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1、2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 1 第四讲： 鲁棒稳定性理论 第四讲： 鲁棒稳定性理论 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 2 加法不确定性的鲁棒稳定化控制加法不确定性的鲁棒稳定化控制 ( )K s ( )s )(sP - zw ( )W s ry ( ) A P s ( )( )( ) ( ):( )H AA UPsP sW sssB=+ 1 () z TIKPKW = + 1 ()1IKPKW + 1 ()HIKPKWB + 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 3 判别加法
2、不确定性系统的鲁棒稳定性判别加法不确定性系统的鲁棒稳定性 2 5 ( ) (5)(0.21) s P s sss + = + 5(0.2)(0.1) ( ) (5) ss K s s s + = + ( )0.2 , ( )1W ss = 1 ( )1( )( )( )( )H yr TsP s K sP s K sR =+ 1 ( )1( )( )( )( ) zw TsP s K sK s W s =+ K(s)是稳定化控制器 )( max jTz 1 10 0 10 1 10 2 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 奇异值曲线 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用
3、中南大学信息科学与工程学院吴 敏 4 乘法不确定性系统的鲁棒稳定化控制乘法不确定性系统的鲁棒稳定化控制 ( )K s ( )s )(sP - zw ( )W s ry ( ) A P s 1 z TIPKPKW = + 1 ()1IPKPKW + 1 ()HIPKPKWB + 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 5 基于规范互质分解描述的鲁棒稳定性基于规范互质分解描述的鲁棒稳定性 1 11 ( )( )( )P sMs N s = TT 1111 ( )( )( )( )N s NsM s MsI+= 11 1 ( )( )( )( )( ) ( ) zw
4、 I TsIP s K sMs W s K s =+ 11 1 ( )( )( )( )1 ( ) I IP s K sMs W s K s +0和 常数a0，而且二次型函数 T ( )( )( )V xxt Px t= 对时间的导数不依赖于未知参数r(t)而满足 2 T ( )( ) ( ( )( ( ) ( )( )V txtA r t PPA r tx ta x t=+ 则称系统是二次稳定的(quadratically stable)。 特征：特征：保证渐近稳定性的李雅普诺夫函数V(x)可以选择为x的 正定二次型函数，而且与不确定性r(t)无关。 二次稳定性，二次稳定化问题(鲁棒稳定化问
5、题)。 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 12 二次稳定化问题二次稳定化问题 定义：定义：在系统中，若存在连续的状态反 馈控制 ( )( ( ) ( )( ( ) ( )x tA r t x tB s t u t=+& ( )( ( ), (0)0u tf x tf= 以及n维常数矩阵P0和常数a0，而且对应于闭环控制 系统 ( )( ( ) ( )( ( ) ( ( )x tA r tx tB s tf x t=+& 函数对时间的导数不依赖于让r(t)和s(t)的值而满 足 T ( )V xx Px= TTT ( )( ( )( ( )2( ( ) (
6、 )V xxAA r tPP AA r txx P BB s tf x=+ + + & 则称系统是可二次稳定化的(quadratically stabilizable)。 2 ( ), , n a x txRtR 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 13 二次稳定性的性质二次稳定性的性质 定义：定义：下述两种陈述是等价的。 a) 系统可通过线性控制u=-Kx实 现二次稳定化； ( )( ( ) ( )( ( ) ( )x tA r t x tB s t u t=+& b) 对系统实施适当的线性状态反 馈u=-Kx后获得的闭环控制系统是二次稳定的。 ( )(
