《数学建模论文制动器试验台的控制方法分析模型.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模论文制动器试验台的控制方法分析模型.doc（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、制动器试验台的控制方法分析模型摘要 本文针对制动器试验台的控制方法问题，采用不同方法建立数学模型.有效的解决了所涉及的问题.并根据数学模型给出了计算机的控制方法.最后采用灰色系统理论建立更为精确的控制方法的数学模型.具体的说，（1）我们依据转动定律得到：驱动电流与转速之间的关系，.，并计算得到 等效惯量 kgm2，和不同厚度的飞轮对应的不同惯量00 kgm260.0000 kgm2 0 kgm2(2) 由等效原理和试验原则得到了能量消耗及能量误差计算公式；对各个离散时间段内制动器消耗的能量求和并讨论了制动过程中制动器消耗能量不同的计算方法.(3) 从能量误差角度考察了问题4中电流控制方法的优劣
2、性能，并得到了相关结论.：问题4中电流控制方法有些粗糙，误差太大.（4）根据问题3建立的数学模型，在问题5中给出了“类似于工程实际驱动电流的控制方法模型”，给出了模型实现电流控制的流程图，对其可行性和可靠性作了进一步的理论分析，最后又提出了改进方法.(5) 在问题6中我们重新构建了驱动电流的控制方法基于灰色系统理论的驱动电流控制方法模型，给出了模型实现的电流控制流程图，最后我们运用该模型处理了问题（4）附表的前十八个转速数据，得到了十分完美的结果.值得一提的是，在进行问题(6)的模型构造和检验中，我们采用了灰色系统理论，在缺少实际数据的情形下检验了模型的精度，不失为一次探索和创新.关键词：等效
3、原理 时间的离散化 驱动电流控制 灰色系统理论 能量误差 1. 问题重述汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止.为了检验制动器设计的优劣，必须进行相应的测试.在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路.为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试. 但是，车辆设计阶段无法路试，需在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验，其原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致. 通常试验台仅安装、试验单轮制动器. 被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速. 试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达
4、到与设定的车速相当的转速(模拟试验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动.路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷. 将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量. 飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量. 例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80
5、 kgm2，基础惯量为10 kgm2，则可以组成10，20，30，160 kgm2的16种数值的机械惯量. 但对于等效的转动惯量为45.7 kgm2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验. 该问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kgm2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则.一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/Nm）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量.由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的.工程实际中常用
6、的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动.评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的试验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差.现在要求解答以下问题：1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量.2. 飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为78
