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1、基础强化（ 8）解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180； C=180 -(A+B) ； . 三角形三边关系： a+bc; a-bBC 则60A90 ,0C602、三角形中的基本关系：sin( AB)sin C , cos( AB)cosC , tan(AB)tan C ,sin ABcos C ,cos ABsin C , tan A2Bcot C222223、正弦定理：在C 中， a 、 b 、 c 分别为角、 C 的对边， R 为C 的外接圆的半径，则有abc2R sinsinsin C4、正弦定理的变形公式：化角为边： a2Rsin， b2R sin， c2Rsin C ；化边为
2、角：sina， sinbc；2R， sin C2R2Ra : b : csin:sin:sin C ；abcabc=2Rsinsinsin Csinsinsin C5、两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)6、三角形面积公式：S111ac sin2abc=r (abc)Cbc sinab sin C2 =2R sinAsinBsinC=4R2227、余弦定理：在C 中，有 a2b2c22bc cos， b2a2c22ac cos，c2a2b22ab co
3、sC 8、余弦定理的推论：cosb2c2a2a2c2b2a2b2c22bc， cos2ac， cosC2ab9、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角10、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点11. 仰角与俯角，方向角与方位角题型一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题例 1. （1）在ABC 中，已知
4、 A45o ， B60o ， a42 cm，解三角形（ 2）在ABC中， c6, A45o, a2,求 b和 B,C （ 3）在ABC中， b3, B60o, c1,求a和 A,C （ 4）在 ABC 中，已知 a3 ， b2 ， B45o ，求 A,C 和 c （ 5）在 ABC 中，已知三边长a3 ， b4 ， c37，求三角形的最大内角1 .在 ABC 中， a 4， b5， c 6 ，则 sin 2 Asin C2.在 ABC 中，已知 AB46 , cos B6， AC 边上的中线 BD=5 ，求 sinA 的值36题型二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形
5、状例 2（ 1）在 ABC 中， a 2b cosC ，则此三角形一定是（）A. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形（2）在 ABC 中，若 sin C 2cos Asin B ，则此三角形必是（）A. 等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D. 等腰直角三角形（3）设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ，若 a(bc)cos C ,则ABC 的形状是A. 等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.锐角三角形1、在 ABC 中，若 lgsin A lgcos Blg sin C lg 2, 则ABC 的形状是 ()A直角三角形B等边三角形C不
6、能确定D等腰三角形2在 ABC 中，若 b cosC ccos Ba sin A ,则 ABC 的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定题型三：与面积有关问题例 3、已知向量 m(sin x, 3 sin x), n(sinx,cosx), 设函数 f (x) m n,若函数 g(x) 的图象与 f ( x) 的图象关于坐标原点对称(1)求函数 g (x) 在区间 , 上的最大值，并求出此时x 的值；463(2)在ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B,C 的对边， A 为锐角，若 f ( A) g( A),2bc 7, ABC 的面积为2 3, 求边 a 的长1
7、.、在ABC中，内角A, B, C的对边分别为a,b, c.已知cosA2 , sin B5 cosC.3(1)求tan C的值；(2)若a2,求ABC 的面积 .2.已知 ABC 的周长为21，且 sin Asin B2 sin C （ I）求边 AB 的长；（ II）若 ABC 的面积为 1 sin C ，求角 C 的度数6题型之四 ：三角形中求值问题1. 在 ABC 中， A、 B、 C 所对的边长分别为a、 b、c ，设 a、b、c 满足条件 b2c 2bca 2 和 c13 ，求 A 和 tan B 的值b22在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为22a，b，c ，已知
8、sin A，（ 1）求32 B C2A2 ， 2 ，求 b 的值。tansin的值；（ 2）若 a22S ABC3在 ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a， b，c ，已知 c2 ， C3（ ）若 ABC 的面积等于3 ，求 a，b ；（ ）若 sin Csin( BA)2sin 2 A ，求 ABC 的面积题型五：解三角形中的最值问题例 5. 在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 c2 ， C3（ 1） 求 ABC周长的取值范围（ 2） 求 ABC面积的取值范围1.在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知cosC(cos
9、 A3 sin A) cos B0 .1）求角 B 的大小； (2)若 ac1 ，求 b 的取值范围2 ABC 在内角A, B,C 的对边分别为a, b, c , 已知 ab cosCcsin B .( ) 求 B ;( ) 若 b2 , 求 ABC 面积的最大值 .3.已知 a, b, c 分别为ABC 的三个内角A, B,C 的对边， a =2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C ，则ABC 面积的最大值为.4. 设锐角三角形 ABC的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c， a=2bsinA. （）求 B 的大小；（）求 cosA+sinC 的取值范围 .5.
10、ABC 的三个内角为A、B、C ，求当 A 为何值时， cos A2cos BC 取得最大值，并2求出这个最大值。题型六：图形中的解三角形例 6.如图，在ABC 中， D 是边 AC 上的点，且ABAD,2AB3BD , BC 2BD ，则 sin C 的值为3366A.B.C.D.36361.如图 ABC 中 ,已知点 D 在 BC 边上 , ACAD ,sinBAC22 , AB3 2, AD 3 ，则 BD 的长为 _ _.3题型七：正余弦定理解三角形的实际应用（一）测量问题C1.如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B 两点，望对岸标记物 C，测得 CAB=30， CBA=75， AB=120cm，求河的宽度。ADB图 1（二）遇险问题2.某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向，此舰艇以30 海里 / 小时的速度向正东前进，30 分钟后又测得灯塔在它的东 30北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？北西1530东ABC南图 2（三）追击问题3.如图 3，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东45方向，距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南偏西 15方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？北A45B15C图 3