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1、第六讲一元函数微积分的应用一、考试要求1、理解（了解）函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。2、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。3、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径（*）4、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力、质心等）及函数的平均值。（数三、四只要求面积、旋转体的体积及简单的经济应用）二、导数的应用主要涉及如下几个方面1、求曲线的切线及法线方程2、
2、判断函数的单调性、凹凸性3、研究函数的极值和最值4、证明恒等式（不等式）5、求渐进线方程6、函数作图7、方程根的确定1、求曲线的切线与法线方程1 、切线方程2 、法线方程yy0f ( x 0 )( xx 0 )yy01x0 )( xf ( x 0 )注：若 f ( x 0 )0 ，切线方程为 yf ( x 0 ) ，法线方程为 xx 0若 f ( x 0 )，切线方程为 xx 0 ，法线方程为 yf ( x0 )例 1、设 f ( x ) 是可导的偶函数，它在x 0 的某邻域内满足f (e x2)3 f (1sin x 2 ) 2x 2o( x 2 ) ，求曲线 yf ( x)在点 ( 1,
3、f ( 1) 处的切线方程及法线方程。1arctan x2例 2、（ 021）已知曲线 yf ( x) 与 ye t dt0在 (0,0) 处的切线相同，写出此切线方程，并求极限lim nf ( 2 )nn2、函数的单调性、凹凸性、极值、曲线的拐点函数的单调性与极值定理：设 f(x) 在 a,b 上连续，在 (a,b) 内可导， 如果在 (a,b) 内 f ( x)0 ，则函数 y=f(x) 在a,b上单调增加； 如果在 (a,b) 内 f ( x)0 ，则函数 y=f(x) 在a,b上单调减少 .定理： 1)( 取极值的必要条件 ) 设 f (x) 在 x0 达到极大或极小值，并且在x0 的
4、某个邻域内可微，则f (x0 )0.2）两个充分条件：（1）如果存在0 使得 (i)f ( x) 在 ( x0, x0) 中有定义；（ ii ）f (x)0,x(x0, x0 ) ; （iii） f (x)0,x(x0 ,x0 ) ; 则函数 f ( x) 在 x0的达到极小值。类似： f (x) 在 x0 的达到极大值。（2）如果存在0 使得 (i)f ( x) 在 ( x0, x0) 中有定义；（ ii ）f (x0 )0 ;（iii） f (x0 )0;则函数 f ( x) 在 x0 的达到极大值。类似： f (x) 在 x0 的达到极小值。3 函数的最大值、最小值4 函数图形的凹凸性和
5、拐点1）凹凸性的定义，性质和判别方法（见第六章）；2）拐点的定义：连续曲线上凹凸的分界点。3）求法：若 f ( x0 )0 ( 或 f ( x0 ) 不存在但 f ( x) 在 x0 连续 ) ，则当 f (x) 在x0 的左右两侧的某个邻域内符号恒保持相反时，( x0 , f ( x0 ) 是曲线的 yf (x) 的拐点；当 f ( x) 在 x0 的左右两侧的某个邻域内符号恒保持相同时，( x0 , f ( x0 ) 不是曲线的 yf (x) 的拐点。2例 3、已知 f ( x ) 0, lim f ( x )0 ，则当 x0 时， f(x)x 0x（A） 单调递减大于零（B）单调递增大于
6、零（C） 单调递减小于零（D）单调递增小于零例 4、设函数 f(t)满足 tf(t)0(tx1 )dt ( x 0)0) ，则函数 F(x)= f (21t的单调减少区间为例 5、设 f(x) 在 x=0 的某邻域内连续，且 limf ( x)1 ，则 x=0 处 f(x)x 0x 2(A) 取得极大值(B) 取得极小值 (C)不可导(D) 可导且 f (0) 0例 6、（ 031）设 f(x) 在 (,) 内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x) 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点yOx3例 7
7、、已知 f(x) 满足 f (x) f ( x) 2x ，且 f (0) 0 ，则(A) f(0) 是 f(x) 的极大值(B) f(0)是 f(x) 的极小值(C) (0,f(0)是曲线 y=f(x) 的拐点 (D) f(0)不是极值， (0,f(0)不是拐点例 8、（ 0512，11 分） 如图，曲线 C 的方程为 y=f(x), 点（ 3，2）是它的一个拐点，直线 l1 与 l 2 分别是曲线 C 在点（ 0，0），（ 3，2）处的切线，其交点为（ 2，32x) f ( x) dx 。4）。设函数 f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分( x0例 9、设 f(x) 满足xf( x)3x
8、f ( x) 21e x , 且 f( x) 连续(1) 若 f(x) 在 x=c（c 0）处有极值，证明它是极小值；(2) 若 f(x) 在 x=0 处有极值，它是极小值还是极大值？4例 10、试求x2 x , x0f (x)的极值x 1, x0例 11、求函数 f(x)=x2(2 t )e t dt 的最大值和最小值0例 12、（ 102）求函数 f xx2x2t e t 2dt 的单调区间与极值 .1.53、利用导数证明不等式例 13、求证：当 x0 时，arctan xln( 1 x )1 x例 14、 (99 1) 试证：当 x0 时， ( x2) ln x (x) 2 .11例 1
