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1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校： 昆明理
2、工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2011 年 9 月 12 日2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：目录一：问题重述4二：基本假设4三：定义符号说明4四：问题一的分析5五：模型一的建立和求解11六：问题二的分析13七：模型二的建立和求解14八：问题三的分析19九：模型三的建立和求解20十：问题四的分析23十一：模型四的建立
3、和求解24十二：结果评价24参考文献24附录25城市表层土壤重金属污染分析模型摘要随着人类经济的发展，人类在生产生活过程中会排放大量的有害重金属物质，这些重金属元素不仅是破坏土壤环境的重要杀手，并且也是威海人类健康的重要隐患。对此研究重金属的污染状况以及传播情况是具有深远意义的。本文主要在三个方面对重金属污染情况进行分析。第一是对金属在城区的分布及污染程度情况进行剖析，第二是重金属的污染原因的探讨，第三是重金属传播特性的研究。对于问题一，我们首先利用matlab进行二维等高线的绘制，将各种重金属的浓度直观的反映在二维等高线图上面，通过对图形的观察我们即可以找到重金属元素的分布情况。对于城市污染
4、程度的判断，我们采用的是污染负载指数法，首先我们将重金属元素相对于某一点的污染指数求出来，再将该城区内的所有点进行整体的分析，从而看出重金属元素对于城区的污染程度，通过这种方法能够对城区各个点位进行定量的评价。对于问题二， 我们首先进行相关性分析和聚类分析，经过分析之后将关系最为密切的元素进行归类，然后再通过分析整体，答到分析污染原因的目的。对于这个问题，我们还采用了主成分分析的方法来求解。在多变量研究中，由于变量的个数很多，并且彼此往往存在一定的相关性，因此使观察的数据反映的信息在一定程度上重叠。因子分析则是通过一种降维方法进行简化得到综合指标。综合指标之问既互不相关，又能反映原来的观察指标
5、的信息。本题采用主成份分析法来解析污染原因。对于问题三，我们采用的是绘制重金属的浓度的三维图，图形中的最高位置即该点处该种金属的污染浓度最高，污染浓度最高的点很有可能是污染源，但是不一定。我们利用最高点处对周边的点求方向导数，方向导数最大处我们就认为该点是污染源。我们这样理解：方向导数最大的点，即是从该点向周边扩散的速度最快（变化最快）的点，这符合污染源的传播特性，所以我们有理由认为这个点是污染源。对于问题四，为了研究地质环境的演变模式，我们需要对土壤重金属累积效应建立模型进行预测，通过土壤中重金属的变化情况达到预测地质环境的变化的目的。为此，我们建立了一个简单的重金属累计预测模型。通过该模型
6、不需要区分各个具体输出项（如重金属随作物带出土壤、重金属在土壤中向下层迁移等）与土壤中重金属含量的数学关系，仅用年残留率K来计算土壤中重金属的残留与讲解。这种估算不考虑各输入输出项相互之间动态平衡的数学关系，适用于估算在较长时间后土壤中重金属的含量。关键字：MATLAB SPSS 相关性分析法 样条函数插值 主成分分析一：问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区
7、、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（010 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值，有附件给出的数据考虑以下问题 (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过
8、数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？二：基本假设1、对土壤重金属污染程度的评价采用国家规定的统一标准，忽略各地区之间的差异。2、假设该城区所在平面直角坐标系中x正方向指向正东方向，y正方向指向正北方向。3、三：定义符号说明；元素的最高污染系数；：为元素的实测数量:为元素的评价标准，即背景值；：目一点的污染负载指数；：目一区域的负载污染指数；As：重金属砷；Cd：重金属镉；Cr：重金属铬；Cu：重金属铜；H
