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1、问题 18 等差数列、等比数列的证明问题一、考情分析等差数列与等比数列的证明是高考热点，一般出现在解答题第一问，等差数列与等比数列的证明难度虽然不大，但有一定的技巧性，且对规范性要求较高，解题时要避免会而不对或对而不全二、经验分享1. 等差数列证明方法主要有： (1) 定义法： anan 1( n2, nN* ) 为同一常数 ? an 是等差数列； (2) 等差中项法： 2an an 1 an 1( n2, n N* ) 成立 ? an 是等差数列； (3) 通项公式法： anpn q( p, q 为常数 ) 对任意的正整数n都成立 ? an 是等差数列； (4) 前n项和公式法：验证数列 n
2、 的前n项和n2( ,为常数 )aSAnBn A B对任意的正整数n 都成立 ? an 是等差数列；1【点评】证明数列1成等比数列的关键是利用已知得出an 22an 11a 1 2a12.nn2aa1nn【小试牛刀】 【安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟） 2018 届高三上学期期末】已知数列满足，且（ 1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（ 2）令，求数列的前项和（ 2）由（ 1）知，( 二 )运用等差或等比中项性质是等差数列 , 是等比数列 , 这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法【例 2】正数数列和满足：对任意自然数成等差数列, 成等比数列证明：
3、数列为等差数列【点评】本题依据条件得到与的递推关系 , 通过消元代换构造了关于的等差数列 , 使问题得以解决通过挖掘的意义导出递推关系式 , 灵活巧妙地构造得到中项性质 , 这种处理大大简化了计算1【小试牛刀】已知等比数列 an 的公比q 2.1(1) 若 a34,求数列 an 的前n 项和；*k,k 2, ak 1成等差数列(2) 证明：对任意 k N , aa1n【解析】 (1) 由通项公式可得a a12 1S 1 1 212 4, 解得 a 1, 再由等比数列求和公式得131n1 21 n 12 23 .(2) 证明： k N* , 2ak 2( ak ak 1) 2a1qk1 ( a1
4、qk 1 a1qk) a1qk 1(2 q2 q 1)1 21 a1qk 1 2 2 2 1 0, 2ak 2 ( ak ak 1) 0, 对任意 k N* , ak, ak 2, ak 1 成等差数列( 三 )反证法解决数学问题的思维过程, 一般总是从正面入手, 即从已知条件出发, 经过一系列的推理和运算, 最后得到所要求的结论 , 但有时会遇到从正面不易入手的情况, 这时可从反面去考虑如：【例 3】设是公比不相等的两等比数列, 证明数列不是等比数列【点评】本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力, 对逻辑思维能力有较高要求要证不是等比数列 , 只要由特殊项（如）就可否定一般地讲
5、, 否定性的命题常用反证法证明, 其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性【小试牛刀】【江苏省泰州市2019 届高三上学期期末】已知数列的前 n 项和为 Sn，且对任意的nN*，n2都有。（ 1）若 0，求 r 的值；（ 2）数列能否是等比数列？说明理由；（ 3）当 r 1 时，求证：数列是等差数列。【解析】（1）令 n2，得：，即：，化简，得：，因为，所以，解得： r 1.（ 2）假设是等比数列，公比为，则，且，解得或，由，可得，所以，两式相减，整理得，两边同除以，可得，因为，所以，【小试牛刀】已知等比数列 a 的公比为q, 记 b a a am( n 1), c am(
6、n1) annm( n 1) 1m( n 1) 2mn 1m( n 1)2am( n1) m(, N* ),则以下结论一定正确的是()m nn, 公差为 qmA数列 b 为等差数列B数列 bn 为等比数列 , 公比为 q2mC数列 cn 为等比数列2, 公比为 qmD数列 c 为等比数列m, 公比为 qmn【答案】 C2mbn 1amn 1mm【解析】 1),bnamn 1m q , 故数列 b 为等比数列 , 公比为 q , 选项 A,Bb a ( 1) 1(1 q q qnm nnm1 2 ( m 1),cn 1mm22均错误； cn am（n 1） 1 qcn (q ) qm, 故数列
7、cn 为等比数列 , 公比为 qm,D 错误 , 故选 C.五、迁移运用1. 已知数列满足 , 则“ 数列为等差数列”是“ 数列为等差数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D即不充分也不必要条件【答案】 A2 已知数列的前项和, 则“是“数列是等比数列”的（）A充分不必要条件C充要条件DB必要不充分条件 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时, 不是等比数列；若数列是等比数列, 当时 , 与数列是等比数列矛盾, 所以 , 因此“是“数列是等比数列”的必要不充分条件, 选 B.因为对任意，总存在数列中的两个不同项，使得，所以对任意的都有，明显.若，当时，有，不符合题意，舍
8、去；若，当时，有，不符合题意，舍去；故 .8【山西省晋城市2018 届高三上学期第一次模拟】已知数列满足，.（ 1）求证：数列是等比数列；（ 2）求数列的前 10 项和 .9【云南省昆明市第一中学2018 届高三第五次月考】已知数列满足.（ 1）证明：是等比数列；（ 2）令，求数列的前项和 .【解析】（1）由得：，从而由得，是以为首项，为公比的等比数列10【江苏省镇江市2018 届高三上学期期末】已知数列的前项和，对任意正整数，总存在正数使得，恒成立：数列的前项和，且对任意正整数，恒成立.（ 1）求常数的值；（ 2）证明数列为等差数列；（ 3）若，记，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，
9、若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由 .【解析】（1）， - 得：，即，又，时，；时， .为正数又因为，所以数列是以1 为首项，以2 为公比的等比数列.（ 2）由（ 1）知，因为，所以，所以 .13【河南省南阳市第一中学校2018 届高三第七次考试】已知数列数列的前项和且，且.（ 1）求的值，并证明： ；（ 2）求数列的通项公式 .14【福建省三明市A 片区高中联盟校2018 届高三上学期阶段性考试】已知各项为正数的数列，前项和，是与的等差中项（） （ 1）求证：是等差数列，并求的通项公式；（ 2）设，求前项和15【湖北省部分重点中学2018 届高三上学期第二次联考】设数列的前项和为，点在直线上.（ 1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（ 2）设直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，记（其中为坐标原点） ，求数列的前项和 . 【解析】（1）点在直线上，（ i ）当时， .（ ii ）当时， - 即 .数列是首项为，公比为的等比数列.（ 2）由已知即数列是首项为2，公比为2 的等比数列，.（ 2）设为数列的前项和，则，当时，两式相减得，经验证当时也成立，故，当时，故当时，.利用错位相减法可求得， .又也符合上式，故数列的通项公式为.