7、 ( ) ( )( ( ) ( )x tA r t x tB s t u t=+& 引理：引理：下述三个结论是等价的。 a) 系统是二次稳定的； ( )( ( ) ( )( ( ) ( )x tA r t x tB s t u t=+& b) 存在常数矩阵P0和常数a0，使 T ( ) ( ),( ) r Ar t PPA r taIr tR+ c) 存在常数矩阵P0，满足 T ( ) ( )0,( ) r Ar t PPA r tr tR+0和常数a0，而且 TTT ( )( ( )( ( )2( ( ) ( )V xxAA r tPP AA r txx P BB s tK x=+ + +
8、& 2 , n a xxRtR 不依赖于未知参数r(t)和s(t)和而成立，则系统 ( )( ( ) ( )( ( ) ( )x tA r t x tB s t u t=+& 是可线性二次稳定化的。 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 15 线性二次稳定化控制规律线性二次稳定化控制规律 当匹配条件 ( ( )( ( ) ,( ( )1ABB D r tE s tE s t=0，Q是满足 T ( ( )( ( ),( ) r QDr tD r tIr tR+ 的任意正定对称矩阵。 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 16
9、 二次稳定化控制有关结论二次稳定化控制有关结论(1) 结论结论结论结论1 1：对于系统，有： ( )( ( ) ( )( ( ) ( )x tA r t x tB s t u t=+& a) 如果对于适当的常数矩阵S0，不等式条件 ( , )0,(0)xx SxR0和矩阵Q0，黎卡提方程 T11T11T ()0A PPAPBR BBR VR BWT P UQ += 具有正定解，则满足式；( , )0,(0)xx SxR0具有正定解，而其中的一个线性 二次稳定化控制规律为 1T ( )( ),1 2 r u tKx tKR B P r = = 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息
10、科学与工程学院吴 敏 18 二次稳定化控制有关结论二次稳定化控制有关结论(3) 结论结论结论结论3 3：假设是任意给定的正定对称矩阵，这时系统 n n QR ( )( )( ) ( ),( )1x tAx tBDt E u tt=+& 为可二次稳定化的充分与必要条件是黎卡提方程 TT1TTT 0A PPAPB B PPBB PPDD PQ+ += 对于适当的正数具有正定解，而其中的一个线性 二次稳定化控制规律为 TT 1 ( )( ),) 2 u tKx tKB P = = + （ 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 19 二次稳定化控制有关结论二次稳定化
11、控制有关结论(4) 结论结论结论结论4 4：假定是任意给定的正定对称矩阵，这时系统 n n QR ( )( ) ( )( ) ( ),( )1 ab x tADt E x tBDt E u tt=+& 可通过线性控制实现二次稳定化的充分与必要条件是 黎卡提方程 TTTTT ()() bbba AB E EPP AB E EPDD PPB B P+ 对于适当的正数具有正定解P，而其中的一个线性 二次稳定化控制规律为 TTT 1 ( )() ( ) 2 ba u tB PE Ex t = + + TTTT 1 ()0 abba PBB PEIEEEQ += 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用
12、中南大学信息科学与工程学院吴 敏 20 二次稳定化控制与最优控制的关系二次稳定化控制与最优控制的关系(1) T 0 bb E E 当考虑时,二次稳定化为 TTT 1 ( )() ( ) 2 ba u tB PE Ex t = + + 它与目标函数为 TTTTTT 0 (2) bbbbbb x E E xx E E uu E E u dt + 的LQ控制是等价的.对应黎卡提方程分别为 T1TTT1TTT1T ()()() bbbabbbabb AB E EE EPP AB E EE EPDD PPB E EB P + TT1T ()0 abbbba EIE E EEEQ += TTTTTTT 0
13、 ()2) aaabbb xE EPDD PQ xx E E uu E E u dt + 控制规律相同,但对应的黎卡提方程不同. 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 21 二次稳定化控制与最优控制的差异二次稳定化控制与最优控制的差异 ? LQ控制没有包含不确定性的信息，而二次稳定化控制 则包含有不确定性的信息； ? LQ控制常常可以保证黎卡提方程的可解性，而二次稳 定化控制则不一定能保证黎卡提方程的可解性。 这种差异意味着，最优控制系统在系统参数发生变化时 不一定是鲁棒稳定的。 注意:不能把二次稳定化问题作为LQ控制来进行求解 2007年10月9日 鲁棒控
