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1、江苏省如东中学xx 年高三数学试题xx.3 。 20本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分，用时 120 分钟第卷（选择题，满分 50 分）一、选择题（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上）1条件 p : x 12 ，条件 q : x 2 ，则p 是 q 的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2若 log 2x1 log a x2log( a 1) x30(0a 1) ，则 x1 ， x2， x3 的大小关系是（）aA x3x2x1B x2x1x3C x2
2、 x3 x1D x1x3 x23函数 yA sin(x) ( 0,| ， x R) 的部分图象如图所y2示，则函数表达式为A y4sin(x)B84C y4sin(x)D 84y4sin(x)84y4sin(x)844-2O6x-44以抛物线 x22 y 上点 P(2, 2)为切点的切线，与其准线交点的横坐标为15311A B CD24445已知正三棱锥SABC 的三条侧棱两两互相垂直，且SA=2 3 ，则正三棱锥SABC 的外接球的表面积是A. 12B. 32C. 36D. 486设椭圆 x2y21、双曲线x2y 21、抛物线 y22(m n) x （其中 m n0 ）的离心率分别m2n2m
3、2n2为 e1 , e2 , e3 ，则A e1e2 e3B e1e2 e3C e1e2 e3D e1e2与 e3 大小不确定7将 n2 个正整数 1,2,3,L , n2 填入 nn 方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方 . 记 f (n) 为 n 阶幻方对角线上数的和，如右图就是一834159672个 3 阶幻方，可知f (3)15 . 已知将等差数列： 3,4,5, L前 16项填入 44 方格中 , 可得到一个4 阶幻方 ,则其对角线上数的和等于A 36B 40C 42D 44D1C18在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， P 为 BD 上任
4、意一点，则一定有B1A1A PC1 与 AA1 异面B PC1 与 A1C 垂直DCC PC1 与平面 AB1D1 相交D PC1 与平面 AB1D1 平行APB9设 f ( x)1，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得3x3f (12)f ( 11)f ( 10)Lf (0) Lf (11)f (12)f (13)的值为A 3B 13 3C 28 3D 13 333y10已知奇函数f (x) 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为1 1,0)(0,1 ，则不等式 f (x)f ( x)1的解集是1o1 xA x | 1 x 1且 x 0 B x | 1 x1或 0 x
5、 112( 第 10 题图 )Cx | 1 x 0Dx | 1 x 0或 1x 12第卷（非选择题，共计100 分）二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30分，把正确的答案填在指定位置上）11若 tan=2，则 2sin 23 sin2=_212若 ( 3 x1 )n(n N) 的展开式中第3 项为常数项， 则展开式中二项式系数最大的是第_项x13在等比数列 an 中，公比 q 2 ，前 99项的和 S9930 ，则 a3 a6a9La99_ 14在平面直角坐标系中,点 A在圆 ( x1)2y21上 ,点 B在直线 xy 10上 ,则线段 AB 的最小值=.x2y21(ab0)的焦
6、点 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于A,B两点 ,若15设 F1 , F2 为椭圆2b2ae 的取值范围是ABF2为锐角三角形则该椭圆离心率.,16下面的语句是一个计算机程序的操作说明：（ 1）初始值为x 1, y 1, z0, n 0 ；（ 2） nn1（将当前 n1的值赋予新的 n ）；（ 3） xx2 （将当前 x2 的值赋予新的 x ）；（ 4） y2 y （将当前 2y的值赋予新的 y ）；（ 5） zzxy （将当前zxy 的值赋予新的 z ）；（ 6）如果 z 7000，则执行语句（ 7），否则返回语句（ 2）继续进行；（ 7）打印 n, z；（ 8）程序终止由语句（
7、 7）打印出的数值为_ ， _ 三解答题（本大题共5 个小题，共70 分）17（本题满分12 分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响 .求：( )该应聘者用方案一考试通过的概率；( )该应聘者用方案二考试通过的概率.18（本题满分 14 分）已知函数f (x) x3ax23x （）若 f (x) 在 x 1,) 上是增函数，求实数a 的取值范围；（）若 x 3 是