9、g: 重金属汞；Ni：重金属镍；Pb：重金属铅；Zn：重金属锌。四：问题一的分析对于问题一的第一个问题，我们组通过matlab程序，绘制了各种金属在该城区的空间分布图，以采样点的坐标为图的x,y坐标，绘制金属的二维等高分布图。结果如下。 金属As的二维等高分布图 单位(g/g)图1分析图1可得，该城区As含量较高的地区为西北部的工业区，南部和西南部的交通区。其他地区As含量低于上述地区。金属Cd的二维等高分布图 单位(ng/g)图2分析图2可得，该城区Cd含量较高的地区为西部的工业区和中部的交通区。其次为南部的交通区。金属Cr的二维等高分布图 单位(g/g)图3分析图3可得，该城区Cr含量较高
10、的地区为西部的交通区和工业区。其他区域的Cr含量低于上述地区金属Cu的二维等高分布图 单位(g/g)图4分析图4可得，该城区Cu含量较高的地区为西南部的交通区。其他区域的Cu含量较低。金属Hg的二维等高分布图 单位(ng/g)图5分析图5可得，该城区Cu含量较高的地区为西南部的交通区，南部的交通区和中部偏西德工业区和交通区。其他地区Hg含量低于上述地区。金属Ni的二维等高分布图 单位(g/g)图6分析图6可得，该城区Ni含量较高的地区为西南部的工业、交通、公园绿地区和中部的交通区和山林区。金属Pb的二维等高分布图 单位(g/g)图7分析图7可得，该城区Pb含量较高的地区为西南部的工业区、交通区
11、和公园绿地区。- 9 -图8分析图8可得，该城区Zn含量较高的地区为中部，中部偏西和南部，主要为工业区和交通区。其次为西部和西南部的工业、交通、森林绿地区。对于问题一的第二个问题，分析该城区内不同区域重金属的污染程度，我们组采用的是污染负荷指数法，来分析不同区域之间，重金属污染的严重程度。 污染负荷指数法是Tomlinson等人从事重金属污染水平的分级研究中提出来的一种评价方法。该指数由评价区域所包含的多种重金属成分共同构成，并使用了求积的统计法，通过这种方法能对整个区域各个点位各种重金属进行定量评价，并对各点的污染程度进行分级，能直观反映对环境污染最严重的元素和各种元素对环境污染的贡献程度，
12、以及重会属在时间、空间上的变化趋势，应用比较方便。能避免污染指数加和关系造成的对评价结果歪曲的现象，并能对任意给定的区域进行定量的判断。它也采用研究区土壤背景值为评价标准，因此它能很好的判断土壤的综合人为污染情况。 首先根据某一点的实测重会属含量，进行最高污染系数的计算： 式中：；元素的最高污染系数；：为元素的实测数量:为元素的评价标准，即背景值；某一点的污染负荷指数,（为评价点的个数）;再通过以下公式：（采样点的个数）可求出目标区域的污染指数，进而判断该地区的污染程度。五：模型一的建立和求解根据污染负载指数法和实测的重金属的含量，进行最高污染系数（）计算：有公式 （为评价点的个数）可求出目的
13、点负载指数，再通过以下公式：（采样点的个数）公式可求出目标区域的污染指数，进而判断该地区的污染程度根据以上公式，我们计算得出的结果如下：功能区生活区工业区山区交通区公园绿地区代号12345污染指数1.83356122.34844841.06022091.92092071.5779901根据以上结果可知，污染程度：工业区 交通区 生活区 公园绿地区 山区再根据污染负荷指数与污染与污染程度之间关系的表格可以确定该城市各功能区的污染程度：工业区为强污染。交通区，生活区，公园绿地区和山区均为中等污染。再对各区域进行变异系数的分析。变异系数=标准差-平均值变异系数元素As Cd Cr Cu Hg NiP
14、b Zn 生活区0.60 1.41 3.48 3.57 2.94 0.46 2.33 6.43 工业区1.18 1.83 1.42 31.43 64.12 0.68 2.75 5.08 山区0.50 0.60 0.79 0.81 0.80 0.85 0.57 0.45 交通区0.90 1.87 2.63 9.11 62.29 0.96 1.05 5.58 公园绿地区0.56 1.81 0.48 1.72 6.41 0.40 1.48 3.35 图9图10从变异系数来看，变异系数越小，说明元素含量数据间差异和离散程度越小，土壤中该元素的含量越均匀；反之，则说明土壤中元素含量数据间差异和离散程度大
15、，受人为影响较多。由图9可以分析出，各元素在工业区和交通区变异系数均较大，公园绿地区和生活区次之，在山林区的变异系数较小。说明在交通区和工业区重金属污染较严重，而山林区受重金属污染则较轻。由图10的分析可得，在污染较重的工业区和交通区中，变异系数最大的元素是Hg和Cu，则说明Cu和Hg污染受人为因素影响较大，其次为Zn、Cr、Cr、Pb，而As和Ni的变异系数则较小。六：问题二的分析对于第二问，我们采用基于统计分析法的相关分析和主成分肥西来对土壤重金属污染物影响因素进行解析。由于同一人为活动可以产生许多污染物，同一种污染物的来源也不尽相同。相关分析和主成份分析等常规统计方法常被用于污染物源解析
