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1、高中物理解题中数学方法的应用.中学物理考试大纲明确要求考生必须具备：“ 应用数学处理物理问题的能力能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。”一、高考命题特点高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用， 借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题 .可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程.二、数学知识与方法物理解题运用的数学方法通常包括几何 ( 图形辅助 )法、图象法、函数法、方程 ( 组 )法、递推法、微元法等 . 比例法等1.几何的知识应用1
2、相似三角形法： 相似三角形法通常寻找的是一个矢量三角形与一个几何三角形相似。利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小，特别是当几何三角形的边长己知时。A【例 1】 如右图 1A 所示，轻绳的 A 端固定在天花板上，B 端系一重为FG 的小球， 小球静止在固定的光滑大球表面上，己知 AB 绳长为 l ，大球C半径为 R，天花板到大球顶点的竖直距离AC=d,角 ABO 90o。求绳中BF N张力和大球对小球的支持力（小球直径忽略不计）【解析】选小球为研究对象，受到重力G、绳的拉力 F 和O大球支持力 FN 的作用 (如图 1B 示 )。由于小球处于平衡状态，所以G、G图 1A、 N组成一个封闭三
3、角形。 根据数学知识可以看出三角形AOB 跟三角F F形 FGF N 相似，根据相似三角形对应边成比例得FF/L=G/(d+R)=FN/R解得 F=G ?L/(d+R)F N=G ?R/(d+R) 讨论 由此可见，当绳长L 减小时 F 变小， FN 不变。2正弦定理（拉密定理）：如果在共点的三个力作用下，物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。如右图 2 所示，表达式为：F 1/Sin =F 2/Sin =F 3/Sin此法适用于三力构成的是锐角或钝角三角形。【例 2】如图，船A 从港口 P 出发支拦截正以速度v0 沿直线航行的船 B，P 与 B 所在航线的垂直距离为
4、 a ，A 船启航时， B 船与 P 的距离为 b ， b a ，如果略去 A 船启动时的加速过程，认为它一启航就做匀速运动，求：（ 1） A 船能拦到 B 船的最小速率 v ；（ 2） A 船拦到 B 船时两船的位移解析：（ 1）设两船在 C 相遇FNG图 1BF2 F3F 1图 21在 PBC 中，vtv0 tRRvRav0 ，式中RRb当=90 0 时，即 v 跟 PB 垂直时， v 最小，最小速率为va v0b（2）拦到船时， A 船位移为 sAabB 船位移为 sBb 2ba 2b2a22答案：（ 1） va v0（ 2） sAabsb 2bb 2a2Bb2a 2【练习】 如图所示，
5、 临界角 C 为 450 的液面上有一点光源S 发出一束光垂直人射到水平放置于液体中且距液面为d 的平面镜 M 上当平面镜 M 绕垂直过中心O 的轴以角速度做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过 则观察者观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少 ?解析：当平面镜M 以角速度逆时针转动时，反射光线将以角速度 2 同向转动反射光线射到水面形成的光斑(应是人看到折射光线出射处)由 S 向左沿水面移动将其移动速度v 分解如图由图可知越大， OP时，反射光线 OP 将在水面上发生全反射 观察者将看不到光斑，时 观 察 者 看 到 的 光 斑 移 动 速 度越大， v 越大但当45 0因此，当角
6、非常接近 450最 大，其值为v2OP 22d2dvmcoscos24dcos( 2 ) 22答案： 4d【练习】 如图 3 所示，小球质量为m，置于倾角为的光滑斜面上，悬线与竖直方向的夹角为，系统处于静止状态。 求斜面对小球的支持力FN 和悬线对小球的拉力F。FF【解析】选小球为研究对象，小球受力如图所示，球受三个力作用而处于平衡状态。根据正弦定理得：F/sin(180 o )=FN/sin(180o )=mg /sin( +)即 F/sin =F /sin =mg/sin( + )mgN所以 F=mg ?sin /sin( +)F N=mg?sin /sin(+ )图 33.圆的知识应用与
