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1、第 30 课 圆的有关性质知识点圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质大纲要求1 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；2 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；3 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的 2 倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直
2、线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；4 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的圆周角的 2 倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径；5 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题；6 注意：（ 1）垂径定理及其推论是指：一条弦在“过圆心”“垂直于另一条弦”“平分这另一条弦”“平分这另一条弦所对的劣弧”“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当为条件时
3、要对另一条弦增加它不是直径的限制） ，条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10 条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（ 2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直， 反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分； （ 3）见到四个点在圆上想到有4 组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。考查重点与常见题型1 判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（）(A)
4、 相等的圆心角所对的弧相等(B)平分弦的直径垂直于弦(C) 长度相等的两条弧是等弧(D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴2 论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。考点训练：1在 ABC中， C=90， AB 3cm， BC 2cm,以点 A 为圆心，以2.5cm 为半径作圆，则点C和 A的位置关系是（）(A)C 在 A 上 (B)C在 A 外 (C)C在 A 内(D)C在 A 位置不能确定。2一个点到圆的最大距离为11cm，最
5、小距离为5cm,则圆的半径为(A)16cm 或 6cm, (B)3cm或 8cm(C)3cm（ D）8cm()3. 如图，弦 AC， BD相交于 E，且 AB， BC， CD的弧长相等， AED 30，则 AED的度数是（）(A)150 (B) 105(C) 120（ D） 140 4. 在 ABC中， C=90， O是 BC上的一点，以OB为半径作 O交于 AB 于 D，交 BC于 E， A=30 BD=6，则 O的直径是 ()(A)12(B) 9(C) 6（ D)35 AB是 O直径， AB=4， F 是 OB中点，弦CD AB于 F，则 CD=_6 ABC内接于 O， OD BC， BO
6、D 36，则 A7圆内接 ABC中， AB AC，圆心到BC的距离为 3cm，圆的半径为7cm，则腰长AB8四边形ABCD内接于圆， AB， BC， CD， DA的弧长之比为5：8： 3： 2 则 ABC9如图， O中两条不平行弦AB和 CD的中点 M，N. 且 ABCD，求证： AMN CNM10如图，四边形 ABCD内接于 O， ADC 90， B 是弧 AC的中点， AD 20， CD 15, 求 BD 的长。解题指导。1如图， O1 的圆心在 O 的圆周上， O和 O1 交于 A， B， AC切 O1 于 A，连结 CB， BD是 O的直径， D 40求： A O1B、 ACB和 CA
7、D的度数。22如图， AB是 O直径， ED AB于 D，交 O于 G， EA交 O于 C， CB交 ED于 F，求证： DG DE?DF3如图， O是 ABC外接圆， AD BC于 D，交 O于 N，AE 平分 BAC交 O 于 E，求证：AE 平分 OAD4已知，如图 O为圆心， AOB 120，弓形高 ND 2cm，矩形 EFGH的两顶点 E， F 在弦 AB 上， H， G在弦 AB上，且 EF 4HE，求 HE的长。独立训练：1三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（ A） 锐角三角形 （ B）钝角三角形 （ C）直角三角形2边长为 2 的等边三角形的外接圆的半径是（3（ A） 3（
8、 B） 3（ C） 2 3）（D）等腰三角形）23（ D）33，圆内接四边形ABCD中，四个角的度数比可顺次为（）（ A） 4： 3： 2：1（ B） 4： 3：1： 2（ C） 4： 2： 3： 1（ D） 4： 1： 3 ： 24 AB是 O的弦， AOB 80则弦 AB所对的圆周角是（）(A)40 (B) 140或 40(C) 20（ D） 20或 1605 AB是 O 的弦， C 为 O上的一点，弧AC， CB的长比是1： 2，弦 BC 12cm,则 O半径为cm6 O直径为 8，弦 AB 42 ，则 AOB。7圆的半径为2cm，圆内一条弦长为23 cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点间的距离为，这条的弦心距为8已知 O中，半径 OD直径 AB， F 是 OD中点，弦 BC过 F 点，若 O半径为 R则弦 BC长9如图， ABC内接于 O，且 BC是 O的直径， AD BC于 D， F 是弧 BC中点，且AF 交 BC于 E，AB 6， AC 8，求 CD， DE，及 EF 的长。ABECDOF10如图，弦EF直径 MN于 H，弦 MC延长线交EF的反向延长线于A，求证： MA?MC MB?MDACEOHMNBD