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1、收稿日期 2006210227 第25卷第2期大 学 数 学Vol. 25 ,. 2 2009年4月COLLEGE MATHEMA TICSApr. 2009 鞍点定理在Lagrange乘数法上的应用 喻方元, 于 寅 (湖北汽车工业学院 理学部,湖北 十堰442002) 摘 要将鞍点的概念运用在Lagrange乘数法上,给出了多元函数的条件极值问题存在的一个充要 条件. 关键词 Lagrange乘数法;条件极值;鞍点;鞍点定理 中图分类号 O178文献标识码 A文章编号 167221454(2009)0220104205 1 问题的提出 众所周知,对于多元函数的条件极值问题 minf ( x
2、) , s. t. g( x) -a= 0, (1) 有所谓Lagrange乘数法.即作函数 L ( x,)= f ( x) +( g( x)-a) , 令 ?xL= 0,?L= 0,即 ?xf+ ? xg= 0, (2) g( x) -a= 0.(3) 若条件极值问题(1)有解,则解必须满足方程(2) , (3 ) , 这就是所谓Lagrange乘数法.它仅仅给出了原问 题的极值存在的必要条件. 即使满足方程(2) , (3)的解x0惟一,此点x0也未必就是原问题的极值点. 例如条件极值问题z=xy2,s. t.x-y= 0,做Lagrange乘数函数 L=xy2+ ( x -y) . 令
3、?xL= 0,?L= 0,得唯一解x=y= 0. 但是函数z=x3在x= 0点没有极值. 如何给出条件极值问题存在的充分条件就成为要解决的问题. 2 问题的解决 本文引进鞍点的概念,并运用鞍点定理证明:若 ( x 0,0)是函数L ( x,)的鞍点,则x0必定是条件极 值问题(1)的解. 本文总设所列函数具有连续的偏导数. 先证明若x0是满足问题(1)的解,0是与x0相对应的Lagrange乘子,则有 引理 记X= x| g( x) -a= 0 , x0= arg min f ( x) X ,0是与x0相对应的Lagrange乘子,则有 L ( x0,)L ( x0,0)L ( x,0 ) .
4、 证 L ( x0,)=f ( x0)+( g( x0)- a) L ( x0,0)=f ( x0)+0( g( x0)-a) . 因为所求问题的极值存在,由(2) , (3)式联立解出的点x0 及 0对应的必然是函数L ( x,)的极小值点, 即 L ( x0,0)=f ( x0)+0 ( g( x 0)- a) L ( x,)= f ( x) +( g( x)-a) . 特别地,取=0时,有 L ( x0,0)=f ( x0)+0( g( x0)- a) L ( x,0)= f ( x) +0( g( x)-a) . 定义 设f ( x) , g( x)为连续函数.若存在 ( x 0,0)
5、的某个邻域 U ( ) , 使得函数 L ( x,)= f ( x) +( g( x)-a) , R 满足不等式 L ( x0,)L ( x0,0)L ( x,0 ) , ( , x) U ( ) , 则称 ( x 0,0)为鞍点. 定理1(鞍点定理) ( x 0,0)是函数L ( x,)的鞍点的充分必要条件是下列两条成立: (i)x0= arg minL ( x,0 ) ; (ii)g( x0)-a= 0. 证 必要性.因为 ( x 0,0)为鞍点,所以 L ( x0,)L ( x0,0)L ( x,0 ) . 从而L ( x0,0)L ( x,0 ) , 即x0是函数L ( x,0)的极小
6、值点, x0= arg minL ( x,0 ) . 又 L ( x0,)=f ( x0)+( g( x0)- a) L ( x0,0)=f ( x0)+0( g( x0)-a) , 由此得 (0-) ( g( x0)- a) 0. 由的任意性知 g( x0)-a= 0. 充分性.设 x0= arg minL ( x,0 ) , g( x0)-a= 0, 则 L ( x0,0)L ( x,0 ) . 于是 L ( x0,)=f ( x0)+( g( x0)- a) =f ( x0)+0( g( x0)- a) =L ( x0,0) L ( x,0)= f ( x) +0( g( x)-a) ,