7、圆有关的几何知识在物理解题中力学部分和电学部分均有应用，尤其带电粒子在匀强磁场中做圆周运动应用最多，其难点往往在圆心与半径的确定上，其方法有以下几种：(1) 依切线的性质定理确定：从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点做切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径.2(2) 依垂径定理 (垂直于弦的直径平分该弦，并平分弦所对的弧)和相交弦定理 (如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)来确定半径：如图 24-3. C CE（ R C）由 B得 R EB 2 CE2CE2也可用勾股定理得到：B （ C C） B， R2（ R C） B图
8、24-3得， R EB 2 CE .2CE2此两种求半径的方法，常用于带电粒子在匀强磁场中运动的习题中.【例 3】 如图直线MN 上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O 以与 MN 成 30角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m，电荷为 e），它们从磁场中射出时相距多远？射出M的时间差是多少？BvNO解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距2r ，由图还可看出，经历时间相差2T/3。答案为射出点相距 s2mv ，时间Be差为t4 m 。关键是找圆心、找半径和用对称。3B
9、q【练习】圆心为O、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的 O处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m的电子以速率v 从左侧沿OO 方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图所示，求 OP 的长度和电子通过磁场所用的时间。MLAON解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ，半径为R。圆弧段轨迹AB 所对的圆心角为，电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动，如图 4所示，连结 OB， OAO OBO，又 OA OA，故 OBO B，由于原有 BP O B，可见 O、 B、P 在同一直线上，且 O
10、OP= AO B=，在直角三角形 P 中， OP32tan()，而 tan2， tan( )P=（ L+r ） tan1 tan2 ()22了，电子经过磁场的时间可用t= ABR 来求得。VV由 Bevm v 2得 R= mv .OP( Lr ) tanReBtan()reBr ，2RmV2tan()2eBrmvtan22m2 v2e2 B2 r 21)tan (2O , P( Lr ) tan2(Lr )eBrmv，m2 v2e2 B 2 r 2r，所以求得R 后就可以求出O PRMLAO,OBRN/2P/2O/arctan(2eBrmv2 )2v222rme BRm2eBrmv2 )tar
11、ctan(2v222rveBmeB2图象法物理图像能形象地表达物理规律、直观地描述物理过程、 鲜明地表示物理量之间的相互关系.因此 ,图像在中学物理中应用广泛，是分析物理问题的有效手段之一. 高考考纲明确指出，必要时考生能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。在高考试题中对图像问题的考查主要集中在作图（即直接根据题目要求作图）、用图（包括从题给图像中获取信息帮助解题以及根据题意作出相关图像来帮助解题）两个方面。对作图题， 在描绘图像时， 要注意物理量的单位、坐标轴标度的适当选择及函数图像的特征等 ,特别要注意把相关物理量的数值在坐标轴上标示清楚.对用图题中要求从题给图像获取信息帮助解题类问题，
12、要注意正确理解图像的内涵：如明确图像所代表的物理过程；弄清坐标所代表的物理量及其单位，进而弄清图线上各点读数的物理意义； 弄清图线与坐标轴上的截距的物理意义；弄清图线与坐标轴所围面积的物理意义；弄清图线渐近线的物理意义；弄清图线上一些特殊点（如图线的拐点、端点、极值点及两条图线的交点等）的物理意义等 .对用图题中要求根据题意作出相关图像来帮助解题类问题，要根据题意把抽象的物理过程用图线表示出来，将物理量间的代数关系转化为几何关系, 运用图像直观、简明的特点，分析解决物理问题 .4高 考 解 题 方 法 指 导 ： 图 象 专 题课 时 综 述1 “ 图 ”在 物 理 学 中 有 着 十 分 重
