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1、上海市杨浦区2009学年第二学期高三年级教学质量检测数学试卷 （满分150分，答题时间120分钟） 2010.4考生注意：1 本试卷包括试题卷和答题纸两部分试题卷上题号后注明文科的试题，表示文科生做，注明 理科的试题表示理科生做，未注明的试题所有考生都要做答题纸另页，正反面2 在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题3 可使用符合规定的计算器答题一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1方程组对应的增广矩阵为 .2函数的最小正周期为 .3已知，集合，则 . 4若为奇函数，则最小正数的值为
2、 .5若，则= .6文科 若是方程在复数范围内的根，则 .理科设集合，若，则的最大值是 .7. 文科非负实数、满足，则的最大值为 .理科在极坐标系中，圆的半径长是 .8文科有8本互不相同的书，其中数学书3本、外文书2本、其他书3本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书排在一起，外文书也排在一起的概率是 .否a=1a2a+1a100输出a结束是第9题开始第11题文科理科 有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分；若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分小张摸一次得分的期望是 分.9 程序框图如图所示，其输出的结果是 .10若二项式展开
3、式中，项的系数是7，则= .11文科 一个用立方块搭成的立体图形，小张从前面看和从上面看到的图形都是同一图形，如图所示，那么，搭成这样一个立体图形最少需要 个小立方块第12题文科 理科在中，若，则的外接圆半径长为 .12文科如图，要做一个圆锥形帐篷（不包括底面），底面直径6 米，高4米，那么至少需要 平方米的帆布. 理科已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均相 等，且圆锥和圆柱的体积也相等，那么，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 .13文科 以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是 .理科已知抛物线上的两点A、B的横坐标恰是方程（是实数）的两个实根，则直线的方程是
4、.14文科 已知内接于以为圆心，1为半径的圆，且，则 . 理科已知是的外心，若，则 .二选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15.“直线垂直于的边，”是“直线垂直于的边”的（ ）.(A) 充要条件 (B) 充分非必要条件(C) 必要非充分条件 (D) 即非充分也非必要条件16.下列类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）：“若，则”类比推出“若，则”；“若，则复数”类比推出“若，则”； “若，则”类比推出“若，则”其中类比结论正确的个数是（ ）.(A) 0 (B) 1 (C
5、) 2 (D) 317. 文科若（n是正整数），则（ ）.(A) (B) (C) (D) 理科 观察下列式子：，可以猜想结论为( ) .(A) (B) (C) (D) 18文科 已知函数，则下列判断正确的是（ ）.(A) 当 时，的最小值为；(B) 当 时，的最小值为；(C) 当 时，的最小值为；(D) 对任意的 ，的最小值均为理科 设函数，区间，集合，则使成立的实数对有（ ）.(A) 3对； (B) 5对； (C) 1对； (D) 无数对三解答题 （本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤第19题文、理科19. (本题满分12分)文科已知是底面为菱形的直四棱柱，是棱的中
6、点，底面边长为2，四棱柱的体积为，求异面直线与所成的角大小.（结果用反三角函数值表示）理科已知是底面为菱形的直四棱柱，是棱的中点，底面边长为2，若与平面成角，求点到平面的距离.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分把水放在温度为的空气中冷却，若水原来的温度是，分钟后物体温度可由公式求得，其中，是由不同盛水的容器所确定的正常量（1）若室温为20，往某容器中倒入98的热水，一小时后测得水温为71.2，求的值；（精确到0.001）（2）若一保温杯的，往该保温杯中倒入100的开水，经过2.5小时测得水温为40，求此时的室内温度（假设室内恒温，精确到0.1）21.
