两段的积相等）几何语言：若弦 AB 、CD 交于点 P则 PA PB=PC PD （相交弦定理 ）概述： 相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为： 切割线定理、割线定理2证明证明：连结AC ， BD由圆周角定理 的推论，得A= D ， C= B 。（ 圆周角 推论 2: 同 (等 )弧所对圆周角相等.） PAC PDB PA PD=PC PB ， PA PB=PC PD注：其 逆定理 可作为证明圆的内接四边形的方法. P 点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理 也可用于证明 四点共圆 。3比较相交弦定理 、切割线定理 及割线定理 (切割线定理推论 ) 以及他们的推论统称
9、为 圆幂定理 。一般用于求 线段长度。4相交弦定理推论定理 :如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。几何语言：若 AB 是直径， CD 垂直 AB 于点 P，则 PC2 =PA PB （相交弦定理推论）切割线定理1定理：切割线定理：从圆外一点引圆的切线 和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项 。是 圆幂定理 的一种。几何语言： PT 切 O 于点 T ，PBA 是 O 的割线 PT2=PA PB （切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： PT 是 O 切线， PBA ， PDC 是 O 的割线 PD PC=PA PB （切割线定理 推论） (割线定理 ）由上可知 :PT 2=PA PB=PC PD2证明切割线定理证明:设 ABP 是 O 的一条割线， PT是O的一条切线，切点为T ，则PT 2=PA PB证明：连接AT, BT PTB= PAT( 弦切角定理 ) APT= APT( 公共角 ) PBT PTA( 两角对应相等 ,两三角形相似)则 PB ： PT=PT ： AP即： PT 2 =PB PA