9、5、 (99 4) 证明：当 0 x时，有 sin xx26例 16、（ 0412）设 eabe2 ，证明 ln 2 bln 2 a42 (b a)e本题也可设辅助函数为( x)ln 2 xln 2 a42 ( x a), e a x e2 或4e( x) ln 2 b ln 2 x(bx), ex be2 ，再用单调性进行证明即可。e24、函数作图 ( 渐近线 )作图步骤 ：y=f(x)(1) 确定定义域；(2) 求 f ( x), f ( x) ;(3) 求单调区间、凹凸区间；极值、拐点；(4) 求渐近线；(5) 描点作图。曲线的渐近线1）如果 limf ( x)C （常数），则 y C
10、是曲线 yf ( x) 的一条水平渐近线；x2）如果 limf ( x)，则 x x0 是曲线 yf (x) 的一条垂直渐近线；x x03）如果 limf (x)a （常数），且 lim f (x)axb（常数），则 y axb 是xxx曲线 yf ( x) 的一条斜渐近线；注 上述极限都可以换为单边极限。71例 17、运用导数的知识作函数y( x6)ex的图形。例 18、（ 0034）求函数 y( x 1)e 2 arctan x 的单调区间和极值及该函数图形的渐近线。例 19 （07数 1-2）曲线 y1ln(1ex ) 的渐近线的条数 -x（ A）0.（B） 1.（ C） 2.（D） 3
11、.85 求曲线的曲率，曲率半径设 y=f(x): ky, 或曲线x(t ) ， k(t )(t )(t )(t )(1y 2 ) 3y(t )(2 (t )2 (t ) 3曲率半径1R例 20（092）若 fK上的曲率圆为 x2y2( x) 不变号，且曲线 yf (x) 在点 (1,1)2 ，则 f (x) 在区间 (1,2) 内（）（ A）有极值点，无零点 .（B）无极值点，有零点 .（ C）有极值点，有零点 .（D）无极值点，无零点 .【答案】 应选 B【详解】 由题意可知， f ( x) 是一个凸函数，即 f( x)0 ，且在点 (1,1)处的曲率| y |31 ，(1( y )2 )2
12、2而 f (1)1，由此可得，f (1)2 ，在 1,2 上， f ( x) f (1)1 0，即 f ( x) 单调减少，没有极值点。由拉格朗日中值定理f (2)f (1)f ( )1，(1,2) ，所以 f (2)0 ，而 f (1)10 ，由零点定理知，在(1,2) 内 f ( x) 有零点，故应选（ B）.二、定积分的应用(1) 平面图形的面积：1) y=f(x)与 x 轴 ( a2)a x b, f ( x)3),0 rbx b) 所围图形的面积f ( x) dxayg( x), Sb f ( x) g( x)dxar (), S1r 2 ( )d2(2) 空间立体的体积：1)已知平
13、行截面面积的立体体积 VbA( x) dxa2)旋转体的体积Vxbf 2 ( x)dx,Vyb2 ( y)dyaa(3)(数一二) 平面曲线的弧长：1)l:xx( t) ,t,lx ( t) 2y (t ) 2 dtyy(t )2)( ), l2 ( )( ) 2 d(4) (数一 ) 旋转体的侧面积：yf ( x) 0,a xbS侧bf 2 ( x)dx2 f ( x) 1a9(5) 函数在区间的平均值（数三，四）：1byf (x)dx.ba a(6) （数一） 定积分的物理应用 （变力作功、引力、压力）：用微元法分析，其基本步骤为：第一步，建立坐标系，选定积分变量，并确定其变化区间；第二步
14、，在 a,b内任取小区间 x,x+dx,设想产生该整体量 Q的某物理量是不变的， 求出Q 的近似值 dQf ( x)dx ；第三步，计算 Qbf (x)dx.a1利用定积分求面积与体积例 21、设在区间 a,b上函数 f ( x)( x) 0, 令 S1b0, f ( x)0, ff ( x)dx,aS2f (b)(ba), S31 f (a) f (b)( ba) ,则2(A)S1S2S3(B)S2S1S3(C) S3S1S2(D) S2S3S1.例 22、设 f(x),g(x) 在区间 a,b上连续，且 g(x)f(x)0） .汽锤第一次击打将桩打进地下 a m. 根据设计方案，要求汽锤每
15、次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1). 问(1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注： m 表示长度单位米 .）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限 .【详解】 (1) 设第 n 次击打后，桩被打进地下xn ，第 n 次击打时，汽锤所作的功为 Wn (n1,2,3,) . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx ，所以W1x1k x12k a 2 ，kxdx022W2x2k (x22x12 )k ( x22a 2 ).kxdxx1
16、2212由 W2rW1 可得x22a2ra 2即x22(1r )a 2 .W3x3k ( x32x22 )k x32(1 r )a 2 .kxdxx222r 2W由 WrW2可得31x2(1 r )a2r 2a 2 ，3从而x31 rr 2 a ，即汽锤击打 3 次后，可将桩打进地下1rr 2 am .（ 2） 由归纳法，设 xn1rr 2r n 1 a ，则Wn 1xn1k ( xn2xn2 )xnkxdx12= k xn21(1 rr n 1 ) a 2 .2由于 Wn 1rW nr 2Wn1r nW1 ，故得xn2 1(1 rr n 1 )a 2r n a 2 ,从而xn11rrna1r n 1a.1r于是lim xn11a ，n1r即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下1a m.1r例 29、 某百货商场出售空调器时总利润L(x) 的变化率为L ( x)250x(x0).问401) 售出 40 台空调器的总利润；2) 售出 60 台时，前 30 台与后 30 台的平均利润各为多少？解1） L(40)40x ) dx 9980( 2500402) 前 30 台平均利润为130x5(250)dx 249300408后 30 台平均利润为160x ) dx248 7(250303040813