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1、2020高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（二）学案 新人教A版必修4【学习要求】1掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式2会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明学习重点：面向量数量积的运算律及常用的公式学习难点：利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明【学法指导】引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是非常必要的向量a、b的数量积ab虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似，实质差别很大实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来例如，ab0不能推出a0或b0；abbcac；(ab)ca(bc)也未必成立.一知识导学1向量的数量积(内积)_叫做向量a和b
2、的数量积(或内积)，记作ab.即ab_叫做向量a在b方向上的投影，_叫做向量b在a方向上的投影2向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量(1)aeea_；(2)abab_且ab_ab；(3)aa_或|a|_；(4)cosa，b_；(5)|ab|_|a|b|.3向量数量积的运算律(1)ab_ (交换律)；(2)(a)b_(结合律)；(3)(ab)c_(分配律).二探究与发现【探究点一】向量数量积运算律的提出问题1类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：问题2在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反
3、例说明【探究点二】向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数，向量的数量积满足下列运算律：abba(交换律)；(a)b(ab)a(b)(数乘结合律)；(ab)cacbc(分配律)【探究点三】平面向量数量积的运算性质实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量积运算中仍然成立，请你根据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质.表中的结论可以用作公式使用：例如，若向量a、b、c满足abc0且|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca_.【典型例题】例1给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0，其中正确结论的
4、序号是_跟踪训练1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b不与c垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的序号是_例2已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)跟踪训练2已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：(1)(2ab)(a3b)；(2)|3a4b|.例3已知|a|3，|b|4，且a与b不共线，k为何值时，向量akb与akb互相垂直跟踪训练3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角？三、巩固训练1已知
5、|a|2，|b|1，a与b之间的夹角为60，那么向量a4b的模为()A2 B2 C6 D122已知|a|1，|b|，且(ab)与a垂直，则a与b的夹角是()A60 B30 C135 D453设|a|3，|b|2，|c|5，向量a与b的夹角为，向量b与c的夹角为，则|(ab)c|_；|a(bc)|_.四、小结：1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而(ac)b|a|c|cosa，cb是一个与b共线的向量，两者一般不同3在实数中，若ab0则a0或b0，但是在数量积中，即使ab0，也不能推出a0或b0，因为其中cos 有可能为0.4在实数中，若abbc，b0则ac，在向量中abbc，b0ac.