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1、8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:最大切应力为 （2）任斜截面上的应力（3) 主应力的大小主平面的方位4、主应变 5、广义胡克定律 ， 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 解题范例8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。图8.1解（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截
2、面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。(2)分析单元体各面上的应力:A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为： 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力t ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。8.2 图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平
3、面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。解（1）求斜截面上的正应力和切应力图8.2由公式 （2）求主方向及主应力 最大主应力在第一象限中，对应的角度为，主应力的大小为由可解出因有一个为零的主应力，因此画出主单元体如图8.2(b)。（3）主切应力作用面的法线方向 主切应力为此两截面上的正应力为 主切应力单元体如图8.2（c）所示。由，可以验证上述结果的正确性。8.3 试用图形解析法，重解例8.2。解 （1）画应力圆建立比例尺，画坐标轴。对图8.2(a)所示单元体，在平面上画出代表的点A(-50,-60)和代表的点B(100,60)。连接A、B，与水平轴交于C点，以C点为圆心，（或）为半径，作
4、应力圆如图8.3所示.图8.3 (2) 斜截面上的应力在应力圆上自A点顺时针转过，到达G点。G点在坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G点的水平和垂直坐标值： MPa=34.95MPa(3)主方向、主应力及主单元体图8.3所示应力圆图上H点横坐标为第一主应力，即K点的横坐标为第三主应力，即由应力圆图上可以看出，由B点顺时针转过为第一主方向，在单元体上则为由y轴顺时针转，且应力圆图上由A顺时针转到K点()，则在单元体上由x轴顺时针转过为第三主方向,画出主单元体仍如图8.2(b)所示。（4）主切应力作用面的位置及其上的应力图8.3所示应力圆上N、P点分别表示主
5、切应力作用面的相对方位及其上的应力。在应力圆上由B到N，逆时针转过，单元体上作用面的外法线方向为由y轴逆时针转过，且作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图8.2(c)所示。8.4 如图8.4所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p和外力矩m的作用。在圆筒表面a点用应变仪测出与x轴分别成正负45方向两个微小线段ab和ac的的应变e45629.4106，e4566.9106，试求压强P和外力矩m。已知薄壁筒的平均直径d200mm，厚度t10mm， E200GPa，泊松比m0.25。图8.4解 （1）a点为平面应力状态,在a点取出如图8.4(c)所示的原始单元体，其上应力：（2）求
6、图8.4(c)斜单元体efgh各面上的正应力：（3）利用胡克定律，列出应变e45、e45表达式 将给定数据代入上式得内压强和外力矩p10MPa， m35kNm8.5矩形截面简支梁如图8.5所示，已知梁的横截面面积为A，截面惯性矩为I，材料的弹性模量为E，泊松比为,梁外表面中性层上A点45方向的线应变为450。请选择荷载F. 图 8.5 (A) （B） (C) （D）答案:(A) 习题解析8.1 单元体最大正应力面上的切应力恒等于零吗? 解 正确。因为在主平面上的正应力1是单元体内各截面上正应力的极值（可以为最大值），而主平面上切应力为零。8.2 单元体最大切应力面上的正应力恒等于零,对吗?解
7、不正确。三向应力状态下单元体有3个主应力，而最大切应力由决定，即：8.3 若一单元体中两个面上切应力数值相等 , 符号相反 , 则该两平面必定相互垂直 , 这种说法对吗?解 正确。由切应力双生互等定理知,若切应力数值上，符号相反时，该两平面必定相互垂直。 图 8.68.4 直径 d=20mm 、L=2m 的 圆截面杆,受力如图 8.7 。试绘杆件中 A 点和 B 点的单元体受力图,算出单元体上的应力的数值,并确定这些点是否为危险点。 （c）图 8.7(a)（b）（d） 解 以下图8.8为图8.7各单元体受力图： 图 8.8应力计算:图（a）的A点 : 图（b）的A点: 图（c）的A点: B点:
