定点数运算及其运算部件第三讲 浮点数运算及其运算部件.ppt

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1、第一讲 不同层次程序员看到的运算及ALU第二讲 定点数运算及其运算部件第三讲 浮点数运算及其运算部件,Ch3: Arithmetic and Logic Operate and ALU运算方法和运算部件,第一讲：不同层次程序员看到的运算及ALU,高级语言程序中涉及的运算（以C语言为例） 整数算术运算、浮点数算术运算 按位、关系、逻辑、移位、位扩展和位截断 汇编语言中涉及到的运算（以MIPS为例） 定点数运算 浮点数运算 基本运算部件ALU的设计,人的行为靠什么来支配？,脑-思维(判断)-控制,计算机的工作靠什么来完成？,CPU-运算-控制,人的思维其本质是基于运算来完成的：学习,搜索(记忆/存

2、储)，数学计算，比较，表达,C语言程序中涉及的运算,（1）算术运算（最基本的运算） 无符号数、带符号整数、浮点数的+、-、*、/ 运算 （2）按位运算 按位或：“|” 按位与：“ unsigned short usi = si; int i = si; unsigned int ui = usi ; si = ui ;,si = -32768 80 00 usi = 32768 80 00 符号扩展 i = -32768 FF FF 80 00 0扩展 ui = 32768 00 00 80 00 截断 si = -32768 80 00,截断时发生了“溢出”，因为32768超过了16位补码能

3、表示的最大值！,如何实现高级语言源程序中的运算？,将各类表达式转换成指令序列 计算机执行指令来完成运算,0000 0010 0011 0010 0100 0000 0010 0000,datapath,control信号输入,信息输入,信息输出,指令+数据 int a,b=5,c=-8; c=a+b 为变量分配寄存器 把变量按类型编码 机器数放入寄存器 按类型完成运算 运算结果放入寄存器 Add $t0,$s1,$s2 0232 4020H,运算!,a,b,c,高级语言程序中涉及的运算（以C语言为例） 整数浮点数算术运算，按位、关系、逻辑、移位、位扩展和位截断 汇编语言中涉及到的运算（ 以MI

4、PS为例 ） 数据存取 涉及到的定点数运算 算术运算 带符号整数运算：取负 / 符号扩展 / 加 / 减 / 乘 / 除 / 算术移位 无符号整数运算：0扩展 / 加 / 减 / 乘 / 除 逻辑运算 逻辑操作：与 / 或 / 非 / 移位操作：逻辑左移 / 逻辑右移 涉及到的浮点数运算：加、减、乘、除,（1）MIPS定点算术运算指令,InstructionExampleMeaningComments add add $1,$2,$3$1 = $2 + $33 operands; exception possible subtractsub $1,$2,$3$1 = $2 $33 operan

5、ds; exception possible add immediateaddi $1,$2,100$1 = $2 + 100+ constant; exception possible add unsignedaddu $1,$2,$3$1 = $2 + $33 operands; no exceptions subtract unsignedsubu $1,$2,$3$1 = $2 $33 operands; no exceptions add imm. unsign.addiu $1,$2,100$1 = $2 + 100+ constant; no exceptions multipl

6、y mult $2,$3Hi, Lo = $2 x $364-bit signed product multiply unsignedmultu$2,$3Hi, Lo = $2 x $364-bit unsigned product divide div $2,$3Lo = $2 $3, Hi = $2 mod $3 divide unsigned divu $2,$3Lo = $2 $3, Hi = $2 mod $3,涉及到的数据类型（操作数）：32/16位 无符号数/带符号数 涉及到的操作：加 / 减 / 乘 / 除（带符号数 / 无符号数）,高级语言 中的 +-*/,（2）MIPS 按

7、位和移位运算指令,涉及到的操作数： 32/16位 逻辑数（位串），定点数 涉及到的操作：按位与 /或 /或非； 左移 / 右移,sra $s1,$s2,10,Shift right arithmetic,高位补符,高级语言中的 位和移位运算,（3）MIPS定点比较和分支指令,涉及到的操作数：32/16位 无符号数， 32/16位带符号数 涉及到的操作：大小比较和相等比较（有符号 / 无符号）,通过减法运算实现“比较”操作!,高级语言中 的关系和逻 辑运算,（4）MIPS定点数据传送指令,涉及到的操作数： 32/16位带符号数（偏移量可以是负数） 涉及到的操作：加 / 减 / 符号扩展 / 0扩