13、 要 的 地 位 ，它 是 将 抽 象 的 物 理 问 题 直观 化 、 形 象 化 的 最 佳 工 具 。 作 为 一 种 解 决 问 题 的 方 法 ， 图 解 法 具 有 简 易 、方 便 的 特 点 ， 学 习 中 应 通 过 针 对 性 训 练 、 强 化 对 图 像 的 物 理 意 义 的 理 解 ，以 达 到 熟 练 应 用 图 像 处 理 物 理 问 题 ， 熟 能 生 巧 的 目 的 。2. 中 学 物 理 常 用 的 “ 图 ” 有 示 意 图 、 过 程 图 、 函 数 图 、 矢 量 图 、 电 路图 和 光 路 图 等 。 若 题 干 和 选 项 中 已 给 出 函
14、数 图 ，需 从 图 像 横 、纵 坐 标 所 代表 的 物 理 意 义 ， 图 线 中 的 “ 点 ”、“ 线 ”、“ 斜 率 ”、“ 截 距 ”、“ 面 积 ” 等 诸 多方 面 寻 找 解 题 的 突 破 口 。即 使 题 干 和 选 项 中 没 有 出 现 函 数 图 ，有 时 用 图 象法 解 题 不 但 快 速 、准 确 ，而 且 还 可 以 避 免 繁 杂 的 中 间 运 算 过 程 ， 甚 至 可 以解 决 用 计 算 分 析 无 法 解 决 的 问 题 。【例 4】一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，弹簧床对运动员的弹力F 的大小随时间t 的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，
15、如图所示.重力加速度g 取 10m/s2,试结合图象，求运动员在运动过程中的最大加速度第 14 题图解：由图象可知，运动员的重力为mg 500N弹簧床对运动员的最大弹力为Fm 2500N由牛顿第二定律得Fm mgmam则运动员的最大加速度为am 40m/s2（ 本题也可以求上升的最大高度）【练习】某同学将一直流电源的总功率PER和电源内部的发热功率r随电流 I、输出功率PP变化的图线画在了同一坐标上，如右图中的a、 b、cP (W)所示。以下判断正确的是（ ABC）9A. 直线 a 表示电源的总功率；B. 曲线 c 表示电源的输出功率；6abC. 电源的电动势= 3 V ，内电阻r = 1；3
16、cI (A)D. 电源的最大输出功率Pm= 9w 。01235【练习】 质量相等的A 、B 两物体放在同一水平面上，分别受到水平拉力F1 和 F2 的作用做匀加速直线运动。在t0 和 4t0 时速度达到2v0 和 v0 时，撤去 F1 和 F2 后，继续做匀减速运动直到停止，其速度随时间变化情况如图所示，若F1、 F2 做的功分别为 W 1 和 W 2， F1、F 的冲量分别为 I1和 I2, 则有（）2A 、 W 1 W 2， I1 I2B 、W 1 W 2， I 1 I 2C、 W 1 W 2， I1 I2D、 W 1W， I I221解: 由图可知 ,摩擦力 f 相同 ,对全过程 , 由
17、动能定理W - fS=0 W= FsS1 S2W 1 W 2由动量定理I - ft=0I= ftt1 t2I1I 2v2vAvBt0t 2t 3t 4t 5t【练习】“神舟”六号飞船完成了预定的空间科学和技术实验任务后返回舱开始从太空向地球表面按预定轨道返回，返回舱开始时通过自身制动发动机进行调控减速下降，穿越大气层后，在一定的高度打开阻力降落伞进一步减速下落，这一过程中若返回舱所受空气摩擦阻力与速度的平方成正比，比例系数（空气阻力系数）为k，所受空气浮力恒定不变，且认为竖直降落。从某时刻开始计时，返回舱的运动 vt 图象如图中的 AD 曲线所示，图中 AB 是曲线在 A 点的切线，切线交于横
18、轴一点 B，其坐标为（ 8，0），CD 是曲线 AD 的渐进线，假如返回舱总质量为 M=400kg， g=10m/s2，求（ 1）返回舱在这一阶段是怎样运动的？（ 2 ）在初始时刻 v=160m/s ，此时它的加速度是多大？（ 3）推证空气阻力系数 k 的表达式并计算其值。6【练习】用伏安法测一节干电池的电动势和内电阻，伏安图象如图 5 所示，根据图线回答：（ 1）干电池的电动势和内电阻各多大？（ 2）图线上 a 点对应的外电路电阻是多大？电源此时内部热耗功率是多少？（ 3）图线上 a、 b 两点对应的外电路电阻之比是多大？对应的输出功率之比是多大？图 5（ 4）在此实验中，电源最大输出功率是
19、多大？命题意图：考查考生认识、理解并运用物理图象的能力B 级要求错解分析：考生对该图象物理意义理解不深刻无法据特殊点、斜率等找出E、 r、R，无法结合直流电路的相关知识求解解题方法与技巧：利用题目给予图象回答问题，首先应识图（从对应值、斜率、截面、面积、横纵坐标代表的物理量等），理解图象的物理意义及描述的物理过程：由U -I 图象知E=15 V ，斜率表内阻，外阻为图线上某点纵坐标与横坐标比值；当电源内外电阻相等时，电源输出功率最大（ 1）开路时 （ I=0）的路端电压即电源电动势，E1.5因此 E=15 V ，内电阻 r=I 短7.5=0 2 也可由图线斜率的绝对值即内阻，有r = 1.51