8、f ( x) 的极值点，求 f( x) 在 x1,a 上的最小值和最大值19 （本题满分14 分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB DC ，DAB90 , PA底面 ABCD ，且 PA=AD=DC=1 AB=1 ， M 是 PB 的中点。2（）证明：面PAD面 PCD；（）求 AC 与 PB 所成的角；（）求面AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。20（本题满分 13 分）函数 yx 2xn (nN, y 1) 的最小值为 an , 最大值为 bn , 且 cn 4( anbn1),x 212数列 Cn 的前 n 项和为 Sn （）求数列 cn 的通项公式；（）若数列 dn
9、是等差数列，且 dnSn，求非零常数 c ；ncdn( nN) ，求数列 f (n) 的最大项（）若 f (n)(n 36)dn 121（本题满分14 分）(1)已知抛物线y 22px (p0),过焦点F 的动直线l交抛物线于A , B 两点 ,O 为坐标原点, 求证 :OAOB 为定值 ;(2) 由 (1) 可知 : 过抛物线的焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A , B 两点 , 存在定点 P , 使得PAPB 为定值 . 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明 .如东中学 xx 年高三数学模拟考试（3）参考答案1 A 2 C 3 B 4 C 5 C 6 B 7 A 8 B 9 D 10
10、B11212 5 13 12014 15 21e116n8, z76825717 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A， B,C，则 P(A)=0.5 ，P(B) 0.6， P(C)=0.9.- - - - - - - - - - - - -2分( ) 应聘者用方案一考试通过的概率p1=P(AB C )+P( A BC)+ P(A B C)+P(ABC)=0.50.6 0.1+0.5 0.6 0.9+0.5 0.4 0.9+0.5 0.60.9 =0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.- - - - - - - - - - - - -7分( ) 应聘者用方案二考试通过
11、的概率21B)+1P(BC)+1p =P(A3P( A C)33=1 (0.5 0.6+0.6 0.9+0.5 0.9)3=1 1.293=0.43- - - - - - - - - - - - -12 分18解： ( )f ( x)3x22ax 3 ，要 f (x) 在 x1 ， ) 上是增函数，则有3x22ax30 在 x1 ， ) 内恒成立，即 a3x3在x13x32， ) 内恒成立 , 又23（当且仅当 x=1 时，取等号），所以 a 32x2 x（）由题意知f ( x) 3x22ax3 0 的一个根为x3，可得 a5 ，所以 f (x)3x210 x30 的根为 x3 或 x1( 舍
12、去 ) ，又 f (1)1， f (3)9， f (5)15 ，3f （ x）在 x1， 5 上的最小值是f (3)9 ，最大值是 f (5)15 19本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分 14分.方案一：（）证明： PA面 ABCD ，CD AD ，由三垂线定理得：CD PD.因而， CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD ， PD 都垂直， CD面 PAD.又 CD 面 PCD，面 PAD 面 PCD.（）解：过点B 作 BE/CA ，且 BE=CA ，则 PBE 是 AC 与 PB 所成的角 .连结
13、AE ，可知 AC=CB=BE=AE=2 ，又 AB=2 ，所以四边形 ACBE 为正方形 . 由 PA面 ABCD 得 PEB=90 在 Rt PEB 中 BE= 2 ， PB=5 ，cos PBEBE10 .PB510AC与 PB所成的角为 arccos.（）解：作AN CM ，垂足为N，连结 BN.在 Rt PAB 中， AM=MB ，又 AC=CB ， AMC BMC, BN CM ，故 ANB 为所求二面角的平面角. CB AC ，由三垂线定理，得 CBPC，在 Rt PCB 中， CM=MB ，所以 CM=AM.在等腰三角形AMC 中， AN MC= CM2( AC )2 AC ，
14、2326AN 2BN 2AB 22AN2AB=2 ，5.cos ANBANBN3522故所求的二面角为arccos(2 ).3方法二：因为PA PD，PAAB ，AD AB ，以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （ 0，0， 0） B（ 0，2， 0）， C（ 1， 1，0）， D（ 1，0， 0）， P（ 0， 0， 1）， M （ 0， 1， 1 ) .2（）证明：因AP(0,0,1), DC(0,1,0), 故 AP DC0, 所以 APDC .由题设知 AD DC ，且 AP与 AD 是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD.又 DC