7、10 kg/m3，基础惯量为10 kgm2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 -30, 30 kgm2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型.在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流.4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kgm2，机械惯量为35 kgm2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表. 请对该方法执行的结果进行评价.5. 按照第
8、3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价.6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价.2. 模型的假设与符号说明2.1 模型基本假设：(1) 单个车轮制动时承受的载荷等同于该车轮所承载的车重，即车轮载荷与其负载质量成正比，比例系数为重力加速度；(2) 路试过程中轮胎与地面的摩擦力为无穷大，即轮胎与地面无滑动，摩擦力不做功； (3) 模拟试验过程中飞轮主轴角速度与路试车轮角速度始终相等； (4) 题中涉及的飞轮是几何规则的，且质量分布均匀；2.2 符号的说
9、明:表示车轮制动时承受的载荷;表示车轮负载质量;，分别表示汽车行驶初、末速度;=9.8067表示重力加速度大小;，分别表示飞轮角速度和转速;表示车轮半径;表示车轮本身的转动惯量;表示等效转动惯量;，分别表示飞轮组中环形钢制飞轮的外直径和内直径大小;，分别表示环形钢制飞轮的密度、体积和厚度;，分别表示第个环形钢制飞轮的质量、厚度和转动惯量;表示制动器作用于飞轮的制动力矩;表示电动机驱动电流产生的扭矩;表示作用于飞轮上的合力矩;表示基础转动惯量;表示电动机的电流;=1.5 A/Nm表示电动机的驱动电流与其产生的扭矩之间的比例系数;表示离散的小时间段的时间间隔;、分别表示是第i个时间段内的制动力矩和
10、作用于飞轮的合力矩;表示路试制动过程中制动器消耗的能量;，分别表示模拟制动过程中飞轮的能耗和制动器的能耗; 表示能量误差; 表示相对误差;表示设定的转速即模拟试验制动结束时刻飞轮的转速;本试验中转速单位是r/min，其他物理量均采用国际单位制.3. 问题分析3.1 问题（1）分析车轮制动时承受的载荷与汽车自身载重有着密切的关系.一般地，汽车自身重量越大，制动时车轮所需要承受的载荷也越大.我们假定单个车轮制动时承受的载荷等同于该车轮所承载的车重，即可得出车轮负载质量（）.由此可以表示出这个载荷在车辆平动时具有的能量，忽略车轮自身转动具有的能量后根据模拟试验原则：电动机主轴的角速度与车轮的角速度始
11、终一致，然后将其等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，相应的便可以得到与此能量对应的转动惯量即等效的转动惯量.3.2 问题2的分析根据所给数据可以分别计算出三个飞轮本身的惯量，即飞轮固有的转动惯量.再由基础惯量便可得到不同组合情形下的飞轮组的机械惯量.再根据电动机补偿惯量的范围和问题1中的等效惯量，便可得出问题1中所须补偿的惯量大小.3.3 问题3的分析该问题要求建立电动机驱动电流依赖于可观测的离散量的数学模型，而试验中可观测的离散量有瞬时扭矩和瞬时转速.所以可以考虑驱动电流与二者之间的相互关系.正是基于这样考虑，我们可以根据等效原理，从刚体转动定律入手根据题目中的假设条件来建
12、立满足要求的模型.然后根据所建立的模型，带入相关数据，最终求解得出题目1、2条件下的驱动电流的值.3.4 问题4的分析能量误差路试时的制动器与相对应的试验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差是评判控制方法优劣的一个重要数量指标，我们采用能量误差来评判该控制方法的优劣.很容易的可以计算出路试时制动器消耗的能量.我们只需找到一种可行的方案来计算试验台上制动器在制动过程中消耗的能量.由此即可得到能量误差和相对能量误差.以此便能评判题中控制方法的优劣.我们考虑模拟试验过程中对各个离散时间段内制动器消耗的能量求和来实现的计算.3.5 问题5的分析借鉴工程上电流控制的实现方法，基于我们在问题3中所建模型给
13、出电流控制方法及计算机控制流程图.并从能量误差角度展开对所给控制方法优劣性的评判.3.6 问题6的分析改进或重新构建更精确的计算机控制方法，以更好地实现电流的计算机控制.由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的，可见每个离散的时间间隔内电流变化很是复杂.我们采用灰色理论系统给出一种新的计算机控制方法，并做出性能优劣的评判.4. 模型的建立4.1 试验原理：等效原理：路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷.将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量.试验原则：模拟试验中用电动机不断输出能量替代飞轮储
14、存动能, 而保持制动力矩与减速度的关系不变(尽可能一致)，即试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致.而模拟试验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致.由以上可知 忽略车轮车轮自身转动具有的能量 得到 而由 和假设载荷 ，得 .4.2 有关环形钢制飞轮的相关计算 体积 质量 惯量 4.3 模型的建立 根据模拟试验原理，其物理过程可以简化为：其中 表示瞬时角加速度.从而， ， 而驱动电流产生的力矩 从而 可见电流变化和角加速度密切相关，由于时间段是离散的，我们用代替连续的 ，则有 ， 其中 .4.4 能量误差的计算根据等效原理，路试制动过程中制动器消耗能量 模拟制动过
