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1、金湖二中高一年级数学竞赛试题 2020.12.15注意事项：1本试题由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟 2答题前，请务必将自己的班级、姓名、学号书写在答题纸上规定的地方3所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卷相应位置上）1如果全集，那么()等于 2函数的定义域是 3. 方程的根，则 4函数y=，xR的最小正周期为 5已知幂函数在上为减函数，则实数 6若，则的取值范围是 7函数（常数）是偶函数，则的值是 8.已知集合，集合，若，则的取值集合为9若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，
2、且，则满足的的取值范围是 10已知sin(k)2cos(k)，kZ.则_.11已知函数（）的图像恒过定点A，若点A也在函数 的图像上，则= 12. 把函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是_ _.13函数,（其中）的图象的一条对称轴是，一个最高点的纵坐标是，要使该函数的解析式为，还应给出一个条件是 （只要写出你认为正确的一个条件即可）14.阅读下列一段材料，然后解答问题:对于任意实数，符号表示 “不超过的最大 整数”，在数轴上，当是整数，就是,当不是整数时，是点左侧的第一个 整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gau
3、ss）函数.如, 则的值为 二、解答题 （本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的区域内）15（本题满分14分）设，（1）求的值及集合、；（2）设全集，求的所有子集 16（本题满分14分）（1）已知，且是第二象限的角,求和;（2）已知cos()=，求sin()的值.17（本题满分14分）已知函数，（1）当时，求的最大值和最小值（2）若在上是单调函数，且，求的取值范围18（本题满分16分）已知指数函数满足：g(2)=4，定义域为，函数是奇函数（1）确定的解析式；（2）求m，n的值；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围19.（本题满分16分
4、）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本）20. （本题满分16分）记函数f(x)的定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图象上的不动点。（1）若函数
5、的图象上有两个关于原点对称的不动点，求应满足的条件；（2）下述结论“若定义在上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明，并举出一例；若不正确，请举出一反例说明。金湖二中高一年级数学竞赛参考答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在下面的横线上)1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 10 11 12 13 (或者其它答案) 14 3 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15(本大题共14分) 解：（1），求得 7分（2），的所有子集是：14分16(本大题共14分)解：（1）
6、由，得，又解得或是第二象限的角,则 7分（2）sin()= 14分17(本大题共14分)解：（1）当时， 2分在上单调递减，在上单调递增 6分 当时，函数有最小值当时，函数有最大值 8分（2）要使在上是单调增函数， 则 sin 11分即sin 又 解得：14分 18(本大题共16分)解：（1）y=g(x)=2x； 4分（2）由（1）知：，因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即， ，又由f（1）=-f（-1）知，m=2，n=1。 10分（3）由（2）知，易知f(x)在(-，+)上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式：等价于，因f(x)为减函数，由上式推得：，即对一切tR有：，从而判别式
7、，得实数k的取值范围是（-，）。 16分19(本大题共16分)解：（1）设每个零件的实际出厂单价恰好降为51时，一次订购量为个。 则100550 4分（2）当时，P60；当100x550时，P600.002（x100）62； 当时，P51. 9分（3）设销售商一次订购量为x时，工厂获得的利润L元。 则L（P40）x13分当x=500时，L=600；当x=1000时，L=1100. 15分答： 16分20(本大题共16分)解：（1）由， 2分整理得 （*） 4分由题意知方程（*）有两个互为相反数的根，所以即 6分， 8分故应满足且 10分（2）结论正确。 12分证明：为奇函数，取，得，即（0,0）为函数的一个不动点，设函数除0以外还有不动点，则又，故也为函数的不动点。 14分综上，若定义在R上的奇函数图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个。例如：。16分