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1、利用样本分位数求指数分布参数的渐近估计魏 艳 华 ，王 丙 参 ，何 万 生（天水师范学院 数学与统计学院， 甘肃 天水）摘 要： 利用指数分布的若干个样本分位数建立线性回归模型 ；由获得的指数分布参数的广义最小二 乘估计的渐近正态 性 ，得 到 数 据 缺 失 、分 组 数 据 、截尾样本场合指数分布参数的渐近估计 在样本足够大的情况下 ，该方法简单有效 关键词： 指 数 分 布 ； 样 本 分 位 数 ； 广义最小二乘法 ； 渐 近 正 态 性 ； 区 间 估 计中图分类号：文献标识码：文章编号：（）， ， （，）： ， ， ， ：； ；人们在做寿命试验时，有时候会遇到这样的情况：由于某种
2、原因试验中某些样本寿命数据丢失， 只知道其前后的寿命数据，称其为数据丢失或数据 缺失；有时候为了更准确地作统计推断，人们往往 使用大样本，但对大量产品进行跟踪观测需耗费大 量人力、物力和财力，且常常因条件所限而无法做 到，解决办法之一是只对其中若干个产品进行跟踪 观测，其它的只需知道它失效时间的区间，不必知 道失效的 确 切 时 间， 这 样 就 得 到 一 组 混 合 分 组 数 据；还有的时候需要剔除较大或较小的观测数据， 这样又得到一组截尾样本数据对大多数分布族而 言，关于不完全样本场合参数估计问题，国内外一 些学者已经给出了相应的解决办法 文献 用极大似然估计构造枢轴量的方法给出了定时
3、截尾寿命试验数据缺失场合下指数分布参数的点估计及 区间估计；文献给出了定数截尾数据缺失场合 下指数分布参数的 估计；文献给出了分 组数据在 指 数 分 布 下 的 近 似 极 大 似 然 估 计； 文 献用逆矩估 计 思 想 方法给出了定 数 截尾 分布的参数估计等等这类问题的研究困难在于数据不完全，但可以 利用已观测到的部分数据构造样本分位数， 建 立线性回归模型本文利用指数分布的若干样本分 位数和广义最小二乘法，给出了数据缺失、分组数 据、截尾样本场合指数分布参数的渐近估计在样 本足够大的情况下，该方法简单有效收稿日期：； 修改稿收到日期：基金项目： 甘肃省自然科学基金资助项目（）； 甘肃
4、省教育厅科研基金资助项目（）； 天水师范学院科研 基金资助项目（）作者简介： 魏艳华 （）， 女， 吉林四平人， 讲师， 硕士 主要研究方向为数理统计 ， 且 使 ，预备知识， ， ， ， ， 其 中 引理设 是抽自总体分布， ， （为不超过 的最大整数可取或函数为（）的一个简单样本，（）绝对连续， 取定一组正数， 使其满足 对，记 为样本的 分 位数， 为总体的 分位数 设 （）（）在 点， 处 连 续 且 不 为 零， 则 当 时， ）记 为样本的 分位数， 即（ ），； 为总体的 分 位 数， 即（）， 解得（ 有槡（ ， ， ） （，），）， （）， ， 缺失数据一览表表此处 （，），
5、 （ ） ， 其 中 （）， （）（）次 序 样本 数 据（），（）， ，（）引理设线 性 模 型 ，（），所 剩数 据缺 失 数 据（），其中 为正定阵， 为已知的阶设计矩阵， 为 维 未 知 参 数， 则 的 广 义（ （ ）（ ），（ ），最小二乘 估 计 为（）， 且 当，（ ）（ ）（，）时，有（，（） ，（ ） ，（ ）引理设 是 两 个 随 机 变 量 序 ， ） 基于指数分布的若干样本分位数， 建立线性回归模型，求得广义最小二乘解，进而证明此解 是参数的渐近正态且渐近无偏估计量由引理及得到的分位数知：当 时，列， 为随机变量，为常数， ， ，则有） ；槡（ ， ， ） （，），
6、（） ；） ，线性回归模型及模型参数的渐近估计此处 （，）， （ ）， 其 中 （） 令， （）（）数据缺失场合指数分布参数的渐近估计设产品的寿命服从两参数指数分布， 其分布 函数和分布密度分别为： ， （ ）， （）则，即（）， （， ） ， （，（）（ ）， （， ） ， 其 中 （）， ， （ ， ）， （ ，） ， （ ， （） （ ）， ，） 由（）式可知， （， ）， 亦即其中 为位置参数， 为刻度参数现假定有 个产品进行寿命试验，其次序失效数据为（）（） （）考虑如下情形： 上述个数据由于某种原因使得若干个数据缺失，只剩下（）利用上述结果，建立线性回归模型，（），（） 由引理 得
7、到 的渐近广义最小二乘估计为，且（ ） 个 数 据， 设 剩 下 的 数 据 为 （ ）（ ） （， （ ） ）， ），下面用表具体说明（ 为了具体说明参数渐近估计的方法，我们分以下三步进行）获得样本分位数及相应的总体分位数适当取 定 一 组 正 数 ， 使 其 满 足 ， （） ， 其中，其中为不超过 的最大整 （），数， 这里可取 记 为 ） ，样本的 分位数，即（ ），这样得到的样本分位数恰是已经观测到的 个产品的次所以因此得到， 的渐近广义最序失效数 据 或 其 中 的 一 部 分 数 据为 总 体 的小二乘 估 计 为： ， 令 分位数，即（ ） ， ， ，由 该 分 布 的 ，则有