15、程中飞轮各个离散时间段内克服合力矩做功，因此飞轮消耗的能量等于各个离散时间段克服合力矩做功的总和，由于时间间隔很小，因而在每个离散时间段内，合力矩可以看成定值，所以有 模拟试验制动过程中制动器的能量消耗 其中是第i个时间段内的制动力矩;而 ,故 .能量误差的计算：能量误差 相对能量误差 =4.5 类似于工程实际的驱动电流控制方法模型根据问题3给出的模型，我们采取工程实际中电流控制方法进行设计，给出如下电流控制方法，以实现电动机驱动电流的计算机控制.首先，将时间离散化，形成一系列离散的时间段，比如10ms为一段，计算机根据前一时间段的转速变化，代入模型中给出的公式计算出前一段时间的平均电流 ，作
16、为相邻的下一个离散时间段的电流控制输出.然后计算机记录该时间段结束时刻的转速，并计算该时间段内转速变化，将与设定的转度比较，如果，则控制结束，否则重复上述过程使之依次进行下去，直至某时间段结束时刻记录的转速不超过设定的转速，即完成一个制动过程.这里设定的转速即为模拟试验制动结束时刻的转速.该控制方法的计算机流程图如下：4.6 基于灰色系统理论的计算机控制方法模型灰色系统理论视一切随机量为在一定范围内变化的灰色量, 并通过数据生成处理的方式去寻找数的规律性, 通过生成处理可使原始数据由不平稳向平稳转化, 以便于发现系统运行的规律, 这是灰色系统建模的一个重要特点.在灰色模型中, 应用最广泛的是下
17、述GM (1, 1) 模型其中b，为模型参数，解方程得模型的时间响应函数 为了确定模型参数、的值，灰色系统理论采用了近似的方法得到差分方程，即 取，增量.对背景值取均值生成.最后得到关于模型参数列向量的最小二乘解，从而得到模型的时间响应函数.【3】 具体应用于该实际问题时，我们取定=1，2，3为第个离散时间段的转速序列，由灰色系统理论，得到相应的差分方程 取，增量，对背景值取均值生成.即用取代，则得到如下一系列方程 取=1，2，3 有 令 , 则得到如下矩阵形式由最小二乘法得到参数估计值，其中表是矩阵的转置于是有由上式可知 已知前 个序列的转速值，通过灰色系统理论可以预见第相的转速.下面我们给
18、出驱动电流的计算机控制方法：首先，将时间离散化，形成一系列离散的时间段，比如10ms为一段，计算机统计前个（不妨=5）转速序列，通过灰色系统理论预测出第个时间段的转速，通过问题3中给出的公式，得到第个时间段的电流，计算机控制输出电流，并测量出第个时间结束时刻的转速，比较和，如果，控制结束；否则，重复上述过程，直至完成一个制动过程.这里设定的转速即为模拟试验制动结束时刻的转速. 下面是基于灰色系统理论的驱动电流控制方法的流程图：这里5. 模型求解与分析5.1 问题1求解 由带入数据得到等效惯量 kgm2取整得到 kgm25.2 问题2求解由带入数据用MATLAB软件计算得到相关数据见下表：不同半
19、径的飞轮与其惯量的对应表： 厚度 (m)飞轮惯量(kgm2)0.039230.0084 0.078460.01680.1568120.0335取整得00 kgm260.0000 kgm20 kgm2已知基础惯量为10 kgm2，则按照试验原理，其可能的组合有八种，组合后机械惯量分别是(单位：kgm2) 10.00 40.00 70.00 100.00 130.00 160.00 190.00 220.00对于问题1中得到的等效惯量 kgm2电动机补偿的惯量可能是 12.00 kgm2 和 -28.00 kgm2对应的机械惯量分别设定为 40.00 kgm2 和70.00 kgm25.3 问题3
20、的求解 由问题3模型中给出的驱动电流公式 代入数据 s 及相关常量即可计算出这个过程中的驱动电流 174.8089 A 或 -262.2540 A 两个电流分别对应于机械惯量分别设定为40.00 kgm2 和70.00 kgm2的情形 其中 A 是电流的国际单位制 安培 .5.4 关于问题4控制方法的评判即分析.用Excel 表格处理附件中的数据得到如下结果：（处理后的表格的一部分见附录）路试制动过程中制动器消耗能量 =52163.7248 焦耳制动过程中飞轮消耗的能量 = 49298.33346 焦耳 模拟试验制动过程中制动器的能量消耗 = 67609.14303 焦耳能量误差 = -154
21、45.41823 焦耳（这里区别焦耳的符号和惯量的符号，我们采用了能量的中文单位，以免混淆）相对能量误差 = 0.2961模型评价：根据上述计算可知该种控制方法比较粗糙，误差有点大.5.5 问题5 基于类似于工程实际的驱动电流的计算机控制方法模型的评价虽然电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到，但是电流的变化总是连续的，由此我们便有充分的理由认为驱动电流在离散时间间隔很小的情形下变化也不会相差很大.这也是我们给出类似于工程实际的驱动电流的计算机控制方法的基本依据.由于没有具体的数据可以供模型处理，因此我们从理论上给出该模型切实可行的理由：（1） 离散时间段比较短，故而两相邻时间间隔内电流
22、变化不是很剧烈，且时间间隔愈短，电流变化愈小或愈平稳；（2） 时间间隔的长短，直接决定了合力矩作用于飞轮做功的多少，从而两相邻时间间隔内飞轮耗能相差不大.根据以上分析，不难得出我们给出的模型理论上是相当可行的.5.6 问题6中给出的基于灰色系统理论的驱动电流控制方法模型的评价我们采取了问题4附表中的前十八个转速数据来判断基于灰色系统理论模型的性能优劣.虽然处理的数据不是计算机记录的实际数据(它们是经过某种电流控制之后记录的数据)，但是，这些数据仍然符合灰色系统理论的模型要求，只要经由该模型处理后能够得到比较精确的结果，我们就可以认为该模型比较可行.正是基于这种考虑，用此种模型处理了问题4附表中