16、中。为了更好地分析研究区表层土壤中重金属污染物的来源和类别，本研究综合运用这些统计分析方法来分析研究区各种重金属污染物的来源。(l)相关分析 相关分析就是研究两个或两个以上变量之问相互关系的统计分析方法。在环境研究中常用来定性的分析研究各环境变量之间的相互关系，而变量之间的相互关系用相关系数和相关系数的显著水平来表示。相关分析法有多种，环境研究中最常用的是Pearson相关分析法，它所计算出Pearson相关系数取值于0-1之间。当Pearson相关系数为正，表示两变量为正相关，取值越大相关性越强；而当Pearson相关系数为负，表示两变量负相关，值越小相关性越强；当Pearson相关系数为O
17、或接近O，表示这两个变量不相关或几乎不相关性。在重金属污染源解析中，当两种重金属含量正相关，且相关性特别强，表明这两种重金属很可能来自同种污染源。为了分析研究区各种土壤重会属的来源我们采用了Pearson相关分析对研究区8种重金属含量数据进行了相关分析。七：模型二的建立和求解Pearson相关性分析法我们利用SPSS数据进行相关性分析，分析结果如下：CorrelationsAs (g/g)Cd (g/g)Cr (g/g)Cu (g/g)Hg (g/g)Ni (g/g)Pb (g/g)Zn (g/g)As (g/g)Pearson Correlation1.255*.189*.160*.064.
18、317*.290*.247*Sig. (2-tailed).000.001.004.251.000.000.000N319319319319319319319319Cd (g/g)Pearson Correlation.255*1.352*.397*.265*.329*.660*.431*Sig. (2-tailed).000.000.000.000.000.000.000N319319319319319319319319Cr (g/g)Pearson Correlation.189*.352*1.532*.103.716*.383*.424*Sig. (2-tailed).001.000.0
19、00.066.000.000.000N319319319319319319319319Cu (g/g)Pearson Correlation.160*.397*.532*1.417*.495*.520*.387*Sig. (2-tailed).004.000.000.000.000.000.000N319319319319319319319319Hg (g/g)Pearson Correlation.064.265*.103.417*1.103.298*.196*Sig. (2-tailed).251.000.066.000.066.000.000N3193193193193193193193
20、19Ni (g/g)Pearson Correlation.317*.329*.716*.495*.1031.307*.436*Sig. (2-tailed).000.000.000.000.066.000.000N319319319319319319319319Pb (g/g)Pearson Correlation.290*.660*.383*.520*.298*.307*1.494*Sig. (2-tailed).000.000.000.000.000.000.000N319319319319319319319319Zn (g/g)Pearson Correlation.247*.431*
21、.424*.387*.196*.436*.494*1Sig. (2-tailed).000.000.000.000.000.000.000N319319319319319319319319*. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).根据上面相关参数的大小，我们对元素进行了系统聚类分析，并绘制出分类图谱，如下：根据上面给类谱图，我们可以看出，Ni和Cr是同一类，Cd和Pb是同一类的。接下来我们对于Cu是否归属于第一组进行判定。利用最小二乘法对Ni或者Cr进行拟合，判断它们之间的关系。我们对Cu和Ni进行最小二乘法的拟合：附