7、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分文科已知平面向量，函数（1）写出函数的单调递减区间；（2）设，求直线与在闭区间上的图像的所有交点坐标.理科 已知平面向量，函数（1）写出函数的单调递减区间；（2）设，求函数与图像的所有交点坐标.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分已知为椭圆,的左右焦点，是坐标原点，过作垂直于轴的直线交椭圆于，设 .（1）证明： 成等比数列； （2）若的坐标为，求椭圆的方程；（3）文科 在（2）的椭圆中，过的直线与椭圆交于、两点，若，求直线的方程理科 在（2）的椭圆中，过的直线与椭圆
8、交于、两点，若椭圆上存在点，使得 ，求直线的方程23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.(1)已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；(2)已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列； (3） 文科 若是(2)中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项？理科 根据“保三角形函数”的定义，对函数，和数列1，（）
9、提出一个正确的命题，并说明理由. 2010年四区(杨浦、静安、青浦、宝山)联合高考模拟数学试卷参考答案2010.4一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 0 6. 文 理 7. 文9 理2.5 8. 文 理 9. 127 10. 11. 文5 理 12. 文 理13. 文 理 14. 文 理 二、选择题 15.B 16.C 17. 文 C 理C 18.文 A 理A三、解答题19文科 解：由体积为，得，所以h=4 3分取AD的中点为E，联结PE，PB，则， 5分，为直线PB与直线所成的角 8分经计算， 10分，即异面直线与所成的角为（或） 12分理科 解：取AD的中点为E，联结BE，PB，则，为
10、PB与平面所成的角 2分经计算， 4分以为x轴，OB为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， 5分， 7分设平面的法向量，由得， 10分而，所以 12分20（1）由题意， 5分（2），当、越大时，水温保持时间越长 7分 13分答:此时的室内温度为 14分21. 文科 解：（1），4分单调递减区间； 6分（2）， 8分解，即，得，12分所以交点坐标为： 14分理科解：(1)，2分单调递减区间为； 6分（2）， 8分当时，解，得， 10分当时，解，无解， 11分当时，解，得， 13分所以交点坐标为：， 14分22.(1)证明：由条件知M点的坐标为，其中， 3分，即成等比数列 4分(2)由条件知， 6分椭
11、圆方程为 8分（3）文科设点A、B， 当轴时，A、B，所以 9分设直线的方程为，代入椭圆方程得 11分所以 13分由得代入得，解得所以直线的方程为 16分理科设点P（x,y），A、B，由 ，得当轴时，A、B，此时P不在椭圆上 9分设直线的方程为，代入椭圆方程得 11分所以 13分把点P（x,y）代入椭圆方程得，解得，所以直线的方程为 16分23 (1)显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列 2分因为k1，显然有，由得，解得.所以当时，是数列的“保三角形函数”. 5分(2) 由得,两式相减得所以，经检验，此通项公式满足 7分显然，因为，所以 是“三角形”数列 10分 (3) 文科 因为是单调递
12、减函数，所以，由得 14分化简得，解得，即数列最多有26项 18分(3) 理科 探究过程：函数，是数列1，1+d，1+2d 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：1，1+d，1+2d是三角形数列，所以，即数列中的各项必须在定义域内，即.是三角形数列.由于，是单调递减函数，所以，解得评分建议原则：从考生解答的整体结构上判断考生的思维水平、把握考生的得分层次对于非完备性的探索包括指向有误的探索，应坚持完成评卷1没有写出命题，但有比较完整的探究过程，得分最高不超过4分2写出“，是数列1，1+d，1+2d的保三角形函数” 的必要条件之一或者充分条件之一（当时，是数列1，1+d，1+2d的保三角形函数）
13、，并能适当说明理由，得分最高不超过6分3能正确指出“当时，不是数列1，1+d，1+2d的保三角形函数”，并能适当说明理由，得分最高不超过4分4考生解答出现上述2、3两条交叉情况的，以较高的得分赋分第一层次 命题4分，证明4分.示例1： ，是数列1，1+d，1+2d的“保三角形函数”的充要条件是证明：必要性：因为当x=1时，h(x)的最大值为1，则由得，且.充分性：当时，有，且，故函数，是数列1，1+d，1+2d 的“保三角形函数”综上，充要条件是.第二层次 命题3分，证明3分.示例2：，是数列1，1+d，1+2d的“保三角形函数”的必要条件是.解：在条件下，因为当x=1时，h(x)的最大值为1，则由得.第三层次 命题2分，证明2分.示例3：当时，显然不是数列1，1+d，1+2d的“保三角形函数”.因为，此时不存在.