8、（ ）（ ）密度函数 和 分 布 函 数 得 （）， ，）， （ ，）， ， 第 二、 三 步 与 数 据（） （，）（）缺失场合完全相同表故， 分别为， 的渐近正态且渐近无偏估计量） 构造， 的渐近区间估计对于给定的 置 信 水 平（）， （，）由（）式 知， 的 置 信 度 为 的 渐 近 区 间分组数据一览表 观 测 到 的失 效 数 据为满足不等式（其中 为标时 间 区 间失 效 个 数（，）（ ，）（ ， ） 槡准正态分布的上侧分位数）的 所构成的区间，解得 的置信度为 的渐近区间为定数截尾指数分布参数的渐近估计设产品的寿命服从上述两参数指数分布假定 有 个产品进行寿命试验，到有 个
9、产品失效时停 止试验，得到次序失效数据为（）（） （） 第一步适当取定一组正数 ， 使其满足 ， 且使 ，其中为不超过 的最大整数， 槡 槡 ，由（）式可得， ， 再由引理 得 槡 （，），从而 的置信度为 的渐近区间为满足不等式的 所构成的区间， 槡（ ）， ， 可 取 所以 的置信度为 的渐近区间为记 为样本的 分位数，即（ ）， 槡， 槡分组数据场合指数分布参数的渐近估计设产品的寿命服从上述两参数指数分布现随； 为总体的 分 位 数， 即 （），由（）式解得（），（）机抽取 个产品进行寿命试验，只对其中 个产品进行跟踪观测，得到的次序失效数据为 ，其它的只需知道失效的时间区间， 不必知道
10、失效的确切时间 这样就得到一组混合分组数据，如表显然，已观测到的次序失效数据为： ，第二、 三步与数据缺失场合完全相同模拟下面以数据缺失场合指数分布参数的渐近估计 为例进行 模拟，分组数据、 截尾样本 场合模拟类 似 取 样 本 容 量 ， 参 数 为 ，而次序失效（ ）， （ ）， ） 数 据 （）， ； ，；，（ ） （ ） （ ） ） 的 指 数 分 布 在 不同数据缺失场合 分 别， 未被观测到，）进行 次 模 拟， 考 查 各 参 数 估 计 的 均 值、 标准差和均方误差，结果见表从表 可 以 看 出， 在 中 等 样 本 容 量 下， 的估计精度最高， 的精度次之， 参数的近似置
11、信 区间覆盖真 值 的 比 例 均 大 于 ， 与 名 义 置 信 水我们仍分三步进行，与上述数据缺失场合方法类似，关键在于第一步中样本分位数的选取第一 步 适 当 取 定 一 组 正 数 ，使其满足 ， 且使 平一致可见，该方法简单、稳定、有效表 缺失 个数据的情况 利用样本分位数法求得参数， 的渐近广义最小二乘估计， 置信水平为的近似 置 信 区 间 分 别 为 ，区间较短，应用效果较好数 据 缺失 情 况（），（），（），（），（）结束语真 值均 值标 准 差均 方 误 差 区 间 估 计（）区 间 覆 盖 真 值 的 比 例利用样本分位数求参数点估计以及区间估计的方法不仅适用于指数分布
12、，还适用于其它分布，如分布、对数正态分布、分布等参考文献：， ，田霆， 刘次华 定时截尾缺失 数据下指数分布的统 计推断 电子产品可靠性与环境试 验，（）：表缺失 个数据的第一种情况 （），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），数 据 缺 王乃生， 王玲 玲 定 数 截 尾 数 据缺失场合下指数分 布参 数 的 估 计 应 用 概 率 统 计，（）：张莉 分组数据在指数分布下的近似 极 大 似 然 估 计 统计与决策，（）：王 炳 兴 分布的统计推断 应 用 概 率 统 计，（）：王炳兴， 王玲 玲 指 数 分 布 场 合下基于分组数据和 双
13、 向删失数据的区间估计 应 用 概 率 统 计，（）：徐晓 岭 定数截尾缺失数据下 分 布 的 统 计 推断 数 理统计与应用概 率，（）：王蓉华 定数截尾缺失数 据 下 两 参 数 和 对数正态分布统计推断 上海师范大学学报： 自 然科学版，（）：王蓉华， 徐 晓 岭 缺 失 数 据 下 分 布 的 统 计 推 断 高校应用数学学 报： 辑，（）：失 情 况 （），（），（），（） 真 值均 值标 准 差均 方 误 差 区 间 估 计（）区 间 覆 盖 真 值 的 比 例，表 缺失 个数据的第二种情况 （），（），（），（），（），（），（），（）， （），（），（），（），（），（），（）
14、，（）， （），（），（），（）数 据 缺失 情 况真 值均 值标 准 差均 方 误 差 区 间 估 计（）区 间 覆 盖 真 值 的 比 例， 魏艳华， 王 丙 参 基 于 总 体 型 截 尾 样 本分 布参数的渐近置信估计 渤 海 大 学 学 报，（）：实例分析魏艳华， 王丙 参 数 据 缺 失 场合对数正态分布参数 的渐近 置 信 估 计 通化师范学院学 报，（）：陈 希 儒 数 理 统 计 引 论 北 京： 科 学 出 版 社，：王松桂， 陈敏， 陈 立 萍 线 性 统 计 模 型： 线 性 回 归 与方差 分 析 北 京： 高等教育出版社，：茆 诗 松， 王 静 龙， 濮 晓 龙 高 等 数 理 统 计 北 京： 高等教育出版社，：已知某种电子元件的使用寿命服从参数为，的指数分布，现在从中抽取 个元件进行寿命测试，由于试验设备、观测手段等原因有个数据缺 失（缺失的数据用“”表示）， 获得的数据如下（单 位：）： （责 任 编 辑 马 宇 鸿 ）