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1、利用直线知识巧解最值问题孙道斌 直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。一、利用直线的斜率性质直线斜率在上是单调递增的，在上也是单调递增的。 例1. 已知实数x、y满足，求的最大值与最小值。解：表示过点A（0，1）和圆上的动点（x，y）的直线的斜率。如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值。设切线方程为，即，则，解得因此，二、利用直线的截距 例2. 已知A（2，0），B（1，2），C（2，3），连接A、B、C三点得封闭区域P（含边界），当动点Q（x，y）在区域P内移动时，求
2、的取值范围。解：设，则当动点Q（x，y）在区域P内变化时，直线在y轴上的截距b也随之变化。由下图知，当直线经过A、B两点时，b分别取最小值和最大值，即b分别取最大值和最小值。把A、B两点坐标代入，得故2xy的取值范围是4，4三、利用线段的定比分点 例3. 求函数的值域。解：原函数可化为于是，原题等价于：当动点P（0，y）分以A（0，）与B（0，4）两点为端点的线段AB的定比时，求y的取值范围。当时，点P与点A重合，这时当时，点P在线段AB（或BA）的延长线上，所以或综上所述，所求函数的值域是四、利用点到直线的距离 例4. 已知，求的最小值。解：把看作是点（x，y）到点（1，0）的距离（如下图所示）。因此，它的最小值就是点（1，0）到直线的距离，即，即。五、利用直线与曲线的位置关系 例5. 求证：证明：设，则，即点（cos，sin）既在直线上，又在圆上，即直线与圆有公共点，则，解得故命题得证。