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1、 9 第一讲第一讲 整体与部分整体与部分 2 1.2 左、右极限左、右极限 本节我们讨论单变量实函数的左右极限， 左右连续和左右导数等问题， 也就是把整体问 题分成两个部分问题来讨论。 问题问题1 . 2 . 1 ( )xf xx 0 lim 存在的充要条件是( )()0lim 0 0 0 += + xfxf xx 与 ( )()0lim 0 0 0 = xfxf xx 存在并且相等 分析：整体正确则部分必正确反之，部分正确，则可拼出整体正确关键是要弄 清楚左、右极限的概念 证明：必要性显然，仅须证良分性设( )Axf xx = + 0 0 lim( )xf xx 0 0 lim =，从而对任
2、给的 0，存在0 1 和0 2 ， 当 10 0xx时，( ) Axf 当0 02 xx时，( )=时 ， 当 0 0 xx时 ， 则 0 0 xx和 0 0 xx二者必居其一，从而满足或，所以( )，存在0，当 0 0 xx时， ( )时， 0 0 xxn，从而满足， 即()，对任给的 0，总有x满足 0 0 xx且使得( ) 0 Axf 取1=，则有 1 x满足 01 0 xx，使得 ( ) 01 Axf 取 2 1 =，则有 2 x满足 0102 , 2 1 min0 xxxx，使得 () 02 Axf， 取 n 1 =，则有 n x满足 Axf n ， 即 ()Axf n n lim，
3、这与（）之证矛盾 问题问题5 . 2 . 1 设()( )( )yfxfx xy xx f = 0 0 0 0 0 sup,，则( )xf xx 0 lim 存在的充分必要条件是 ()0,lim 0 0 = x f 分析：注意()( )( )yfxfx xy xx f = 0 0 0 0 0 sup,，同时也有 ()( )( )xfxfx xx xx f ， 存在0， 当 0 0 xx，且 0 0yy时，( )( )yfxf，由此(), 0 x f ，注意 12 当 21 0， 存在0，(), 0 x f ， 由此 0 0 xx， 0 0yy时，( )( )yfxf(), 0 x f 问题问题
4、6 . 2 . 1 ( )xf xx 0 lim 存在的充要条件是( )xf xx 0 _ lim （下极限） 与( )xf xx _ 0 lim 此同时 （上 极限）存在且相等 分析：注意( )xf xx 0 _ lim ( )xf xx = 0 00 inflim，( )xf xx _ 0 lim ( )xf xx ，存在0，有( )+AxfA， 当 0 x， 0 limxxn n = 的 序列() n n xf lim存在；()0 0 xf存在的充要条件是对任给的满足条件 n x pxf，且 ( )xf在0=x右连续，在1=x连续，则( )xf在()+,上恒为常数 13 证明：由( )|
5、(| 1 p xfxf=，从而( )xf为偶函数，仅须证( )xf在), 0 +上连续 在), 0 +上( )xf() p xf，取 p yx 1 =，则( )=yf)( 1 p yf，所以我们不妨设1p，则 对任给的0 x，有( )()( 21 pp xfxfxf=)( 1 n p xf=，由0 1 lim= n n p ，得1 1 n p x， 从而用问题4 . 2 . 1的结论和( )xf在1=x点的连续性可知( )( )1)(lim 1 fxfxf n p n = . 又( )xf在0=x右连续， 于是( )( )( )( )0lim1 0 fxfxff x = ， 所以在 ), 0
6、+上( )xf 连续，从而在()+,上边疆且恒为常数( )1f 以下介绍连续变量离散化方法， 即用抽取子序列来证明闭区间上连续函数的性质 事实 上，前面的海涅()Heine定理即探讨这方面的问题 问题问题10. 2 . 1 函数( )xf在ba,上连续，则函数( )xf在ba,上达到最大值 分析：设 ( )xfM bax, sup =，则问题所要证的是存在bax, 0 ，有()Mxf= 0 证明：设=M ( )xf bax, sup ，则对任给的Nk，有 k xba,，使得() k Mxf k 1 由 k x有界，按致密性定理（问题11. 1 . 1） ，从而可选取 k x的子序列 k n x