8、展,高级语言中的 load和store？ 赋值b2=1 变量使用b2+3,（5）MIPS中的浮点算术运算指令,涉及到的浮点操作数： 32位单精度 / 64位双精度浮点数 涉及到的浮点操作：加 / 减 / 乘 / 除,MIPS提供专门的浮点数寄存器： 32个32位单精度浮点数寄存器：$f0, $f1, , $f31 连续两个寄存器（一偶一奇）存放一个双精度浮点数,高级语言 中的 +-*/,（6）MIPS中的浮点数传送指令,涉及到的浮点操作数： 32位单精度浮点数 涉及到的浮点操作：传送操作（与定点传送一样） 还涉及到定点操作：加 / 减（用于地址运算）,例：将两个定点数从内存取出相加后再存到内存

9、的指令序列分别为：,lw $t1, x($s1) lw $t2, y($s2) add $t3, $t1, $t2 sw $t3, z(s3),（7）MIPS中的浮点数比较和分支指令,涉及到的浮点操作数： 32位单精度浮点数/64位双精度浮点数 涉及到的浮点操作：比较操作（用 减法来实现比较） 还涉及到的定点操作：加 / 减（用于地址运算）,高级语言中 的关系和逻 辑运算,MIPS指令考察的结果,涉及到的操作数： 无符号整数、带符号整数 逻辑数（位串） 浮点数 涉及到的运算 定点数运算 带符号整数运算： 无符号整数运算： 逻辑运算 浮点数运算：加、减、乘、除,完全能够支持高级语言对运算的需求！

10、,实现MIPS定点和浮点运算指令的思路： 先实现一个ALU 能进行基本算术运算（加/减）和基本逻辑运算 并生成基本条件码（ZF/OF/CF/NF） 再由ALU和移位器实现乘、除、浮点运算器。,ALU是运算部件的核心！ 以下介绍ALU的实现。,ALU的功能说明,ALUop Function (ALU Control Lines) 000 And 001 Or 010 Add 110 Subtract 111Set-on-less-than,ALU,N,N,N,A,B,Result,Overflow,Zero,3,ALUop,CarryOut,ALU可进行基本的加/减算术运算、基本逻辑运算。 其核

11、心部件是加法器。,回顾：串行进位加法器,假定与/或门延迟为1ty，异或门3ty，则“和”与“进位”的延迟为多少？,串行加法器的缺点： 进位按串行方式传递，速度慢！,问题：n位串行加法器从C0到Cn的延迟时间为多少？ 最后一位和数的延迟时间为多少？,(2n2) + 3 级门延迟！,2n级门延迟！,Sum延迟为6ty；Carryout延迟为2ty。,回顾：并行进位加法器（CLA加法器）,为什么用先行进位方式？ 串行进位电路延迟与位数成正比关系。效率低。 现代计算机采用一种先行进位(Carry look ahead)方式。 如何产生先行进位？ 定义辅助函数：Gi=Ai 作为舍入的依据。,举例：十进制

12、数，最终有效位数为 3，假定采用两位附加位。,2.3400 * 10 0.0253 * 10 2.3653 * 10,2,2,2,问题：若没有舍入位，采用就近舍入到偶数，则结果是什么？,结果为2.36！精度没有2.37高！,IEEE 754的舍入方式,IEEE 754的舍入方式 ( Z1和Z2分别是结果Z的最近可表示的左、右数 ) (1)就近舍入：舍入为最近可表示的数 非中间值：0舍1入； 中间值：强迫结果为偶数-慢 (2)朝+方向舍入:舍入为Z2(正向舍入) (3)朝-方向舍入:舍入为Z1(负向舍入) (4)朝0方向舍入：截去。正数：取Z1; 负数：取Z2,0,0,Z,Z1,Z2,例：1.1

13、10111 1.1110; 1.110101 1.1101; 1.110110 1.1110; 1.111110 10.0000;,IEEE 754通过在舍入位后再引入“粘位sticky bit”增强精度 加减运算对阶过程中，若阶码较小的数的尾数右移时，舍入位之后有非0数，则可设置sticky bit。,举例： 1.110 x 25 + 1.010 x 21 分别采用二位、三位附加位时，结果各是多少？（就近舍入到偶数）,尾数精确结果为1.110101, 所以分别为： 1.110，1.111（误差较小）,IEEE 754的舍入方式的说明,浮点加/减法器,Sx,右 移,Ex,Mx,Sy,Ey,My

14、,小ALU,大ALU,阶码相减,左移 或 右移,舍 入,阶 差,控制逻辑,Sb,Eb,Mb,阶小的数的尾数右移,尾数加/减,规格化,舍入,阶码增/减,浮点数加减的有关问题,何时需要规格化？,1x .xxx 形式时，则右规: 尾数右移1位, 阶码加1 0.001xx 时，则左规: 尾数左移k位, 阶码减k,对IEEE754 SP格式来说， |E|大于等于多少时，结果就等于阶大的那个数 ？,1.xxx 0.0001xxx(右移24位后，尾数变为0),24！,浮点数加减的有关问题（2）,问题：IEEE754 SP格式的偏置常数是127，这会不会影响阶码运算电路的复杂度？,对计算E1E2补 （mod