20、.0=0 2 2.5（ 2）a 点对应外电阻U a1.0 =0 4 Ra=I a2.5此时电源内部的热耗功率Pr=Ia2 r=2 52 0 2=1 25 W ，也可以由面积差求得Pr=IaE-IaU a=2 5(1 5-1 0) W=1 25 W（ 3）电阻之比：Ra1.0 / 2.54Rb=0.5 / 5.01输出功率之比：Pa1.02.51=0.5=Pb5.01（ 4）电源最大输出功率出现在内、外电阻相等时，此时路端电压U=E/2，干路电流7I=I 短 /2，因而最大输出功率P 出 m=1.5 7.5W=2 81 W22当然直接用 P 出 m=E2 /4r 计算或由对称性找乘积IU （对应
21、于图线上的面积）的最大值，也可以求出此值3函数法（极值问题） ，数学方法包括（ 1）用三角函数关系求极值；（ 2）用二次方程的判别式求极值； （ 3）用不等式“和积不等式”的性质求极值。【例 5】物体放置在水平地面上， 物理与地面之间的动摩擦因数为，物体重为 G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F 为多大？该题的已知量只有和 G，说明最小拉力的表达式中最多只含有和 G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力 F 可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F 与夹角有关的关系式再作分析。解：设拉力 F 与水平方向的夹角为，根据题意可列平衡方程式，即 F cosf
22、 0 N F sinG f N 由联立解得：FGGGcos12 (sin cos cos sin )1,sin2 sin()其中 tan1 , FminG12：一轻绳一端固定在 O 点，另一端拴一小球，拉起【例 6】OLAT小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中， 小球所受重力的瞬C时功率在何处取得最大值？N 解：当小球运动到绳与竖直方向成 角的 C 时，重力vmg FB的功率为：fP=mg cos =mg sinmg小球从水平位置到图中 C 位置时，机械能守恒有：8mgL cos1 mv 22解可得： Pmg 2gL cos sin 2令 y=co
23、ssinycossin 21 (2 cos2sin 4)21 ( 2 cos2sin 2sin 2)2又2 cos2sin 2sin22(sin 2cos2 ) 2根据基本不等式 abc3abc ，定和求积知：当且仅当 2cos2sin 2， y 有最大值由 2 cos21 cos2得 ：cos33结论：当 cos3时， y 及功率 P 有最大值。3【练习】（作图法）从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20 秒，前进了 50 米。求这过程中汽车达到的最大速度。V/m.s -1解：设最大速度为 vm 即加速阶段
24、的末速度为vm：,画出其速度时间图象如右图所示，图线与t 轴围成的面020t积等于位移。即：1VmSt2即： 5015m / s20Vm 解得 ：Vm2【练习】如图所示，光滑水平面上，质量为2m 的小球 B 连接着轻质弹簧，处于静止；质量为 m 的小球 A 以初速度 v0 向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B 运动，过一段时间，A与弹簧分离，设小球A、B 与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内（1）求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E（2）若开始时在小球B 的右侧某位置固定一块挡板(图中未画出 )，在小球A 与弹簧分离前A9Bmv02m第 18 题图使小球 B 与挡板发
25、生正撞，并在碰后立刻将挡板撤走设小球B 与固定挡板的碰撞时间极短，碰后小球B 的速度大小不变、但方向相反。设此后弹簧弹性势能的最大值为Em ，试求Em 可能值的范围解：（ 1）当 A 球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而 B 球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、 B 速度相同时，弹簧的势能最大设 A、 B 的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则 A、 B 系统动量守恒，有mv0(m2m) v由机械能守恒1 mv021 ( m2m)v2E22联立两式得E1 mv023（2）设 B 球与挡板碰撞前瞬间的速度为vB，此时 A 的速度为 vA系统动量守恒mv0mvA2mvBB 与挡板碰后