22、录1我们利用残差法对数据进行分析：程序见附录：由残差图可以看出，除红色数据以外，其他数据距离零点较近。红色数据为异常数据。对Cu和Ni进行残差分析如下：通过聚类分析法，对相关重金属元素进行分类，通过Matlab数据处理工具中的Corroef函数对重金属浓度数值进行处理，从而得出各元素的相关参数矩阵，从相关参数的大小得出谱系图，因此可将重金属分为两组：一组是Cr，Ni，Cu；另一组是 Cd，Pb我们换一种分析方式，我们采用主成分分析的方法来求解。在多变量研究中，由于变量的个数很多，并且彼此往往存在一定的相关性，因此使观察的数据反映的信息在一定程度上重叠。因子分析则是通过一种降维方法进行简化得到综
23、合指标。综合指标之问既互不相关，又能反映原来的观察指标的信息。本研究采用主成份分析法来解析污染源。对本题319个采样点进行主成分分析，提取4个因子解释了总方差的99.99%。特征值和累积贡献率的结果如下表。因子特征值占总变量百分率（%）累积贡献率（%）F11.217981.6981.69F20.226115.1796.86F30.03132.1098.96F40.01551.0499.99因子载荷矩阵的结果见下表因子元素F1F2F3F4As0.0001 -0.00230.00170.0000Cd 0.0378 -0.36060.8834-0.2757Cr 0.0048 -0.09510.056
24、30.2084Cu 0.0423-0.18570.19610.9305Hg 0.99740.0619-0.0253 -0.0257Ni 0.0007-0.01340.0056 0.0248Pb 0.0094-0.07770.0994 0.0407Zn -0.0432-0.9035-0.4092 -0.1088因子分析的主要目的是将具有相近因子载荷的各个变量置于一个公因子之下，变量与某个因子的联系系数绝对值越大，则该因子与变量关系越近。根据因子载荷矩阵，主成分1为Hg，主成分2为Zn，主成分3为,Cr, Pb, Ni, As，主成分4为Cu, Cd。主成分1、2、4的方差累积贡献率为97.9%，
25、说明这4种元素为主要污染物，与之前变异系数的分析结果一致.且污染源来源相对独立。再根据中国土壤重金属主要来源表，可以得出如下结论：Hg主要来自汽车尾气，Zn来源于塑料、电池、电子工业排放的废水，Cu, Cd 主要来源于农药化肥或者电镀工业废水。而其余4种污染物与背景值比较接近，主要来自于区域化因素，局部地区较高是由于矿场开采、冶炼、加工排放的废气、废水和废渣造成的。中国土壤重金属主要来源表八：问题三的分析对于问题三，我们采用的是绘制重金属的浓度的三维图，图形中的最高位置即该点处污染浓度最高，污染浓度最高的点有可能是污染源，但是不一定。我们利用最高点处对周边的点求方向导数，方向导数最大处我们就认
26、为该点是污染源。我们这样理解：方向导数最大，即从该点向周边扩散的速度最快（变化最快），此点就是污染源。九：模型三的建立和求解我们将各种重金属的浓度当作地理上面的海拔在图形上面表现出来。绘制图形如下：我们在对有可能的点进行插值分析，构建样条函数：最终分析得：在编号为95，坐标为：x=21439,y=11383点为污染源，如下图所示：十：问题四的分析模型优点：1我们的重金属污染模型虽只是理论，但是是经过MATLAB、SPSS软件模拟出的，并且是利用了Person相关性、负载污染指数等方法模拟出的，具有一定的可信度。模型缺点：1对于重金属的分析多是基于单个采样点采样的，虽然也可以进行空间分布特征的研
27、宄，但投有深入地应用GIS等软件从的诸多功能如空间分析进行深层次的挖掘。2我们评价重金属污染的指标比较单一，这样不能全面、综合地研究区域进行污染评价。3我们目前的模型还只是理论，同时还不能预测未来的重金属污染染的问题和为土地的维护提供更好的依据。对未来地质环境演变模式的分析： 当前，存在着各种各样的土壤重金属时问预测方法和时间预测模型，但每一种预测方洼和预测模型都有一定的适用范围，由于数据限制和研究区各种土壤重金属污染的主要影响因子的差异有必要选择或寻找适合本研究区土壤中重金属含量趋势预测的预测方法和预测模型。 当重金属污染物进入土壤后，通过土体对污染物质的物理吸附、过滤阻留、胶体的物理化学吸
28、附、化学沉淀、生物吸收等过程，使其不断在十壤中积累。此外，土壤重金属污染物质可通过稀释、扩散、分解以及植物吸收等作用而净化。总之，在土壤中重金属污染物的累积和净化是同时进行的，是两种相反的作用的对立统一过程，两者处于一定的相对动态平衡状态。从动力学平衡角度来看，要想预测土壤中重金属污染物的含量必须知道该时段内土壤重金属污染物的输入量和输出量。土壤中重金属污染物的累积和净化过程十分复杂，很难定性，因而很难运用动力平衡模型对其预测。此外，由于缺乏研究区内土壤中重金属含量历史数据，所以也无法采用常用的回归预测法和回归预测模型。十一：模型四的建立和求解我们建立了一个相对简单的土壤重金属累积预测模型进行