14、制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 22 二次稳定化问题与二次稳定化问题与 H控制问题控制问题(1) . ( )( ) ( )( ),( )1x tADt E x tBu tt=+(A,D)是可稳定化的系统 该系统二次稳定的充分与必要条件是下述两个等价的 条件成立： ?A是稳定矩阵，而且 1 ()1E sIAD ? 黎卡提方程 TTT 0PAA PPDD PE E+ 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 23 二次稳定化问题与二次稳定化问题与H控制问题(2)控制问题(2) 引入 ( )( )w tt z= ,则 . ( )( ) ( )( )( )
15、 ( )( ) ( )( ) ( ),( )1 x tA t x tDw tBu t z tEx t w tt z tt =+ = = z u 结构不确定性系统的等价描述 )(t . xAx Dw Bu zEx =+ = 若A是稳定的,(t)是常数矩阵,则 111 ()()()E sIADE sIADE sIAD ( )( )u tKx t= 引入:,则二次稳定化的充分与必要条件: ? A-BK是稳定矩阵； ? 1 ()1E sIABKD + w 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 24 区间多项式区间多项式 1 11 ( ) nn nn f ssa sa
16、sa =+L,1,2, iii ain=L G:多项式的全体 H:所有的赫尔维茨多项式 :左右两边取等号时对应的所有多项式 (顶点多项式 ) 有2n个 G GG 一个立方体有2n个顶点构成 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 25 卡里托诺夫多项式的获取卡里托诺夫多项式的获取 在 G 的 n 2个组成元素中取4个多项式 234 11234 234 21234 234 31234 234 41234 ( ) ( ) ( ) ( ) n nnnnn n nnnnn n nnnnn n nnnnn k saasssss k sasssss k ssssss k
17、ssssss =+ =+ =+ =+ L L L L 22 ( )()()f sh ssg s=+ 2246 1246 2246 2246 2246 11357 2246 21357 ( ) ( ) ( ) ( ) nnnn nnnn nnnn nnnn h ssss h ssss g ssss g ssss =+ =+ =+ =+ L L L L 22 111 22 212 22 321 22 422 ( )()() ( )()() ( )()() ( )()() k sh ssg s k sh ssgs k sh ssg s k sh ssgs =+ =+ =+ =+ 2007年10月9日
18、 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 26 卡里托诺夫定理卡里托诺夫定理 GH的充分与必要条件是 GH 。 GH的充分与必要条件是 ( )i s kH 1,2,3,4i = ?无限多个多项式的赫尔维茨稳定性特性可以转换为有限 2n个顶点多项式的赫尔维茨稳定性特性 ?无限多个多项式的赫尔维茨稳定性特性可以转换为4个 卡里托诺夫的赫尔维茨稳定性特性 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 27 。 复数域的卡里托诺夫定理复数域的卡里托诺夫定理 12 1122 ( )()()() nnn nn f ssajb sajb sajb =+LGc: ,1,
19、2, iiiiii abin =L c GH 的充分与必要条件是( )ci s kH ， 1,2,8i =L 其中kci是下面定义的顶点多项式 234 111223344 234 211223344 31122 ( )()()()()() ( )()()()()() ( )()()() n cnnnnnnnnnn n cnnnnnnnnnn cnnnnnn ksajj sj sj sj ss ksajj sj sj sj ss ksajj sj =+ =+ =+ L L 234 3344 234 411223344 234 511223344 6 ()() ( )()()()()() ( )(
20、)()()()() ( n nnnn n cnnnnnnnnnn n cnnnnnnnnnn c sj sj ss ksajj sj sj sj ss ksjj sj sj sj ss ks + =+ =+ L L L 234 11223344 234 711223344 2 81122 )()()()()() ( )()()()()() ( )()()()( n nnnnnnnnnn n cnnnnnnnnnn cnnnnnn jj sj sj sj ss ksjj sj sj sj ss ksjj sj s =+ =+ =+ L L 34 3344 )() n nnnn j sj ss +