26、，以vB 向左运动，压缩弹簧，当A、B 速度相同（设为最大，有mvA2mvB3mv共1 mv0213mv共2Em22由两式得v共v04vB3联立式，得Em8m (vBv0 ) 23v023416当弹簧恢复原长时与小球B 挡板相碰， vB 有最大值 vBm，有mv0 mvA2mvBm1 mv021 mvA21 mvBm2222联立以上两式得vBm2 v032即 vB 的取值范围为0vBv03结合式知，当vv0时 E有最大值为Em112B4m2mv0当 vB 2v0 时， Em 有最小值为 Em2 1mv023274.方程法v 共 ）时，弹簧势能10物理习题中， 方程组是由描述物理情景中的物理概念
27、，物理基本规律， 各种物理量间数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的.列方程组解题的步骤(1)弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型.(2)按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架.(3) 据具体题目的要求以及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体.(4) 对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验.【例 7】如图所示，竖直固定的光滑绝缘的直圆筒底部放置一场源A，其电荷量 Q = 410 3 C，场源电荷 A 形成的电场中各点的电势表达式为Uk Q ，其中 k 为静电力恒量，rr 为空间某点到
28、 A 的距离有一个质量为m = 0.1 kg 的带正电小球 B， B球与 A 球间的距离为 a = 0.4 m，此时小球 B 处于平衡状态， 且小球 B 在场源 A 形成的电场中具有的电势能表达式为Qq，其中 r 为 q 与 Qkr之间的距离 有一质量也为m 的不带电绝缘小球C 从距离 B 的上方 H =0.8 m 处自由下落，落在小球B 上立刻也小球B 粘在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，它们向上运动到达的最高点P（取 g = 10m/s2， k = 9 109 N m2/C2），求：（ 1）小球 C 与小球 B 碰撞后的速度为多少？（ 2）小球 B 的带电量 q 为多少？（ 3）
29、 P 点与小球 A 之间的距离为多大？（ 4）当小球 B 和 C 一起向下运动与场源 A 距离多远时，其速度最大？速度的最大值为多少？解：（ 1）小球 C 自由下落 H 距离的速度 v0 =2gH = 4 m/s小球 C 与小球 B 发生碰撞，由动量守恒定律得： mv= 2mv ，所以 v= 2 m/s011（2）小球 B 在碰撞前处于平衡状态，对B 球进行受力分析知：mgk qQ，代入数据得：q410 8 Ca29（3） C 和 B 向下运动到最低点后又向上运动到P 点，运动过程中系统能量守恒，设P 与 A之间的距离为x，由能量守恒得：12mv 2k Qq2mg( xa)k Qq21ax2)
30、 m（或 x = 0.683 m ）代入数据得： x = (0.4511（4）当 C 和 B 向下运动的速度最大时，与A 之间的距离为y，对 C 和 B 整体进行受力分析有：Qq2，代入数据有： y =5m（或 y = 0.283 m ）2mg k y212mv12Qq12mvm2Qq由能量守恒得：k2mg(a y) k2a2y代入数据得： vm16 8 2 m/s （或 vm = 2.16 m/s）【练习】如图所示， ABC 为光滑轨道， AB 部分呈水平状态，BC 部分为半径为 R 的半圆环，整个装置处于竖直平面内。AB 上静止一个质量M=0.99 千克的木块，一颗质量为0.01千克的子弹
31、以 400 米 /秒的水平速度打入木块且不穿出，然后沿轨道运动到半圆最高点，要使木块平抛的水平位移最大，半圆环 BC 的半径应多大？最大水平位移多大？（g 取10m/s2） (1 R=0.2mSmax=0.8m )5. 递推法、凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”.该类问题求解的基本思路为：(1)逐个分析开始的几个物理过程(2) 利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式( 是解题的关键 )，最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题； 无穷数列的求和， 一般是无穷递减等比数列，有相应的公式可用 .【例 8