7、， 0 limxx k n k = ，bax, 0 ，一方面 k n n MxfM k 1 )(，得 Mxf k n k = )(lim，另一方面由连续性)(lim k n k xf () 0 xf=，由此()Mxf= 0 同理，我们可证，ba,上的连续函数( )xf在ba,上可达到最小值此外，这里 bxa k n （=k，）按极限的保序性有bxa 0 问题问题11. 2 . 1 设( )xfn为有界闭区间ba,上一连续函数列，且 ( )( )( )xfxf 21 1( )( ) + xfxf nn1 ，( )( )( )xfxf n n =lim2处处存在 试证( )xf在ba,上必有最大值
8、 证明：( )xf1在ba,上连续，故有界，从而存在0 0 M，使( )xf1 0 M，xba,， 从而( )xf 0 M，xba, 14 令( )xfM bxa =sup， 则 0 MM为 有 限 数 ， 对 任 给 的Nk 有 k xba,， () k Mxf k 1 . 又 k x是 有 界 数 列 , 则 有 收 敛 子 列 k n x, 设 其 极 限 为 0 x, 即 0 limxx k n k = ba,于是 ()M n Mxfxf k k nn k n k = ) 1 (lim)(lim 0 . 再令n,()()Mxfxf n n = 00 lim,从而()Mxf= 0 . 这
9、里证明的关键是用有界数列的致密性定理. 问 题问 题12. 2 . 1 ( )xf在 0 x存 在 导 数 的 充 要 条 件 是 对 任 给 的 两 数 列 nn x 0 (=n1,2,), n n , n n n n x =limlim 0 ,有 ()() nn nn n ff lim存 在. 证明:若() 0 x f 存在,即 ( )() = 0 0 0 lim xx xfxf xx () 0 x f ,从而对任给的0,存在0, 当|0 0 xx时， ( )() ()时, 00 ,xx nn ,从而 ()() (), 0 0 0 xf x xff n n ()() () 0 0 0 xf
10、 x fxf n n , 于是 ()() () 0 xf ff nn nn 存在 0 limx n n = , n lim ()() 0 0 x xff n n 存在,由 15 问题8 . 2 . 1,可得 ( )() 0 0 0 lim xx xfxf o xx + 存在,即右可导 同理可证( )xf在 0 x左可导,下证左右导 数相等.对, 0000 xxxx nnnn 取 n 为 += = = . 12 ,2 0 kn knx k n 取 n 为 = += = .2 , 12 0 kn knx k n 则 ()() nn nn n ff A = lim存在，注意 ()()()() A x
11、 xffff k k k kk kk k = = 0 0 22 22 limlim . ()()()() ,limlim 0 0 1212 1212 A x fxfff k k k kk kk k = = + + 同时注意到 ()() () 0 0 0 limxf x xff k k k + = (右导数), ()()()() () 0 0 0 0 0 limlimxf x xff x fxf k k k k k k = = (左导数), 所以, () 0 xf+=() 0 xf. 此问题很容易误证,最常见的是用中值公式证明: ()()( )(), nnnnnnnn rrfff= 令,n由 n
12、 n n n x =limlim 0 得 0 limxrn n = ，然后得( )() 0 limxfrf n n = . 这里犯了两点错误: (1) ( )xf在区间 nn ,上并没有指出其满足中值定理条件,在必要性的证明中,我们 仅知道() 0 xf存在,而在除 0 x外的其它点是否可导根本不知道. (2) 即使满足中值公式条件,但导数也未必连续,所以也不能从 0 limxrn n = 推导出 ( )() 0 limxfrf n n = .此外在本问题的充分性的证明中,为证明左、 右极限相等我们构造了序 列 n 和 n ,并且利用子序列的极限应等于原收敛序列的极限,这种构造性的方法望读 者仔细体会.