21、L 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 28 。 离散区间多项式离散区间多项式 1 11 ( ) nn nn f zza zaza =+L,1,2, iii ain=L 舒尔稳定多项式H: 特征根均在单位圆内的多项式 K: 0 ,1 2 in i i i aa a + = 1 ,1,2, 22 in i ii aan i = L :左右两边取等号 K KS 的充分与必要条件是 KS K的部分集合记为K，则K 结论:的舒尔稳定性意味 着的舒尔稳定性意味着K的舒尔稳定性。顶点多项 式的数目随着n的增加而增加,增加的速度比n的一 阶函数快,但比n的二阶函数慢 2
22、007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 29 。 区间矩阵区间矩阵 定义: n n Iij AAaRQAP = , n nn n ijij PpRQqR = 顶点矩阵:, ,1,2, n n Iijijijijij AAaRapaq i jn =L或 不存在下述关系(不管是连续还是离散的情况) II AHAH 但当A=AT时,上述关系成立 区间多项式的结论不能照办到区间矩阵 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 30 。 凸组合多项式凸组合多项式 定义两个多项式: 1 11 ,1,2 lnlnll nn fsa sasa i
23、=+=L 2 ( )(1)( ),01 l fsfs+凸组合多项式: 一个多项式 ( ) l fs 的凸组合如上式是赫尔维茨多项式的充分 与必要条件是 ( ) l fs 为赫尔维茨多项式，而且矩阵 12 () l HH 实轴区间 在 (,0 上没有特征根，其中 l H 是对应于 ( ) l fs 赫尔维茨矩阵 的 135 24 13 2 0 10 00 010 0 lll ll ll l l l n aaa aa aa H a a = L L L L LLLLL LLL 凸组合多项式的赫尔维茨稳 定性可以根据由顶点多项式 的赫尔维茨矩阵构成的某一 矩阵是否存在非正的特征根 来确定。 凸组合多项
24、式的赫尔维茨稳 定性可以根据由顶点多项式 的赫尔维茨矩阵构成的某一 矩阵是否存在非正的特征根 来确定。 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 31 。 离散凸组合多项式离散凸组合多项式 定义两个多项式: 1 11 ( ),1,2 lnlnll nn fzza zaza l =+=L 凸组合多项式: 12 ( )(1)( ),01fzfz+ 定义矩阵: 1232 143 1413 1232 1 01 01 lllll nnn lllll nnnn l lllll nn lllll nnn aaaaa aaaaa S aaaaa aaaaa = L L LLLL
25、LL L L 2 , 1=l 1( ) fz 2( ) fz 和的凸组合 12 ( )(1)( ),01fzfz+ 为舒尔多项式 的充分与必要条件是 1( ) fz 和 2( ) fz 为舒尔多项式，而且 矩阵 112 ()SS 在实轴区间 (,0 上没有特征根. 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 32 。 棱边定理的引入棱边定理的引入 i a j a j j a i a i 0 在系数参数空间中的变化区域 目的: 处理多项式的凸组合 1 1 ( ) nnn inj ijn f ssa sa sa sa =+LLL ,1,2, iiijjj aain =
26、L 1 11 1 21 1 31 1 41 ( ) ( ) ( ) ( ) nnn inj ijn nnn inj ijn nnn inj ijn nnn inj ijn f ssa sa ssa fssa sa ssa fssa sssa fssa sssa =+ =+ =+ =+ LLL LLL LLL LLL 44 11 ( )( ),1,0,1,2,3,4 iiii ii f sf si = = 1 11 ( , )( )( )( ) nn nn f ssasasa =+L T 12 (,) m =L 多面体: : 突出棱边:多面体和接触多面体 的超平面之间存在共 同的部分，其中一维 的部分 对于任意的, 的所有特征根均位于D的充分与必要条件是 的突出棱边的所有特征根均位于D 2007年10月9日 鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴 敏 33 谢谢各位！ Thank you! 谢谢各位！ Thank you!