15、2n） 没有影响,E补= 256+E1E2=256+127+E1 (127+E2) = 256 + E1移 E2移 = E1移+E2移补 (mod 256),但E1+E2移和 E1E2移的计算会变复杂！ 浮点乘除运算涉及之。,问题：IEEE754加减时，尾数加法器最多需要多少位？,1+1+23+3,浮点数加减的有关问题（3）,问题：为何IEEE 754 加减运算右规时最多只需一次？,因为即使是两个最大的尾数相加，得到的和的尾数也不会达到4，故尾数的整数部分最多有两位，保留一个隐含的“1”后，最多只有一位被右移到小数部分。例如：1.11+1.11 = 11.10,问题：在E为何值时无法根据E补来

16、判断阶差？,溢出时！ 例子？,例如，4位移码，E1=7，E2=-7， 则E补=1111+1111=1110，E0,错！,浮点数乘/除法基本要点,浮点数乘法：A*B =(Ma * Mb).2 Ea+Eb 浮点数除法：A/B =(Ma / Mb).2 Ea-Eb,浮点数乘 / 除法步骤 求阶： Ea + Eb + 127 尾数相乘除： Ma */Mb （两个形为1.xxx的数，原码乘/除） (3) 两数符号相同，结果为正；两数符号相异，结果为负； (4) 当尾数高位为0，需左规；当尾数最高位有进位，需右规。 (5) 如果尾数比规定的长，则需考虑舍入。 若尾数是0，则需要将阶码也置0。 阶码溢出判断

17、,问题1：乘法运算结果最多左规几次？最多右规几次？,不需左规！最多右规1次！,问题2：除法呢？,左规次数不定！不需右规！,溢出判断,以下情况下，可能会导致阶码溢出 左规（阶码 - 1）时 先判断阶码是否为全0， 若是，则直接置阶码下溢； 否则，阶码减1后判断阶码是否为全0，若是，则下溢。 右规（阶码 +1）时 先判断阶码是否为全1， 若是，则直接置阶码上溢； 否则，阶码加1后判断阶码是否为全1，若是，则上溢。,问题：机器内部如何减1？,+-1补 = + 111,若运算后尾数为全0，也算作下溢（结果为0）,举例,例：若Eb = 0000 0001，则左规一次后，结果的阶码 Eb = ? 解：Eb

18、 = Eb+-1补 = 0000 0001 + 1111 1111 = 0000 0000 阶码下溢！ 例：若Ex=1111 1110，Ey=1000 0000，则乘法运算时，结果的阶码 Eb=? 解：Eb = Ex+Ey+129 = 1111 1110 + 1000 0000 + 1000 0001 = 1111 1111 阶码上溢！,以下情况下，可能会导致阶码溢出 乘法运算求阶码的和时 若Ex和Ey最高位皆1，而Eb最高位是0或Eb为全1，则阶码上溢 若Ex和Ey最高位皆0，而Eb最高位是1或Eb为全0，则阶码下溢 除法运算求阶码的差时 若Ex的最高位是1，Ey的最高位是0，Eb的最高位是

19、0或Eb为全1，则阶码上溢。 若Ex的最高位是0，Ey的最高位是1，Eb的最高位是1或Eb为全0，则阶码下溢。,左规或右规结束后再作最终判定!,第三讲小结,浮点运算指令（ 以MIPS为参考 ） 浮点数的表示（IEEE754标准） 单精度SP（float）和双精度DP（double） 浮点数加减运算 对阶、尾数加减、规格化（上溢/下溢处理）、舍入 浮点数乘除运算 浮点数的精度问题 中间结果加保护位、舍入位、粘位 最终进行舍入,本章总结,算术逻辑单元ALU的实现 ALU：实现基本的加减运算和逻辑运算。 加法运算是所有定点和浮点运算（加/减/乘/除）的基础，加法速度至关重要 并行进位方式能加快加法速

20、度 定点数运算：ALU + 移位器 经典的乘除算法 浮点数运算：多个ALU + 移位器实现,*思考：不同ISA中的运算和指令,问题：IA-32指令如何区分无符号数加减法和带符号数加减法？ 例如，若 (AH)=A0H, (BH)=7EH, 则ADD AH, BH的值为多少？ 无符：160+126=30（不正确）；带符：-96+126=30（正确） 问题：IA-32指令如何区分装入 / 存储？如何区分传送不同宽度数据？ 问题：IA-32中浮点数寄存器是80位，这会给float和double类型变量的运算带来什么隐患?,感受不同ISA的不同做法，以比较各自的优缺点！ 如果你来设计一台机器时，你也可以有你的做法！,本章作业,习题3中的5、7、9（1）、9（2）、9（4）、 13（2）、14（1）,10月12号上周一的课 第一节课进行小测验（第1-3章）,