《算术平均数与几何平均数教案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《算术平均数与几何平均数教案.doc（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、算术平均数与几何平均数教案教学目标(一)教学知识点1.重要不等式：若a，bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”号).2.算术平均数，几何平均数及它们的关系.(二)能力训练要求1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.(三)德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.教学重点1.重要不等式：如果a、bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”号).2.如果a、b是正数，则为a
2、、b的算术平均数，是a、b的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即定理：如果a、b是正数，那么 (当且仅当ab时取“”号).3.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当”时取“”号的含义是：当ab时取等号，即ab；仅当ab时取等号，即ab.综合起来，就是ab是的充要条件.教学难点1.a2b22ab和成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题.ab，ab（）2教学方法启发式教学法教具准备投影片两张第一张：记作6.2.1 A1.差值比较法：(1) 依据：abab0；abab0；abab0.(2)
3、 步骤：作差变形判断差值符号得出结论.(3) 用途：比较两个实数的大小；证明不等式的性质；证明不等式和解不等式.第二张：记作6.2.1 B1.不等式的基本性质：(1)反对称性： abba；(2)传递性： ab，bcac；(3)可加性： abacbc；(4)可积性： ab，c0acbc，ab，c0acbc；(5)加法法则： ab，cdacbd；(6)乘法法则： ab0，cd0acbd；(7)乘方法则： ab0anbn（nN）；(8)开方法则： ab0（nN）2.应用：已知a、b为正实数，m、nN*且mn，求证：ambmamnbnanbmn.教学过程.课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常
4、广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值”比较法，不等式的基本性质，以便在今后学习中得到巩固和灵活运用.(一)打出投影片6.2.1 A，请同学们回答：师“差值”比较法解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题?通过师生积极对话，简要作一下概括，打出投影片6.2.1 A，使学生明确：“差值”比较法的三个重要方面.即依据是：abab0；abab0；abab0；一般步骤是：作差变形判断差值符号得出结论；主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式.(二)不等式性质的巩固及应用(投影片6.2.1 B)课堂上，充分发挥师生的双边活
5、动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投影片6.2.1 B，使学生掌握下列不等式的基本性质：(1)反对称性abba；(2)传递性ab，bcac；（3）可加性abacbc；(4)可积性ab，c0acbc；ab，c0acbc；(5)加法法则ab，cdacbd；(6)乘法法则ab0，cd0acbd；（）乘方法则ab0anbn（nN）；(8)开方法则ab0（nN).为进一步更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：已知a、b为正实数，m、nN*且mn，求证：ambmamnbnanbmn.师本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多观察，多思考，考虑问题一定要
6、全面细致.请同学们自己完成本题证明过程.生（ambm）（amnbnanbmn）（amamnbn）（bmanbmn）amn（anbn）bmn（bnan）（amnbmn）（anbn）mn1，a0，b0当ab0时，则amnbmn，anbn（amnbmn）（anbn）0当ab0时，则（amnbmn）（anbn）0当ba0时，则bmnamn，bnan（amnbmn）（anbn）0综上所述，当a、b为正实数，m、nN*且mn时，(am-n-bm-n)(an-bn)0即ambmamnbnanbmn.下面，我们利用不等式的性质，研究推导下列重要的不等式.讲授新课重要不等式：如果a，bR，那么a2b22ab（当
7、且仅当ab时取“”号).师请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式.生a2b22aba22abb2（ab）2a，bR当ab时，ab0 即a2b22ab当ab时，ab0（ab）20 即a2b22ab综上所述：若a，bR，则a2b22ab（当且仅当ab时取“”号).师生共析很明显，在此不等式中：aba2b22ab.即当ab时取等号，其含义是aba2b22ab；仅当ab时取等号，其含义是a2b22abab.定理 如果a，b是正数，那么（当且仅当ab时取“”号).师本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“若a，bR，则a2b22ab(当且仅当ab时取“”号)”
8、为依据完成证明.(把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程).生甲a，b为正数 a0，b0a（）2，b（）2当ab即时，0，有.当ab即时，0，有综上所述，当a、b为正数时，有 (当且仅当ab时取“”号).生乙a，b是正数（）2（）22ab2显然，当且仅当ab时，即.评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.下面，我们给出定理：“如果a、b是正数，那么（当且仅当ab时取
9、“”号）”的一种几何解释(如图所示)以ab长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使ACa，Bb.过点C作垂直于直径AB的弦DD，连接AD、DB，易证tADtDB，那么D2AB即D.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.例题已知：（ab）（xy）2（aybx），求证：师本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式ab2，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题.(在教师引导，学生积极参与下完成证题过程)生（ab）（xy）2（aybx）axaybxby2ay2bxaxaybybx0（axbx）（ay
10、by）0（ab）（xy）0即ab与xy同号均为正数2(当且仅当时取“”号)2.师生共析我们在运用重要不等式a2b22ab时，只要求a、b为实数就可以了.而运用定理：“”时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.课堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）abc分析：对于此类题目，选择定理：（a0，b0）灵活变形，可求得结果.答案：a，b，c都是正数ab20bc20ca20（ab）（bc）（ca）222abc即（ab）（bc）（ca）abc.2.已知x、y都是正数，求证：(1)2；
11、(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.答案：x，y都是正数0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2.(2)xy20x2y220x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.3.求证：（）2.分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a2b22ab，恰当变形，是证明本题的关键.答案：a2b22ab2（a2b2）a2b22ab（ab）22（a2b2）（ab）2不等式两边同除以4，得（）2即（）2.课时小结本节课，我们学习了重
12、要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab，ab（）2.课后作业(一)课本P11习题. 2、3.(二)1.预习内容：课本P1011例1，例2.2.预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式：a2b22ab；（a0，b0）的应用主要体现在两个方面：其一，是用于证明不等式.其二，是用于求一些函数的最值：设x、y都是正数，(1)若xyP是一个定值，当且仅当“xy”时，xy有最小值2；（2）若xyS是一个定值，当且仅当“xy”时，xy有最大值S2.板书设计6.2.1 算术平均数与几何平均数(一)一、重要不等式 课堂练习 课时小结a2b22ab二、定理若a0，b0， 课后作业则例题