23、的前十八个转速数据（分三组），以此评判模型的优劣.用MATLAB编程处理了前六组数据得到如下结果:（单位：转/分）前六个转速：514.33 513.79 513.24 513.79 513.79 513.79通过该模型后预测得到的第七个转速 513.6094绝对误差 = 0.5693中间六个转速：513.24 513.24 512.69 512.69 512.15 512.15通过该模型后预测得到的第十三个转速511.9339绝对误差= 0.3447最后六个转速：512.15 512.69 512.15 512.15 511.6 511.6 通过该模型后预测得到的第十九个转速 510.8614
24、绝对误差= 0.9040 平均绝对误差为=0.6042 由此可见该模型的在很小的时间间隔内精确程度极高，由此我们认为该模型电流控制过称中具有很高的精度，因而基于灰色系统理论的驱动电流控制模型使得控制实现过程中显得相当完美.6. 模型的优缺点及改进方向问题3中给出的电流与瞬时转速的关系是符合我们的常识的.只是由于很难得到电动机驱动电流与时间之间的精确关系，因而不能得到瞬时角加速度，但采取离散时间化的手段，我们便得到了每个离散时间段内的平均驱动电流.理论上如果飞轮匀减速旋转，电流将是一定值.显而易见的是缩短时间间隔是提高模型精度的一种途径.问题4 中在计算制动过程中飞轮消耗的能量时可采取更为精确的
25、方式.一种方式是类似Riemman 积分中的大小和的情形.即 可以考虑进一步减小时间间隔，实现对飞轮消耗的能量更精确的计算，从而更真实的求得能量误差.问题5 中给出的类似于工程实际驱动电流控制方法模型虽然理论上的可行性是充分的，由于未进行模型检验，模型精度有待进一步研究.缩小时间间隔是提高精度的好办法，但同时会增大计算机的工作量.模型6 中给出的基于灰色系统理论的驱动电流的控制方法模型在控制过程中是相当完美的，而且易于计算机程序化作业.7. 参考文献【1】陈信义.大学物理教程(第二版).北京:清华大学出版社,2008.【2】王铁山，曲波电模拟制动器惯性台架设计计算方法摩擦密封材料，吉林大学机电
26、设备研究所2007年第三期【3】穆勇,刘金国.灰色系统建模方法研究.山东建材学院学报,第10卷3期第67-71页,1996.【4】楼顺天.MATLAB7.X程序设计语言第二版.西安：西安电子科技大学出版社，2006.【5】王国平 陈岚 Excel图表设计基础与实践教程 电子工业出版社 2007.6附表：Excel处理问题4的数据的部分结果:用某种控制方法试验得到的数据514257已知条件扭矩(N.m)转速(rpm)时间(s)角速度rad/s飞轮离散耗能J40514.33053.860637621.5442550440513.790.0153.804088821.5216355240513.24
27、0.0253.746492821.4985971241.25513.790.0353.804088822.1941866343.75513.790.0453.804088823.5392888545513.790.0553.804088824.2118399647.5513.240.0653.746492825.5295840850513.240.0753.746492826.873246453.75512.690.0853.688896828.8577820355512.690.0953.688896829.5288932457.5512.150.153.63234830.838600158
28、.75512.150.1153.63234831.5090044562.5512.150.1253.63234833.520217562.5512.690.1353.688896833.555560567.5512.150.1453.63234836.201834967.5512.150.1553.63234836.201834972.5511.60.1653.57475238.841695275511.60.1753.57475240.18106481.25511.060.1853.518203243.483540186.25511.60.1953.57475246.208223691.25
29、511.60.253.57475248.8869612等效的转动惯量48机械惯量354835飞轮耗能 路试能耗49292.0574252150.444制动器能耗67600.53589能量误差-15450.09相对误差0.29626模型中用到的程序：基于灰色系统理论的驱动电流控制方法模型中用到的程序a=input(输入六个离散时间的瞬时转速n); for i=1:5 b(i)=a(i+1)-a(i);endfor i=2:6 c(i-1)=1/2*(a(i)+a(i-1);endY=b;B=-1*c ones(5,1); X=pinv(B)*Y;for i=1:5 if i=1 n(i)=(2-X(1,1)*a(i)+2*X(2,1)/(X(1,1)+2); else n(i)=(2-X(1,1)*n(i-1)+2*X(2,1)/(X(1,1)+2); end endf=(2-X(1,1)*n(5)+2*X(2,1)/(X(1,1)+2) for i=1:5w(i)=n(i)-a(i+1);end,norm(w) 513.24 513.24 512.69 512.69 512.15 512.15 f = 511.9339 ans = 0.3447