7、 故 ( x 0,0)为鞍点. 定理2f ( x0)是满足条件 g( x) -a= 0下函数 f ( x) 的极小值的充要条件是 ( x 0,0)是函数L ( x,) 的鞍点. 证 充分性.若 ( x 0,0)是L ( x,)的鞍点,由鞍点定理,有 (i)x0= arg minL ( x,0)X; (ii)g( x0)-a= 0. 由(i)知 L ( x0,0)=f ( x0)+0 ( g( x 0)- a) L ( x,0)= f ( x) +0( g( x)-a) , 所以 f ( x) +0( g( x)- a) -f ( x0)-0( g( x0)- a) = f ( x) -f (
8、x0)+0( g( x)-g( x0) )0.(4) 假如 f ( x) 在x0点不取得极小值,则对于任意邻域U ( x0, ) , 存在点x1,使得 f ( x1) 0. 不妨设0 0,上式表明:对于任意邻域 U ( x0, ) , 存在x1U ( x0, ) , 使得 g( x1)-g( x0)r 0. 这与函数 g( x) 在x0点的连续性矛盾.故 f ( x) 在x0点取得极小值. 必要性.若f ( x0)是满足条件g ( x)-a= 0下函数f ( x)的极小值,即x0= arg minf ( x)X , g( x0)-a= 0.设0是与x0相对应的Lagrange乘子,则由引理知,
9、存在 ( x 0,0)的某个邻域 U ( ) , 使不等式 L ( x0,)L ( x0,0)L ( x,0) 成立,即 ( x 0,0)是L ( x,)的鞍点. 3 应用举例 例1 求解条件极值问题z=xy2,s. t.x-y= 0. 解 做Lagrange乘数函数 L ( x , y ,)=xy2+ ( x -y) . 令5L 5x =y2+= 0, 5L 5y = 2xy-= 0, 5L 5 =xy2= 0,得 x0=y0= 0, 0= 0, L ( x0, y0,)= 0,L ( x0, y0,0)= 0,L ( x , y ,0)=xy2. 不等式 L ( x0, y0,0)= 0
10、xy2=L ( x , y ,0) 在点 ( x 0, y0,0)的一个邻域 U ( )内不一定成立,所以点 ( x 0, y0,0)不是鞍点,此条件极值问题无解. 例2 求曲面x2+y2+z2= 16与x2+y2+z2+ 2x+ 2y+ 2z= 24交线的最高点和最低点的坐标. 解 目标函数为u=z ,满足条件 1( x , y , z)=x2+y2+z2- 16 = 0, 2( x , y , z)=x2+y2+z2+ 2x+ 2y+ 2z- 24 = 0. 作拉格朗日函数L ( x , y , z)=z+ 1+ 2,由拉格朗日乘数法知 x+x+= 0, y+y+= 0, 1 + 2z+
11、2z+ 2= 0, x2+y2+z2- 16 = 0, x2+y2+z2+ 2x+ 2y+ 2z- 24 = 0. 解得 x1= 8 3 , y1= 8 3 , z2= - 4 3 , 1= 11 24 , 1= - 1 3 , 或 x2= 0, y2= 0, z2= 4, 2= - 1 8 , 2= 0. 一般教科书上都指出,由问题本身可知,曲线的最高点和最低点一定存在,所以曲线的最低点坐标 为 8 3 , 8 3 ,- 4 3 ,最高点坐标为(0,0,4 ) , 即目标函数在点 ( x 1, y1, z1)取得极小值,在点 ( x 2, y2, z2)取得 极大值.显然,这种说法缺乏理论依
12、据. 实际上依据定理2,我们只需证明,点 ( x 1, y1, z1,1,1)是函数L ( x , y , z ,)的鞍点即可.为此,令 函数 I( x , y , z)=L ( x , y , z ,1,1) =z+ 11 24 ( x 2 +y2+z2- 16)- 1 3 ( x 2 +y2+z2+ 2x+ 2y+ 2z- 24 ) . 令 601大 学 数 学 第25卷 5I 5x = x 4 - 2 3 = 0, 5I 5y = y 4 - 2 3 = 0, 5I 5z = z 4 + 1 3 = 0, 得x1= 8 3 , y1= 8 3 , z1= - 4 3 ,则 L ( x1,