29、预测，它是根据土壤环境容量模型推导处的土壤环境质量预测模式。其公式为：Qt=Q0K+QK(1- K)/(1-K)式中：Qt某重金属在t年后的含量（mg/kg）; Q0为土壤中某重金属的起始含量（mg/kg）；Q为每年外界重金属进入土壤的量（mg/kg）；K为土壤重金属的年残留率；t为预测年限。该模型的特点是不区分各个具体输出项（如重金属随作物带出土壤、重金属在土壤中向下层迁移等）与土壤中重金属含量的数学关系，仅用年残留率K来计算土壤中重金属的残留与讲解。这种估算不考虑各输入输出项相互之间动态平衡的数学关系，适用于估算在较长时间后土壤中重金属的含量。因此，我们需要了解到每年外界重金属进入土壤的量
30、和土壤重金属的年残留率，则可以建立上述模型来解决t年之后土壤重金属的含量。但是如果土壤在短期内大量进入重金属或者很长一段时间重金属的进入量都很小，则不适宜用这个模型来估测。十二：结果评价参考文献1大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，叶其孝主编，1998年5月第一版；2工程科学计算与典型应用，电子工业出版社，周灵编著，2010年6月第一次印刷。3数学建模方法及其应用（第二版），高等教育出版社，2009年6月第一次印刷。4 大学生数学建模竞赛辅导教材 湖南教育出版社 2003年第六次印刷5 农田土壤重金属污染状况与评价以新泰市为例 李梦红 2009.12.126 长株潭地区土壤重金属污染评
31、价模型及分析 王淖 2005.4.1附录1A=xlsread(g:/123456.xls); x1=A(:,5); x2=A(:,4);p=polyfit(x1,x2,1)x=0:10:1000;y= polyval(p,x ) ; plot(x1,x2,*,x,y);2 A=xlsread(g:/123456.xls); x1=A(:,5); x2=A(:,4);x=ones(319,1) x2 ;b,bint,r,rint,ststs=regress(x1,x);rcoplot(r,rint)3 A=xlsread(g:/book1.xls); x1=A(:,2); x2=A(:,1);p
32、=polyfit(x1,x2,1)x=0:10:1000;y= polyval(p,x ) ; plot(x1,x2,*,x,y);4 A=xlsread(g:/book2.xls); x1=A(:,2); x2=A(:,1);p=polyfit(x1,x2,1)x=0:10:100;y= polyval(p,x ) ; plot(x1,x2,*,x,y);5D=textread(1.txt);M=textread(2.txt);x=D(:,2);y=D(:,3);z=M(:,1);c=D(:,5);xi=linspace(min(x),max(x),50);yi=linspace(min(y
33、),max(y),50);xi,yi=meshgrid(xi,yi);zi=griddata(x,y,z,xi,yi);ci=griddata(x,y,c,xi,yi); % 等高线图形 % set(h,ShowText,on,TextStep,get(h,LevelStep)*2) % clabel(C,h,0:10:50,50:50:300,300:100:500); x1=1:100:30000; y1=1:100:15000; x2,y2=meshgrid(x1,y1); z1=interp2(xi,yi,zi,x2,y2,cubic); surf(x1,y1,z1); shading
34、 interp title(金属As二维等高线分布图); xlabel(X); ylabel(Y); colorbar(y)6 D=xlsread(g:ZuoBiao.xls);M=xlsread(g:jinshu.xls);x=D(:,2);y=D(:,3);z=M(:,2);xi=linspace(min(x),max(x),50);yi=linspace(min(y),max(y),50);X,Y=meshgrid(xi,yi);Z=griddata(x,y,z,X,Y,v4);plot3(x,y,z,*)holdsurf(X,Y,Z);shading interp 7主成分分析代码x=textread(2.txt);pc,score,variance,t2=princomp(x)