15、 在面 PCD 上，故面 PAD面 PCD.（）解：因AC(1,1,0), PB(0,2, 1),故 | AC |2 ,| PB |5, ACPB 2, 所以cos AC, PBACPB10 .| AC | | PB |5（）解：在MC 上取一点 N （ x， y， z），则存在R, 使 NCMC ,NC (1 x,1y,z), MC(1,0,1 ),x 1, y1, z1 .21 z4 .2要使 ANMC ,只需 ANMC0即 x0, 解得25可知当4 时, N点坐标为 (1 ,1, 2 ),能使 AN MC0.555此时 , AN( 1 ,1, 2 ), BN(1 ,1, 2 ), 有 B
16、NMC05555由 AN MC0, BNMC0得ANMC , BNMC .所以 ANB 为所求二面角的平面角 .| AN |3030, ANBN4, | BN |5.55cos(AN, BN)ANBN2 .| AN | BN |3故所求的二面角为 arccos( 2).320解：（）由 yx22xn ,( nN*, y1),得 x2 ( y1) xyn0x1Q xR ， y1，14( y1)(yn)0,即4 y 24(1n) y4n1 0由题意知： an ,bn 是方程 4 y24(1n) y4n10 的两根，anbnn14Cn4n 3,(nN*)（） Sn2n 2n,d n2n 2n ，d1
17、1, d226,d315nc1cc3 cQ dn 为等差数列，2d2d1d3 ，2c2c0 ，c1 或c0(舍 )2经检验 c1 时， dn 是等差数列， dn2n2（） f (n)2n111(n36)(2n2)n36373723649n当且仅当n36 即n时取n6的最大值为1.f ( n )49（本小题满分14 分）21 23解 : (1) 若直线 l垂直于 x 轴 ,则 A ( p ,p) , B( p ,p) .22OA OB ( p ) 2p23 p2 . 2 分24p) , A ( x 1 , y1 ) B(x 2 , y 2 ) .若直线 l 不垂直于轴 ,设其方程为 y k( x
18、2yk( xp2)k 2 x 2p(2k 2 )xpk 20由2y22px4x 1x 2( 2k 2 ) p,x 1x 2p2. 4 分k 24p )(x 2p )OA OB x 1x 2y1 y 2x1 x 2k 2 (x 1p2 k 222(1 k 2 )x 1 x 2p k 2 (x1x 2 )24(1k2p2p2 ( 2 k 2 )p p2 k 232)kk 24p.424综上 ,OAOB3 p2 为定值 . 6 分4(2) 关于椭圆有类似的结论:x 2y21 (a0, b0) 的一个焦点 F 的动直线 l 交椭圆于 A 、 B过椭圆b2a2两点 , 存在定点 P ,使 OAOB 为定
19、值 . 7分证明 :不妨设直线 l过椭圆 x 2y 21的右焦点 F(c, 0) ( 其中 ca2b2 )a2b2yk( xc) ,A ( x1 ,y1 ) B(x 2 ,y 2 ) .若直线 l不垂直于轴 ,则设其方程为 :yk( xc)由 x 2y21(a2 k 2b2 ) x 22a2ck 2 x (a2 c2 k 2a2 b 2 ) 0 得 :a2b2所以 x 1x 22a 2ck 2,x 1x 2a2 c2 k 2a 2b 2. 9 分a2 k 2b2a 2k 2b 2由对称性可知 , 设点 P 在 x 轴上 , 其坐标为 ( m,0).所以 PA PB(x1m )( x 2m )
20、y1 y 2(1 k 2 )x 1 x 2(m ck 2 )( x 1x 2 ) m 2c2 k 2(1 k 2 ) a 2 c2 k 2a2 b2(m ck 2 )2a2 ck 2m 2c2 k 2a2 k 2b2a2 k 2b 2(a 4a2 b2b 4a 2 m 22a 2cm)k 2(m 2a2 )b2a2 k 2b2要使 PAPB 为定值 ,只要 a 4a2 b 2b4a2 m 22a2 cm a2 ( m 2a2 ),即 m2a4a2 b2b4( 2a2b 2 )c (3 e2 )c2222a c2a此时 PAPBm 2a2(2a 2b2 ) 2 c 24a6b4 (c 24a2 ) 12 分4a 44a42a2 (2a 2若直线 l 垂直于 x 轴 , 则其方程为 x c, A (c, b 2) , B(c,b 2) .aa取点 P(2a 2b2 )c , 0)有 PAPBb2 )cc 2b 4b 4 (c24a2 ). 2a2a24a4综上 ,过焦点 F(c, 0)的任意直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点 , 存在定点使 PAPBb4 (c 24a2 ). 为定值 . 14 分4a413 分( 2a2b2 )cP(2a2, 0)