13、 y1, z1,)=L ( x1, y1, z1,1,1)= - 4 3 , A= 52I 5x2 = 1 4 ,B= 52I 5y2 = 1 4 ,C= 52I 5z2 = 1 4 ,D= 52I 5x5y = 0,E= 52I 5x5z = 0,F= 52I 5y5z = 0. 三阶Hesse矩阵 J= ADE DBF EFC = 1 4 00 0 1 4 0 00 1 4 为正定矩阵,函数I( x , y , z)在点 ( x 1, y1, z1)取得极小值.即 I( x1, y1, z1)I( x , y , z) 或 L ( x1, y1, z1,1,1)L ( x , y , z
14、,1,1 ) , 故 L ( x1, y1, z1,)L ( x1, y1, z1,1,1)L ( x , y , z ,1,1 ) , 即点 ( x 1, y1, z1,1,1)是函数L ( x , y , z ,)的一个鞍点.由定理2知, z= - 4 3 是满足约束条件下函数 的极小值. 同理,令 H( x , y , z)=L ( x , y , z , 2,2)=z- 1 8 ( x 2 +y2+z2- 16 ) , 则由5 H 5x = - x 4 = 0, 5H 5y = - y 4 = 0, 5H 5z = 1 - z 4 = 0,得x2= 0, y2= 0, z2= 4.于是
15、 L ( x2, y2, z2,)=L ( x2, y2, z2,2,2)= 4. 由 A= 52H 5x2 =B= 52H 5y2 =C= 52H 5z2 = - 1 4 ,D= 52H 5x5y =E= 52H 5x5z =F= 52H 5y5z = 0知,三阶Hesse矩阵 J= ADE DBF EFC = - 1 4 00 0- 1 4 0 00- 1 4 为负定矩阵,函数H( x , y , z)在点 ( x 2, y2, z2)取得极大值.即 H( x2, y2, z2)H( x , y , z) 或 L ( x2, y2, z2,2,2)L ( x , y , z ,2,2 )
16、. 故 L ( x2, y2, z2,)L ( x2, y2, z2,2,2)L ( x , y , z ,2,2 ) , 即点 ( x 2, y2, z2,2,2)是函数L ( x , y , z ,)的一个鞍点.由鞍点定理的对偶结果知, z= 4是满足约束 条件下函数的极大值. 参 考 文 献 1 同济大学数学教研室.高等数学(第五版) M.北京:高等教育出版社,2001. 2Finney , Weir , Giordano.托马斯.微积分(第十版) M.叶其孝,等译.北京:高等教育出版社,2003. 3 于寅.高等工程数学(第二版) M.武汉:华中理工大学出版社,1995. 701第2期
17、 喻方元,等:鞍点定理在Lagrange乘数法上的应用 4 栗塔山.最优化计算原理与算法程序设计M.长沙:国防科技大学出版社,2001. 5 陈景良,等.特殊矩阵M.北京:清华大学出版社,2001. Saddle Point Theorem and its Applications in the Method of Lagrange Multiplier YU Fang2yuan ,YU Yin (Department of Mathematics , Hubei Automotive Industries Institute , Shiyan Hubei 442002 , China) Ab
18、stract : The author applied the concept of saddle point to the method of Lagrange multipliers , gave a necessary and sufficient condition of the existence of extreme values of constrained functions.The author also put forward some examples to support his result in application. Key words : the method of Lagrange multipliers; the extreme values of constrained functions saddle point ; saddle point theorem 801大 学 数 学 第25卷