8、 , 图（d）中A点(压应力): B点: (b）中的A为危险点，（c）中的A、B为危险点，（d）中的A ，B点均为危险点,相比之下A 点的应力较大。8.5 已知应力状态如图 8.9 所示(应力单位:MPa)。试用图解法求:(1)(a)、(b)中指定斜截面上的应力;并用解析法校核之;(2) (c)、(d) 、(e)上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置 ,求最大切应力。(a)300 斜截面单元本;(b)450 斜截面单元体;(c) 纯切应力单元体;(d) 压拉切单元体(e) 拉压切单元体。图 8.9 解(a) 按比例画出应力圆如下图,可得=300的斜截面的正应力和切应力为E点的坐标为
9、解析法校核：(b) 用比例画出应力圆,E点的坐标为 ysCEXOY解析法校核：(c）应力圆如下图,与轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：主平面的方位可由应力圆上量得,因最大主应力作用面与x平面之夹角为(从D1到A1是顺时针转的):(d）应力圆与轴的交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为： 最大主应力作用面与x平面之夹角为(可由应力圆上得):(e）应力圆与轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为 主平面的方位，可由应力圆上量得：（对应于主应力1所在主平面）8.6 图 8.10 示单元体 ( 单
10、位为 MPa), 问分别属于什么应力状态。图 8.10 解 (1)(a)属于单向拉应力状态;(2)(b)属于双向拉应力状态(平面应力状态);(3)(c) 属于双向拉剪应力状态;(4)(d) 属于纯剪应力状态;(5)(e) 属于双向拉应力状态(平面应力状态).8.7 用直角应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为00=70010-6,450=35010-6,900=-50010-6,试作应变圆,求该点处的主应变数值和方向。解 选比例尺如图8.11（b）所示，绘出纵坐标轴，并根据已知的值分别作出平行于该轴的直线，过Lb线上任一点B，作与Lb 线成顺时针方向45角的BA线，交La 线于A点,
11、作与Lb线成逆时针转向45角的BC线交Lc线于C点。作BA与BC两线的垂直的平分线，相交于o1点，过o点作横坐标轴即轴，并以为半径作圆，按上述比例尺量取些二者的交点D1，D2横坐标，即得： 再从应变圆上量得：/2CD2 图 8.118.8用直角应变花测得构件表面上某点处0=+40010-6, 450=+26010-6, 900=-8010-6, 试求该点处三个应变的数值和方向。解 因 利用公式得 8.9 用直角应变花测得受力构件表面上某点处的应变值为0=-26710-6 ,450=-57010-6 及900 =7910-6 ,构件材料为 Q235 钢,E=2.1105MPa, =0.3 。试利
12、用应变圆求主应变,再求出该点处主应力的数值和方向。 图 8.12解 选比例尺和纵坐标轴如图8.12所示,已知 先做La 、Lb、Lc，过上的任一点作与Lb线成顺时针转向45度角的BA线,交La线于A点;作与Lb线成逆时针转向45度角的BC线交Lc线于C点,作BA与BC线 交线于C点.作BA与BC两线的垂直等分线,相交于O1点作横坐标轴即轴.并以为半径作圆,按上述比例尺即此二者的交点的横坐标,即得 根据虎克定律得: =-66MPa=-10MPa根据主应变求主应力: 可解得: 根据: 可解得: 从X轴到主应力所在平面外法线,其角是沿顺时针转向量取的。8.10 图 8.13 示矩形截面简支梁在集中载
13、荷P作用下。(1)在 A、B、C、D、E 五点取单元体,定性分析这五点的应力情况,并指出单元体属于哪种应力状态。(2)若测得图示梁上 D 点在 x及 y 方向上的正应变为x=4.010-4 及y=1.2 10-4, 已知 E=200GN/m2, =0.3, 试求D 点 x及 y 方向上的正应力。图 8.13 解 （1）A 、 B 、 C 、 D 、 E五点的应力状态如图8.14所示，其中、均为压应力，、E均为拉应力。A 、 B 、 D 、 E为平面应力状态，C为纯剪切应力状态。DEEBDC A AA BBCDE 图 8.14(2) 根据广义虎克定律得=24.6MPa =78.5MPa 8.11
14、图 8.15 示一钢质圆杆,直径 D=20mm, 已知 A 点与水平线成 60度 方向上 的正应变600=4.110-4,试求载荷 P。已知 E=210GN/m2, =0.28。 图 8.15 解 过A点取单元体,根据题意有 8.12 如图8.16所示,外力矩 Mn=2.5103Nm, 作用在直径 D=60mm 的钢轴上,若 E=210GN/m2, =0.28.试求圆轴表面上任一点在与母线成=300方向上的正应变。 图 8.16解 过表面A点取单元体,根据题意有8.13 己知油压缸 (薄壁) 的平均直径为 d, 壁厚t, 内壁受到油压强户的作用,其弹性模量 E 及泊松比均为已知。试求其直径的增量为多少?解 薄壁圆筒承受内压后,外表面各点将产生周向应力和轴向应力,根据广义虎克定律 环向线应变为直径的增量为20教资材料a